Otvety_na_ekzamen_po_matematicheskomu_analizu

24. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Пусть нам дана ф-я y=f(x). 1. Область определения ф-я. 2. Чётность/нечётность ф-и. f(-x) = f(x) – чётная. Симметрична относительно y. f(-x) = -f(x) – нечётная. Симметрична относительно x. ни чётн, ни нечётн – ф-я общего вида. 3. Пересечение с осями 0x и 0y. x=0: y=0… y=0: x=… (0; y1), (x2; 0). 4. Асимптота. x≠ 0. . x=x0 – вертикальная асимптота. y=kx+b – наклонная асимптота. k = . и b = если k=0, то y=b – горизонтальная асимптота. 5. Интервалы монотонности и точки экстремума. y' = 0 находим статические точки x1, x2, x3 6. Выпуклости. y'' = 0. (x'1, y'1), (x'2,y'2) – точки перегиба. 7. Эскиз графика функции. Заполнить примером!

25. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица неопределенных интегралов. Пусть дана ф-я y=f(x) непрерывна на некотором интервале (a; b) и может быть a=-∞; b=+∞. Опр. Ф-я F(x) для которой выполняется x из интервала (a; b). Vx∈(a; b) называется первообразной для ф-и F(x). Теорема. Если F1(x) и F2(x) 2 первообразные для одной и той же ф-и f(x) на интервале (a; b), то эти первообразные отличаются друг от друга на постоянное слагаемое F1(x) – F2(x) = C (2), C=const. Док-во: по условию теоремы эти ф-и яв-ся первообразными. F1'(x) = f(x), Vx∈(a; b); F2'(x) = f(x), Vx∈(a; b); F1(x) – F2(x) = φ(x); φ1(x) = F'1(x) – F'2(x) = f(x) – f(x) = 0 ⇒ φ(x) = C. Мы доказали, что если для ф-и f(x) мы знаем хотя бы одну первообразную, то знаем все. Опр. Мн-во первообразных F(x) + C называется неопределённым интегралом для ф-и f(x). (3). Теорема (существования). Если ф-я f(x) непрерывна на интервале (a; b), то для неё на этом интервале существует первообразная, а значит и неопределённый интеграл. Св-ва неопределённых интегралов: 1°. Производная от неопределённого интервала равна подынтегральной ф-и. ( 2°. Дифференциал от неопределённого интеграла = подынтегральному выражению. . 3°. Интеграл от дифференциала равняется . Доказать самостоятельно. 4°. Интеграл от суммы или разности равняется сумме или разности интегралов. = ; . Т.е. первообразная от правой и левой части одна и та же и понимать его надо с точностью до произвольной постоянной. 5° . Таблица неопределённых интегралов.

26. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Теорема. Пусть дан неопределённый интеграл (1), где F(x) первообразная для f(x) и пусть x = φ(t) на некотором промежутке для t. Если f(x) φ(t) непрерывно диф-ма на соответствующих промежутках, тогда имеет место равенство: (2) Док-во: (F(φ(t)) + C)' = F '(φ(t)) * φ'(t). Примеры. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Теорема. Если u(x) и V(x) непрерывно диф-мы на некотором промежутке (a; b), то имеет место формула: (1) Док-во: Рассмотрим дифференциал d(u*V) = dV*u + u*dV. u*dV. u*dV = d(u*V) – du*V, проинтегрируем ⇒ (1). Пример.

