Обратная матрица

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда

Обратная матрица может быть найдена по формуле = ,

где - присоединенная матрица:

= , т.е. матрица, элементы которой есть алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к А.

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы 

Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

Сначала находим определитель матрицы.

В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,  , а значит, всё в порядке.

Находим - присоединенную матрицу, составленную из алгебраических дополнений А, (алгебраические дополнения строк записываются в столбцы ).

Имеем

 

Вспоминаем формулу =   Таким образом, обратная матрица:

Проверка:

Получена единичная матрица .

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Пример: Найдем матрицу, обратную к данной матрице А= .

5, 0, -10,

5, 3, -8,

-5, -1, 11.

, = = .

Свойства обратной матрицы:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Матричные уравнения. 

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы  , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.

Простейшие уравнения имеют вид:

 либо  , где   – известные матрицы.

1. .

Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно  , умножим обе его части на   слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

, поэтому:

Имеем

2. .

Умножаем обе части уравнения на   справа:

  , получаем:

Пример: Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Уравнение уже имеет вид 

Для разрешения уравнения относительно   умножим обе его части на   слева:

Из условия известны матрицы  , однако, обратной матрицы   мы не знаем. Придётся её найти. Обратную матрицу найдем по формуле =

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Ответ: 

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применяется для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n,

j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, b_n - свободные члены.

В матричной форме система имеет вид АХ=В, где

А= ; Х= ; В= .

Матричный метод решения системы линейных уравнений:

Если система квадратная и , то система имеет единственное решение .

Пример: Решим систему линейных уравнений

матричным методом

А= ; Х= ; В= .

= =-2;

-11, -13, -19,

-8, -10, -14,

7, 9, 13.

;

= = ,

т.е.

Ответ: ( 5, 6, 10 )

Дома: № 862, 864