Лабораторная работа № 7

Силовой анализ кривошипно-ползунного механизма

Исходными данными для расчета (рис.31) являются: 1) кинематическая схема механизма; 2) массы и моменты инерции звеньев, а также положение центров масс; 3) силы полезного сопротивления; 4) закон движения входного звена-1.

1

2

S₂

S₁

S₃

3

Рис.31. Схема кривошипно-ползунного механизма

На рис.31 показана сила полезного сопротивления , приложенная к ползуну3 и уравновешивающий момент , действующий на кривошип1. Перед выполнением силового расчета необходимо провести кинематический анализ механизма и определить положение звеньев и центров масс, ускорения центров масс и угловые ускорения звеньев. Используя результаты кинематического анализа, определяем силы инерции в проекциях на координатные оси и моменты сил инерции по формулам

(35)

где проекции сил инерции звеньев на координатные оси;

моменты сил инерции звеньев относительно центров масс.

Выделяем из механизма структурную группу2-3 и показываем силы, действующие на звенья ( рис. 32)

Рис.32. Расчетная схема силового анализа структурной

группы 2-3

Составляем уравнения равновесия сил, действующих на выделенную структурную группу. Таких уравнений для двух звеньев группы будет шесть.

Уравнения сил и моментов сил, действующих на звено 2,

(36)

Уравнения сил и моментов сил, действующих на звено 3.

(37)

Приводим систему шести линейных уравнений к каноническому виду:

(38)

Составляем матрицу коэффициентов, стоящих в левой части системы линейных уравнений, и матрицу-столбец коэффициентов, стоящих в правой части системы:

(39)

где

Для решения системы шести линейных уравнений также целесообразно использовать функцию. Результат решения представляем в виде столбцевой матрицы

(40)

Величину реакций определяем по формулам

(41)

Угол, определяющий направление вектора силы в прямоугольной системе

^{координат вычисляем с помощью функции}

(42)

Используя полярную систему координат, строим годограф сил, действующих в кинематических парах. На рис. 33 показан годограф сил для кинематической пары между звеньями1 и 2. Годограф сил позволяет определить положения механизма, при которых реакции в кинематических парах имеют максимальное значение

Рис. 33. Годограф сил, действующих в кинематической паре

Затем выполняем силовой расчет кривошипа 1. Уравновешивающий момент определяем из уравнения моментов относительно точки :

(43)

Для определения реакции в кинематической парепроектируем силы, действующие на звено 1 на координатные оси.

(44)

Величину реакции и угол , определяющий направление вектора, вычисляем по формулам, аналогичным (41), (42).

Лабораторная работа 8

Исследование движения упругого толкателя в кулачковом механизме

Математическая модель кулачкового механизма, составленная в предположении, что его звенья являются абсолютно жесткими, во многих случаях, особенно для быстроходных механизмов, дает результаты, существенно отличающиеся от действительных [2]. Наблюдаются значительные отклонения от идеального ускорения для законов движения с “жесткими” и “мягкими” ударами. Поэтому рассмотрим формулы, учитывающие влияние упругости толкателя на его закон движения. При этом предполагаем, что кулачок является абсолютно твердым телом, а масса толкателя сосредоточена в одной точке. Силы упругости толкателя представляются силами упругости пружины, помещенной между массой и кулачком ( рис.31). Перемещениеверхнего конца толкателя вследствие его упругости отличается от перемещениянижнего конца, который движется по профилю кулачка. Движение массыопределяется дифференциальным уравнением

, (45)

где ускорение массыс учетом упругости толкателя;икоэффициенты жесткости соответственно замыкающей пружины и толкателя;коэффициент

пропорциональности силы сопротивления, возникающей при деформации упругого толкателя; скорость массыс учетом упругости толкателя;скорость толкателя, определяемая идеальным законом движения;сила сопротивления, включающая силу трения и силу предварительного натяжения пружины.

Введем в рассмотрение деформацию упругого толкателя. При этом

(46)

где ускорение толкателя (идеальное);скорость колебательного движения;ускорение колебательного движения.

После подстановки (46) в выражение (45) получим дифференциальное уравнение колебаний упругого толкателя

(47)

где коэффициент демпфирования; собственная частота колебаний толкателя; правая часть дифференциального уравнения. Большое влияние на колебательный процесс оказывает закон изменения ускорения, поэтому в дальнейшем проанализируем влияние идеального закона движения на колебание толкателя. При этом допущении дифференциальное уравнение (47) имеет вид

(48)

Решение этого дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами зависит от вида его правой части, и для каждого закона движения толкателя необходимо проводить символьные преобразования с целью получения расчетных формул. Как известно, программная система Mathcad PRO [1] имеет набор функций, выполняющих решение дифференциальных уравнений численными методами, что позволяет получить решение дифференциального уравнения, не выполняя длительных и трудоемких символьных преобразований. На рис. 33 показан фрагмент программы для решения дифференциального уравнения (48) с помощью функции rkadapt (y,x1,x2,acc,n,D,k,s). Эта функция возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1... х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования и начальными условиями описанными в векторе y , (правые части системы записаны в векторе D , n – число шагов, k– максимальное число промежуточных точек решения, и s– минимально допустимый интервал между точками, асс– погрешность вычисления). Эта функция благодаря автоматическому изменению шага интегрирования даёт более точный результат. Функция rkadapt наиболее привлекательна для решения дифференциальных уравнений, имеющих относительно медленно изменяющиеся решения наряду с быстрыми их изменениями.

Рис.33. Решение дифференциального уравнения второго порядка

с использованием функции rkadapt

Результат решения дифференциального уравнения (48) для закона движения толкателя с постоянным ускорением в виде графика показан на рис. 34, для движения по синусоидальному закону на рис. 35. Пунктирная линия соответствует идеальному закону движения, основная линия ускорению толкателя с учетом его упругости. Как видно из графиков закон движения с постоянным ускорением имеет разрывы, является законом “с мягкими ударами”, которые оказывают существенное влияние на колебание толкателя. Наиболее резкие “скачки” ускорения наблюдаются в местах разрыва идеальной функции . При плавном, синусоидальном законе движения не имеющем разрывов, амплитуда колебаний ускорения толкателя значительно меньше, чем при законе с постоянным ускорением. Расчеты

ускорения были выполнены при следующих исходных данных: ход толкателя м, масса толкателякг, коэффициент жесткостиН/м, коэффициент демпфированияН/с*мм угловая скорость кулачка, фазовый угол подъемаград, опусканияград. Частота собственных колебаний, частота кинематического возмущения на фазе подъема

,

на фазе опускания .

Максимальный коэффициент динамичности при законе движения толкателя с постоянным ускорением составляет ,

Рис.28

Рис.34. График ускорения толкателя с учетом его упругости при

синусоидальном, идеальном законе движения

при синусоидальном законе .

Коэффициент максимального ускорения при законе движения толкателя с постоянным ускорением составляет , при синусоидальном законе. Однако расчет, выполненный с учетом упругости толкателя показывает, что при плавном синусоидальном законе максимальная величина ускорения меньше, чем при законе движения с постоянным ускорением . Следовательно, при синусоидальном законе ниже инерционные нагрузки, действующие на профиль кулачка, и при прочих равных условиях выше его долговечность.

Список литературы

1. В. Дьяконов. Mathcad 2001. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.

2. Механика машин:/ под ред. Г.А. Смирнова – М.: Высшая школа, 1996.