27. Определенный интеграл. Его свойства и геометрический смысл. Пусть имеется отрезок [a; b], a < b. Опр. Разбиением Р отрезка [a; b] называют набор точек такой, что a=x0<x1<…<xn=b, причём точки выбираются произвольно. Опр. Любой из этих отрезков [xi-1, xi] i=1, …, n называется частичным отрезком разбиения, а его длина равна разности Δxi =xi – xi-1 ⩾ 0. Пусть на отрезке [a; b] задана ф-я y=f(x). В каждом отрезке разбиения выберем точку произвольно (1). Сумма вида (1) называется интегральной суммой. Обозначим наибольший из Δx: max{Δx, …, Δxn} = λ. В равенстве (1) перейдём к пределу при λ→0; Опр. Если существует конечный предел (2), не зависящий от разбиения Р и от выбора промежуточных точек ε(эпсилон)i, то этот предел называется определённым интегралом от ф-и f(x) на отрезке [a; b] и обозначаем: Замечание. Определённый интеграл по определению – число. Опр. Ф-я f(x) для которой существует конечный предел (2) называется интегрируемой на отрезке [a; b]. Теорема 1 (необходимое условие). Если ф-я f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она на этом отрезке ограничена. Док-во: (от противного). Предположим, что ф-я интегрируема на отрезке, но не ограничена, тогда она не ограничена по крайней мере на одном из частичных отрезков разбиения, тогда засчёт выбора промежуточной точки ε можем сделать модуль |f(ε)*Δxi| сколь угодно большим, тогда к интегральная сумма может быть сколь угодно большой. Т.е. конечного предела интегральной суммы не существует, а это значит, что ф-я не интегрирована на отрезке [a; b]. Теорема 2 (достаточное условие). Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она на этом отрезке интегрируема. Теорема 3 (достаточное условие). Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a; b], за исключением конечного или счётного числа точек разрыва на этом отрезке и она ограничена на нём, то ф-я на этом отрезке интегрируема. Геометрический смысл. f(x)⩾0. Проводим через точки разбиения вертикальные прямые к графику ф-и. f(ε)*Δxi – Si прямоугольника, а сумма этих площадей — это площадь ступенчатой фигуры. Геометрический смысл интеграла – это площадь фигуры под графиком ф-и. Св-ва определённого интеграла. (1), где f(x) – подынтегральное выражение, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. 1° 2° f(x), h(x) [a; b], a, β – произвольные действительные числа, тогда – a β . 3° Если f(x) интегрируема на отрезке [a; b], где a<b, f(x)>=0 для любых х из отрезка [a; b], то определённый интеграл также >=0. 4° Если f(x) и h(x) интегрируемы на отрезке [a; b], где a<b, и для любых х из отрезке [a; b] выполняется неравенство f(x)<=h(x), то имеет место . . 5° Если f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то | | <= . 6° Пусть f(x) интегрируема на отрезке [a; b], где для любых х из этого отрезка выполняется неравенство: m<=f(x)<=M, тогда имеет место следующее неравенство: m(b-a)<= . 7° Док-во из 3 и 4 св-ва: Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a; b], a>=b, то существует такая точка с∈(a; b), то имеет место равенство: . 8° Пусть f(x) интегрируемо на отрезке [a; b] и a>=b, пусть выполняется неравенство: a<c<b, тогда можно представить, как . (св-во агетивности). тогда интеграл можно представить в виде суммы. Следствие: . .

28. Интеграл с переменных верхним пределом. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим ф-ю f(x), заданную и интегрируемую на отрезке [a; b]. Выберем произвольную точку x Опр. Интеграл (1) Интеграл. Называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 1. Если ф-я f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то Ф(x) непрерывна в каждой точке этого отрезка. Док-во. Ф(x+h) = (2) Ф(x+h) – Ф(x) = - = + - = = По св-ву 7° = f(c)*h, получим ΔФ = f(c)*h, h → 0, ΔФ →0, а это значит непрерывность ф-и. Теорема 2. Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a; b] ф-и, то ф-я Ф диф-ма в каждой точке этого отрезка, причём имеет место равенство Ф'(x) = f(x) (3). Док-во: Ф(x+h) – Ф(x) = f(c)*h и перешли к пределу = = f(x) ⇒ (3), h → 0, то ΔФ → 0, если предел справа существует и конечен, то существует предел и слева (он тоже конечен). Из равенства (3) ⇒ интеграл (1) яв-ся одной из первообразных f(x) на отрезке [a; b]. Теорема Ньютона-Лейбница. Если f(x)интегрируема на отрезке [a; b] и если F(x) – любая первообразная для этой ф-и на этом отрезке, то имеет место равенство: = (4). Формула Ньютона-Лейбница является реальной формулой интегрального исчисления.

29. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Теорема. Пусть ф-я y=f(x) непрерывна на отрезок [a; b] и пусть x=φ(t), заданная на отрезке [α; β] удовлетворяет следующим условиям. 1) φ(t) непрерывно диф-ма на отрезке [a; b] 2) Значения φ(t) не выходят за пределы отрезок [a; b] для любых t отрезка [α; β]. 3) φ(α) = a, φ(β) = b ⇒ имеет место следующее равенство: (1) Док-во: Поскольку ф-я f(x)непрерывна на отрезке [a; b], то для неё существует первообразная на этом отрезке. . Применяя формулу Ньютона-Лейбница получим: (2) С другой стороны для f(φ(t))*φ'(t) существует первообразная F(φ(t)), это ⇒ из теоремы о замене переменной в неопределённом интеграле . Применяя к этому равенству формулу Ньютона-Лейбница, получим: (3) = F(b) – F(a). (3). (2)=(3)⇒(1). Теорема. Пусть ф-и u(x) и V(x) непрерывно диф-мы на отрезке [a; b], тогда имеет место равенство: определённый интеграл. Док-во: для неопределённого интеграла доказана формула интегрирования по частям, т.е. . Обозначим . ⇒ . Применим формулу Ньютона-Лейбница: .

30. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей.

Опр. Рациональной дробью R(x) называется дробь (P(n)(x)/Q(m)(x)), n и m – индексы, где P(x), Q(x) - многочлены со степенями m и n соответственно. Если n⩾m, то дробь называется неправильной. Необходимо выделить целую часть и правильную дробь. Если n<m (в знаменателе порядок выше), то дробь - правильная. Пусть дробь R(x)=(P(n)(x)/Q(m)(x)) (1) яв-ся правильной. Всякий многочлен степени m имеет m корней, тогда его можно разложить на множители. Q(m)(x) = ... (x-α)^k * ... * (x+px+q)^l (2). Перепишем (1) с учётом разложения (2). R(x) = (P(n)(x)/... (x-α)^k * ... * (x^2 + px + q)^l) (3) Дробь (3) должна быть разложена на простейшие дроби. Опр. Простейшими дробями называются дроби следующих 4-х видов: 1) A/х-α; 2) A/(x-α)^k; 3) Bx+C/x^2 + px + q; 4) Bx+C/(x^2 + px + q)^l. Теорема. Каждому множителю вида (x-α)^k в знаменателе дроби (3) соотвествует сумма из k простейших дробей следующего вида: A/x-α + A2/(x-α)^2 + ... + Ak/(x-α)^k. Каждому множителю вида (x^2 + px + q)^l в знаменателе дробь (3) соотвествует сумма из l простейших дробей следующего вида: (B1*x+C1/x^2+px+q) + (B2*x+C2)/(x^2+px+q)^2 + ... + (Bl*x+Cb/(x^2 + px + q)^l), где A(i), i = 1k с чёрточкой сверху; B(j), С(j) = 1l с чёрточкой сверху – неизвестные коэффициенты. Алгоритм: 1. Если дробь неправильная – выделяем целую часть и правильную дробь. 2. В полученной правильной дроби знаменатель Q(m)(x) раскладываем на линейные и квадратичные множители. 3. Правильную дробь представляем в виде суммы простейших дробей в соответствии с сформулированной теоремой. 4. Определяем неизвестные коэффициенты A(i), B(j), C(j). 5. Интегрируем простейшие дроби, которые разбиты на сумму интегралов. Заметим, что 2 многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих степенях х равны. x + 1 = A1*x^3 + A1*x + A2*x^2 + A2 + Bx^3 + C*x^2.

31. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка (выведение формул).

Интегрирование тригонометрических выражений. 1) ; ; 2) , , =(1-cos2x/2); =(1+cos2x/2) 3) 4) = 5) = =

32. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла в декартовой системе координат, в полярных координатах и для функций, заданных параметрически (выведение формул).

1. В декартовой системе координат.

2. В полярных координатах.

(2) r>=0, r – имеет положительную длину

-π <= φ <= π; 0 <= φ <= 2π; r = f(φ), α <= φ <= β; α = φ0 < φ1 < … < φi-1 < φi < … < φn = β; Δφ = φi – φi-1, φi-1 < Qi < φi. (Qi)*Δφ – это площадь i-го кругового сектора.

Если просуммировать по всем таким секторам, то получим ступенчатую λ = max {Δφ1, … , Δyn}. Перейдём к пределу при λ→0 (1). Предположим, что ф-я f(x) на отрезке можно предположить, что предел интегральной суммы (1) существует и конечен, тогда площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле: S = . 3. Площадь фигуры ограниченной криво заданной в параметрической форме y=f(x) на [a; b]. Теорема. Если ф-и φ(t) (t) непрерывны на отрезке [a; b], кроме того φ'(t) непрерывна на отрезке [a; b], φ(t0) = а, φ(t1) = b, то S кривой заданной системой (2) определена по формуле: S = . Док-во. Оно основано на формуле замены переменной в определённом интеграле.

33. Вычисление длина кривых в декартовых и полярных системах координат и параметрических кривых (выведение формул).

1. В декартовой системе координат. Теорема. Если ф-я y=f(x) заданная на отрезке [a; b] непрерывна вместе со своей первой производной на этом отрезке, то длина кривой вычисляется по формуле: L = . Мб пример. Вычисление длины, заданной в параметрической форме. y'x= = ; L = (3) L = (4). Теорема. Если ф-я φ(t) и Ψ(t), заданные на отрезке [t0; t1] непрерывны вместе со своими первыми производными, то длина кривой вычисляется по формуле (4).

Примеры практических задач:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: