1 курс / Медицинская информатика / Материал по физмату. Часть 2

1. Случайное событие. Определение вероятности(статистическое и классическое).

Случайное событие - это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Вероятность случайного события P(A) - это численная мера объективной возможности наступления этого события.

Классическое определение вероятности:P(A)= m/n

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они

являются равновозможными.

-число случаев, благоприятствующих событию А. - общее число испытаний

Статистическое определение вероятности: Вероятностью события А называется число,

относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов

Если классическое определение вероятности осуществляется априори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

2. Понятие о совместимых и несовместимых события, зависимых и независимых и независимых событиях.

Случайные события А1, А2,..Аn называются:

Совместными - если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществление при этом других из перечисленных событий.

Несовместимыми - если осуществление любого из них в результате испытания исключает осуществление при этом других перечисленных событий.

Условная вероятность: (при условии, что событие .. произошло/не произошло)

Зависимые события: Событие А называется зависимым от события В, если его вероятность зависит оттого произошло событие В или нет.

Независимое событие: событие А называют независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло событие В или нет.

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Сумма событий --это такое событие, при котором происходит хотя бы одно из этих событий (или):

Сумма Несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма Совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместности этих событий:

Теорема умножения вероятностей.

Произведение событий - это событие, состоящее в совместном появлении этих событий(и)

Независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из них:

Зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Условная вероятность-это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло.

4. Распределение дискретных и случайных величин. Их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение)

Случайная величина - такая величина, которая в результате испытания принимает одно возможное значение, заранее не известное.

Случайные величины: дискретные (счет: 1-2-3..) и непрерывные (измерения:Амперы, Вольты..)

Случайная величина называется непрерывной, если множество её возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Способы задания величин: табличный (дискретные), аналитический, графический, Распределение = закон распределения - это совокупность значений случайной величины и вероятностей их появления.

Функция распределенияДля дискретной и непрерывной случайных величин.

Функция распределения = = интегральная функция распределения – это вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше некоторого наперед заданного числа х- малое .

Свойства: 1- для дискретных сл.в. для непрерывных сл.в.

2-неубывающая

Характеристики:

1)Математическое ожидание - сумма произведений случайных величин на вероятность их появления.

- для дискретных сл.в. - для непрерывных сл.в.

2)Дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

-для дискретных сл.в. - для непрерывных сл.в.

3)Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии.

5.Нормальный и экспоненциальный законы распределения неперывных случайных величин.

Нормальный закон распределения (НРЗ) = Закон Гусса - распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

параметры НЗР:1- ,2-

Влияние параметров НЗР на форму кривой

μ1˃μ2 σ1˂σ2

Экспоненциальное (показательное) распределение - это распределение вероятностей, которое описывается

дифференциальной функцией. f(x)=

Экспоненциальное распределение определяется одним параметром

Свойства:1- ; 2- .

7. Генеральная совокупность и выборка. Объем выборки. Репрезентативность.

Генеральная совокупность - это множество мыслимых наблюдений, однородных относительно некоторого признака, которые могли быть сделаны.

Объем генеральной совокупности N.

Выборка - это множество случаев, с помощью определенной процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Выборка характеризуется:

Объем выборки - это количественная характеристика выборки. Это количество вариантов в выборке. Это число случаев, включенных в выборочную совокупность.

Репрезентативность (фр. Representative -представляющий) - это соответствие характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности. Это свойство выборки представлять параметры генеральной совокупности.

8. Статистическое распределение (вариационный ряд). Гистограмма.

Статистическое распределение - это совокупность вариант и соответствующих им частот. xi-варианта

ni-частота встречаемости

Вариационный ряд - это та же самая выборка, но расположенная в порядке возрастания элементов.

Гистограмма - это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высоты равны относительной частоте.

Формула Стерджеса i = x(max) – x(min)

1 + 3,32lgn (вариационный размах)

9.Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия, среднее квадратическоеотклонение).

Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.

Мода - это такое значение варианты, что предшествующие и следующие за ней значения имеют меньшие частоты встречаемости.

Характеристики рассеяния определяют отклонение каждой варианты от средней арифметической.

