Оглавление

1. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений. Явный и неявный методы Эйлера. 2

2. Получение синтетической схемы, заменяющей катушку, конденсатор. 7

3. Пример использования метода синтетических схем для расчёта переходного процесса. 8

4. Макромодели. 10

5. Переходная и импульсная характеристики цепи. 13

6. Пример расчёта переходной и импульсной характеристики для цепи 1-го порядка 17

7. Интеграл Дюамеля. Пример расчёта цепи с помощью интеграла Дюамеля. 18

8. Решётчатые функции. Переход от функции непрерывного времени к решетчатой функции. 21

9.Разностные уравнения 1-го порядка. Пример формирования разностного уравнения для цепи, находящейся под воздействием последовательности прямоугольных импульсов. 23

10. Формирование разностного уравнения для цепи 1-го порядка, находящейся под воздействием последовательности δ- импульсов. 26

11. z- преобразование. Примеры z-изображений решетчатых функций. 28

12. Решение разностного уравнения методом z- преобразования. Переход от z–изображения к оригиналу (решетчатой функции). 33

13. Расчёт переходного процесса методом z- преобразования с использованием передаточной функции импульсной системы (в случае прямоугольных импульсов и δ-импульсов). 35

14. Резонансные частоты цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров. 40

15. Частотные характеристики цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров. 43

16. Общие свойства входных функций цепей, содержащих только реактивные элементы. 48

17. Пример построения частотных характеристик цепей, содержащих только реактивные элементы. 50

18. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и индуктивностью 52

19. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и ёмкостью. 55

20. Релаксационные колебания. 58

1. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений. Явный и неявный методы Эйлера.

Одним из общих методов расчёта переходных процессов в электрических цепях, ориентированных на использование численного решения системы дифференциальных уравнений, является метод переменных состояния.

Итогом формирования системы уравнений состояния является матричное уравнение:

где Х – вектор неизвестных переменных состояния (токи катушек и напряжения конденсаторов), А – матрица, элементы которой определяются через параметры цепи (R, L, C), – вектор, элементы которого учитывают вклад источников, действующих в цепи. Система дифференциальных уравнений в совокупности с начальными условиями представляет так называемую задачу Коши.

Для использования стандартных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируемая система должна быть записана в нормальной форме:

Именно к такому представлению приводит метод переменных состояния.

Основой используемых численных методов является вычисление приращений переменной состояния за некоторый промежуток времени - шаг интегрирования: .

Таким образом, решение уравнения получаем в виде таблицы значений , соответствующих отдельным моментам времени, с интервалом . Для вычисления значений дифференциальное уравнение заменяют алгебраическим уравнением, называемым разностным уравнением, которое может быть построено с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Методы численного интегрирования различаются по способу аппроксимации подынтегральной функции в последнем выражении. Наиболее простой вид имеют формулы:

явного метода Эйлера (метода ломанных):

в котором подынтегральная функция принимается равной ее значению в начале промежутка интегрирования. Этот метод соответствует приближенному вычислению интеграла по способу левых прямоугольников.

неявного метода Эйлера (неявного метода ломанных):

в котором подынтегральная функция принимается равной ее значению в конце промежутка интегрирования. Этот метод соответствует приближенному вычислению интеграла по способу правых прямоугольников.

метода трапеций (неявный метод)

когда подынтегральная функция аппроксимируется полусуммой ее значений в начале и в конце промежутка.

Отметим, что в явном методе используются значения , которые находятся на основе уже вычисленных на предыдущем шаге значений Неявные методы используют значения , неизвестные в начале вычислений на каждом шаге. Отсюда – их название. Их реализация более сложна, т.к. она требует на каждом шаге интегрирования решения системы алгебраических уравнений относительно неизвестных значений в конце данного шага.

Устойчивость методов численного интегрирования

Для знакомства с понятием устойчивости соответствующего метода численного интегрирования рассмотрим дифференциальное уравнение. Его решение:

В соответствии с явным методом Эйлера:

Если (с учётом ) имеет такое значение, что , то абсолютное значение решения увеличивается, тогда, как точное решение убывает с ростом . В данном случае применение явного метода Эйлера связано с потерей устойчивости решения. Таким образом, при применении явного метода Эйлера является необходимым выполнение условия для всех собственных чисел матрицы А, что при больших по модулю ведет к требованию значительного уменьшения шага . Применим разностное уравнение неявного метода Эйлера:

Для обеспечения устойчивости решения данного уравнения необходимо, чтобы . А это значит, что неявный метод Эйлера устойчив для любых значений . В общем случае, когда собственные числа матрицы А имеют вид , условие устойчивости может быть записано: , и оно выполняется, т.к. (см. свойства корней характеристического уравнения (свойство корней характеристического уравнения для пассивной электрической цепи заключается в том, что вещественные части всех корней должны быть отрицательными)).

Жёсткость систем дифференциальных уравнений электрических цепей. Рассмотрим пример: разряд конденсатора на цепь R, L (рис.1)

Р ис. 1

(Обратим внимание на соотношение параметров: L/R <<RC)

Зависимость тока в цепи от времени может быть получена из решения дифференциального уравнения:

Корни характеристического уравнения:

Решение дифференциального уравнения (с учётом начальных условий) имеет вид:

График тока условно изображён на рис.2. На нем можно выделить 2 участка.

Р ис. 2

1-й участок – пограничный слой (от до ), характеризуется быстрым изменением тока. Длительность его: . Эта фаза переходного процесса соответствует процессу в цепи на рис. 3а. 2-й участок – за пограничным слоем, характеризуется медленным изменением тока. Длительность его определяется максимальной постоянной времени . Обычно переходный процесс рассматривают на интервале . Эта фаза переходного процесса соответствует процессу в цепи на рис. 3б.

Р ис. 3

Необходимость использования таких функций (одна – очень быстрая, другая – очень медленная) в решении дифференциальных уравнений характеризует явление жёсткости. Это явление типично для задач теории электрических цепей. Численное решение жёстких дифференциальных систем с помощью явного метода затруднительно. Согласно критерию устойчивости явного метода Эйлера, в данном случае , а длительность переходного процесса (см. выше) равна . Нетрудно посчитать, сколько шагов потребовало бы получение численного решения уравнения явным методом. Иначе дело обстоит с использованием неявных методов. Однако, как отмечалось выше, реализация неявных методов более сложна.