Учебные пособия / Шестакова учебное пособие УМФ

МАИ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МАИ ПО

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ»

Учебное пособие для самостоятельной работы

Шестакова О.В.

2018 г.

УДК 517

ББК 22.161.6

Учебное пособие предназначено для проведения самостоятельной подготовки студентов по курсу

«Уравнения в частных производных» или «Уравнения математической физики». В пособии рассмотрены следующие вопросы высшей математики: уравнения в частных производных первого порядка, уравнения в частных производных второго порядка, решение уравнения колебания струны методом характеристик

(методом Даламбера), решение уравнения колебания струны методом разделения переменных (методом Фурье), решение уравнения теплопроводности,

решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге Приведены краткие теоретические сведения и методики решения типовых задач. Так же сформулированы задания для самостоятельной работы студентов.

1

1. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1.Основные понятия

Равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, сами независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным,

называется уравнением с частными производными(УЧП). Если не оговорено противное,

все функции по умолчанию считаются непрерывными и имеющими непрерывные производные соответствующих порядков.

Порядком УЧП называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением УЧП называется функция u=u(x,y,…),

которая обращает уравнение в тождество; общим решением УЧП называется решение, которое содержит произвольные функции, число которых равно порядку уравнения. Число аргументов этих функций на единицу меньше числа аргументов решения u=u(x,y,…).

Общее решение, представленное в неявном виде,

называется общим интегралом уравнения. Конкретный

2

подбор произвольных функций дает частное решение

уравнения.

Любое УЧП имеет бесконечное множество решений. Наибольший интерес представляют решения,

удовлетворяющее дополнительным условиям. Эти условия называются краевыми условиями и

заключаются в указании поведения решения на некоторой граничной линии (поверхности) или в ее непосредственной окрестности. С этой точки зрения начальные условия представляют собой краевые условия во времени. Краевые условия используются для выбора частного решения из бесконечного множества решений. Практически любая задача,

описывающая физический процесс и сформулированная в терминах дифференциальных уравнений в частных производных, включают в себя краевые условия и носят название «Уравнения математической физики» (УМФ).

УЧП первого порядка, коэффициенты которого зависят от независимых переменных и искомой функции называется квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка :

3

(, , , ) + (, , , ) + (, , , ) =

где P, Q, R, T – заданные функции.

УЧП первого порядка, коэффициенты которого зависят от независимых переменных называетсялинейным уравнением в частных производных первого порядка:

(, , ) + (, , ) + (, , ) = ( , , )

(1.2)

Уравнение, правая часть которого равна нулю

Т=0 называется однородным:

+ + = 0

(1.3)Линейная комбинация решений линейного однородного УЧП также является решением этого уравнения.

Аналогичным образом определяются линейное и квазилинейное уравнения для функций большего числа независимых переменных.

Уравнению (1.1) сопоставляется система ОДУ,

симметрическая форма которой имеет вид:

4

Уравнения (1.4) называютсяуравнениями характеристик; семейства кривых, определяемые этими уравнениями, называютсяхарактеристиками

уравнения (1.1).

Интегралом системы (1.4) называется функция

φ( , , , ), непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными и принимающая постоянное значениеС при подстановке в нее решения системы (1.4).

Равенство

называется первым интегралом системы (1.4),

совокупность трех независимых первых интегралов

φ1( , , , ) = С1, φ2( , , , ) = С2, φ3( , , , ) = С3

(1.6)

системы (1.4) дает общий интеграл этой системы:

Ф( 1( , , , ), φ2( , , , ), φ3( , , , )) = 0 (1.7)

где Ф – произвольная функция переменных φ1, φ2, φ3.

5

Общий интеграл системы определяет в неявной форме общее решение УЧП. Нахождение общего интеграла уравнений (1.1)-(1.3) сводится к решению нормальной системы дифференциальных уравнений

(1.4).

Если линейное уравнение является однородным,

то соответствующая ему нормальная система имеет вид:

равенство = является первым интегралом системы(1.8). Тогда общее решение уравнения(1.3)

можно представить в виде:

где ψ - произвольная функция.

Нахождение частного решения уравнения (1.1),

удовлетворяющего заданным краевым условиям,

называется задачей Коши.

6

Методика решения УЧП n-го порядка:

(количество уравнений должно быть равно n-1)

2)Интегрируем систему.

3)Из полученных решений выражаем

«константы» интегрирования («константы» интегрирования являются функциями от )

4)Общий интеграл уравнения записываем в виде

= φ(1, 2, , −1)

Здесь φ – произвольная функция,

– выражения из пункта 3).

7

К решению следует присоединить и самоочевидное

(тривиальное) решение = , если исходное уравнение является однородным.

Пример 1.1. Найти общее решение уравнения

( − 4 ) − = 0.

Решение:

Решение уравнения будем искать методом сведения интегрируемых комбинаций.

Метод сведения интегрируемых комбинаций

заключается в получении уравнения, которое решается непосредственным интегрированием, что приводит к нахождению первого интеграла системы.

Для выделения интегрируемых комбинаций

используется свойство равных дробей, согласно

сохраняют свое значение, если из выражений в числителе и выражений в знаменателе составить линейные комбинации с одинаковыми коэффициентами:

8

комбинаций могут быть любые числа и выражения,

которые подбираются таким образом, чтобы выражение в числителе полученной дроби представляло собой дифференциал выражения,

стоящего в ее знаменателе, или чтобы знаменатель дроби обратился в нуль.

− 22 =

= ψ( − 22)

Пример 1.2. . Найти общее решение уравнения

− + − + = 0

Решение:

9