- отклонение, Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда.

n- объем выборки, ni - частота встречаемости ,xi - варианта

Медиана - это структурная средняя признаку относительно которой вариационный ряд делится на две равные части.

Среднее квадратическое отклонение – стандартное отклонение.

Выборочная дисперсия– это случайная величина.

n – объем выборки

ni– частота встречаемости xi – варианта

х в– выборочное среднее

10.Оценка параметров генеральной совокупности по характеристикам ее выборки (точечная и интервальная).

Оценка параметра - это любая функция от значений выборки.

Точечная оценка - это выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики.

-Определяется одним числом (точкой на числовой оси)

-Выборка должна быть большого объема.

-Дает лишь некоторое приближенное значение параметра.

Интервальная оценка - это числовой интервал, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности заданной вероятностью.

-Определяется двумя числами –границами интервала.

-Более точная, надежная и информативная, так как дает информацию о степени близости соответствующему теоретическому параметру.

-Используется, если выборка малого объема

2. Выборочная дисперсия

Генеральная совокупность –это гипотетическое множество элементов, объединенных общей

характеристикой Параметры: 1. Генеральное среднее

2. Генеральная дисперсия

Генеральная дисперсия равна математическому ожиданию исправленной дисперсии

Исправленная дисперсия (более точная)

11. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительный интервал — это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью

находится генеральный параметр.

t(a,f) = n - 1- нормированный показатель распределения Стьюдента, попадание ген параметра в этот интервал Со степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в этот

интервал. - выборочное среднее, - средняя ошибка выборочной средней Доверительная вероятность P - это такая вероятность, что событие 1-Р можно считать невозможным. Признана достаточной для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.

Обычно в качестве доверительных используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что генеральный параметр попадет в этот интервал будет практически достоверным.

Уровень значимости = уровень ошибки -

12. Сравнение средних значений двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Проверка гипотезы - это процедура сопоставления высказанной гипотезы о генеральной совокупности с выборочными данными.

Этапы проверки гипотезы (общая схема)

1.Выдвигают нулевую гипотезу. Это основная гипотеза.

Сущность Н0: разница между сравниваем генеральными параметрами = 0, и различия, наблюдаемые между выборочными данными носят случайный характер.

2.Формулируют альтернативную гипотезу Н1 конкурирующую с Н0. Это логическое отрицание Н0. 3. Задаются уровнем значимости критерия.

Уровень значимости критерия а - это вероятность ошибки отвергнуть Н0, если на самом деле она верна. Решение о справедливости Н0 принимается по выборочным данным, т.е. по ограниченному ряду наблюдений оно может быть ошибочным, Потому что это вероятность ошибочного заключения.

4. Для проверки Н0 вычисляют величину критерия К, отвечающего Н0.

Статистический критерий - это правило, позволяющее основываясь только на выборке принять или отвергнуть Н0.

Критерий - это случайная величина, которая служит для проверки . Эти функции распределения приводятся в специальных таблицах для различных степеней свободы f (или объема выборки л) и разных а.

5.По таблице известного распределения вероятности определяют критическое значение, превышение которого при справедливости Н0 маловероятно.

6.Сравнение

7.Выводы

1- различие значимо

2-различие незначимо Это в случае использования параметрических! критериев.

Если непараметрический критерий, то наоборот.

13.Механические волны. Уравнение плоской волны. Параметры колебаний и волн. Энергетические характеристики.

Механическая волна-это распространение механических колебаний в упругой среде

Уравнение волны описывает зависимость смешения S частиц среды от координаты X и времени t

SAcos( (t - x))

vУравнение плоской волны

А– амплитуда,w - циклическая частота t- время Х-координата V- скорость волны S- смещение

S=f(x,t)

Параметры колебаний и волн: 1.Амплитуда А, м

2.Период, Т - Это время одного полного колебания.

3.Частота v, Гц - Это число колебаний за единицу времени.

4. ДЛИНА ВОЛНЫ Л М. Это путь, пройденный волной за период.

Иначе: Это расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах.

5.Скорость волны v м/с

6.Фаза, рад Циклическая частота w = 2пv

Условия существования волны: упругая среда, инерция Энергетические характеристики.

1.Энергия W , Дж

2.Поток энергии (устар. мощность) -это физическая величина, равная отношению энергии, переносимой волной, ко времени. Ф = W/t, dW/dt, Вт

3.Плотность потока энергии = интенсивность волны -это физическая величина, равная потоку энергии I волны через единицу площади, перпендикулярной I к направлению распространения волны. I=Ф/S

4.Объемная плотность энергии волны -это средняя энергия колебательного движения, приходящегося на единицу объема среды.

это энергия в единице объема

Wp = W/V

14. Эффект Доплера и его применение в медицине.

Доплер Христиан (1803-1853)-австрийский физик, математик, астроном.

Эффект Допплера заключается в изменении частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем, вследствие движения источника волн и наблюдателя относительно друг друга.

набл vзв vнабл ист

vзв vист

Если приближается (объект, наблюдатель), то скорость берется со знаком «+» Если удаляется, то скорость берется со знаком «-» Классический пример этого феномена: Звук свистка от движущегося поезда.

Эффект Доплера используется для определения скорости движения тела в среде, скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца = допплеровская Эхокардиография.

Когда звук отражается от движущегося объекта, частота отраженного сигнала изменяется. Происходит сдвиг частоты.

электрического поля. Схема кристалла с пьезоэлектрическими свойствами. Кристалл изменяет Форму. когда окружающее электрическое поле меняет направление на противоположное. Длина волны излучаемого ультразвука является функцией размера кристалла.

Приемники УЗ:

1.Прямой пьезоэффект. Под действием УЗ происходит деформация кварца, которая приводит к генерации переменного электрического поля.

Особенности распространения УЗ волн

-Лучевой характер

-Возможность получения больших интенсивностей

-Легко фокусировать

-Подчиняется законам отражения и преломления

-Отражается от объектов небольших размеров

Действие УЗ на вещество, на клетки и ткани организма Действие УЗ: Механическое+тепловое+Физико-химическое

Механическое действие связано с деформациеймикроструктурывещества, вследствиепериодического сближения и отдалениямикрочастицвещества.

Например, в жидкости УЗ волна вызывает разрыв ее целостности с образованием полостей.

Это кавитация. Это энергетически невыгодное состояние жидкостей, поэтому полости быстро закрываются с выделением большого количества энергии.

Кавитация - разрыв сплошности жидкости (cavltas - пустота, пузырьки).

Возникновение в жидкости, облучаемой УЗ, пульсирующих и захлопывающихся пузырьков.

Применение в медицине: Диагностика:

1.Эхолокационные методы отражения УЗ

2.Эффект Допплера

Применение УЗ в диагностике основано на отражении УЗ волн на границе сред с разными акустическими сопротивлениями.

Использование ультразвука для лечения

1.УЗ низких интенсивностей - Физиотерапия

2.УЗ высоких интенсивностей - УЗ хирургия

18.Вязкость. Формула Ньютона , ньютоновские и неньютоновские жидкости. Методы определения вязкости жидкостей.

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство текучих тел (жидкостей и газов)оказывать сопротивление перемещению слоев. Вязкость возникает из-за внутреннего трения между молекулами жидкости. Формулировка: сила внутреннего трения F между слоями движущейся жидкости прямо пропорциональна скорости сдвига — площади поверхности соприкасающихся слоев*S. Коэффициентом пропорциональности является коэффициент вязкости ŋ(ню)

– Уравнение Ньютона

Вязкость – это мера легкости, с которой течет жидкость. σ=ŋ-gradv

Напряжение сдвига прямо пропорционально скорости сдвига. ŋ - коэффициент динамической вязкости( Па\с)

Вязкость зависит от температуры, природы жидкости и формы молекул. Кинематическая вязкость.

V =ŋ\p (стокс)

Текучесть - величина,обратная вязкости. Кровь как неньютоновская жидкость. Кровь = плазма + форменные элементы

Кровь является неньютоновской жидкостью, так I как это суспензия форменных элементов в I белковом растворе. Вязкость rj крови 4-5 мПа*с.

Вязкость крови зависит от режима течения. Чем медленнее течет кровь, тем выше вязкость/