det этой системы уравнений равен нулю

введем k = wc n, где n - эффективный показатель преломления

(n2 − ε)Ex − iEy g = 0 (n2 − ε)Ey − iExg = 0

(n2 − ε)2 − g2 = 0 n =

ЭМ волны могут распространяться в среде в направлении вектора гирации с двумя арзличными показателями преломления

найдем связь между Ex,Ey

n2 = ε + g (ε + g − ε)Ex − iEy g = 0 Ex = iEy n2 = ε − g −Ex − iEy = 0 Ex = −iEy

E = eik+ z E+ ex − iey + eik− z E− ex + iey

Вслучае гиротропной среды, когда волна распространяется вдоль вектора гирации в среде имеются 2 волны с показателями преломления n = при этом плюсу отвечает первое слагаемое, а минусу второе. Мы видим что это две волны циркулярно поляризованные с разными показателями преломления.

Вывод: гиротропной среде распространяются две циркулярно поляризованные волны и у каждой свой показатель преломления

Рассмотрим распространение линейно поляризованной волны

z = 0, Ex = 1, Ey = 0 E+ 1 + E− 1 = 1

E+ −i + E− −i = 0

E+ = E−

2E+/ = 1, E+ = E− = 1

По ходу распространения среды волны зависят от косинуса и синуса. Почему? Вектор поляризации вращается в плоскости (x,y) по мере распространения среды. То есть наличие магнитной среды приводит к тому, что плоскость поворачивается.

Другая форма записи ϕ = V Hz, где V - постоянная Верде.

Естественная оптическая активность

D = εE + if[Eg]

Это соотношение работает, если вещество помещено в сильное ЭМП.

В средах, не имеющих центра инверсии (например, если есть молекулы с винтовой структурой), справедлива формула

D = εE + if[Ek]

Такие среды называются средами с естественной оптической активностью.

Вэтом случае будут справедливы и соотношения, полученные ранее для эффекта Фарадея, за исключением одного существенного различия. Рассмотрим ситуацию, когда ЭМВ распространяется в среде с отражателем (например, зеркалом).

Вслучае эффекта Фарадея углы поворота на двух участках будут складываться, т.к. волновые векторы различаются знаками и в итоге угол поворота удвоится. В среде с естественной оптической активностью ситуация такая, как если бы в эффекте Фарадея при распространении в обратном направлении вектор гирации поменял знак, и поэтому углы поворота плоскости в различных направлениях будут компенсировать друг друга. (Это обстоятельство часто приносит трудности при создании оптических устройств.)

Еще один эффект, возникающий в таких средах, — круговой дихроизм, т.е. различное поглощение волн с разными направлениями круговой поляризации. (Рассматривать его не будем)

Пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости

Ранее мы установили, что

Di (r,t) = E(r,t) + ∫−t ∞ dt′fik (t − t′)Ek (t)

Значение вектора электрической индукции может определяться величиной поля не только в конкретной точке, но и на некотором расстоянии от неё (напр. на расстояниях порядка длины свободного пробега в плазме).

Di (r,t) = E(r,t) + ∫−∞t dt′ ∫ d3r′fik (t − t′,r − r′)Ek (r′,t′)

Выражение для диэлектрической проницаемости с учетом пространственной дисперсии:

εik (k,ω) = δik + ∫0∞ dt′ ∫ d3r′fik (t′,r′)eiωt′−ikr′ , тогда

Di (k,ω) = εik (k,ω)Ek (k,ω)

Пространственную дисперсию нужно учитывать, например, когда масштаб нелокальности сопоставим с длиной волны излучения.

В изотропной среде с центром инверсии (k → −k не меняет соотношений) наиболее общее выражение для проницаемости имеет вид

Это объясняется тем, что в рассматриваемой среде мы можем соорудить только два тензора второго ранга:

ki kk δik и k2 .

Из уравнения divD = 0 имеем ki εik Ek = 0, тогда

ki (εt(δik − kikk ) + εl ki kk )Ek = 0

k2 k2

Первое слагаемое даст ноль (ki δik = kk), поэтому получаем

εl (kkEk ) = 0.

Если волна поперечная (kE = 0), то равенство выполняется всегда, и диэлектрическая проницаемость описывается только поперечной частью.

Если же kE = 0, получаем εl (k,ω) = 0, ω = ω(k) — закон дисперсии.

Чтобы (1) согласовать с ситуацией, когда у нас есть просто ε(ω), потребуем εik (k → 0,ω) = ε(ω)δik , следовательно

εt(0,ω) = εl (0,ω)

В случае, когда k мало, то есть степень нелокальности не очень велика, мы можем записать разложение εl (k,ω) = εl (ω) + αk2 (квадратично, т.к. мы имеем требование инвариантности относительно инверсии), откуда

εl (ω) + αk2 = 0 → ω = ω(k) (зависимость от k2)

13. Рассеяние электромагнитных волн. Рассеяние на флуктуациях диэлектрической проницаемости. Формула Рэлея. Рассеяние малой сферической частицей. Рассеяние вблизи критической точки

Допустим, что возможны локальные отклонения диэлектрической проницаемости от среднего значения: ε ε + δε

Запишем уравнения Максвелла:

rotE = i ωc H rotH = −i ωc D

Мы можем разбить поле на две составляющие (D0 = εE0):

E = E0 + E′, D = D0 + D′.

Снова подействовав ротором на первое уравнение, имеем

rot rot E′ = i ωc (−i ωc )D′

(grad div − Δ)E′ = ( ωc )2 D′ (2)

Чтобы выделить источник флуктуаций диэлектрической проницаемости, нам нужно связать E′ и D′.

D= εE0 + δεE0 + εE′ + δεE′

Сдругой стороны, D = D0 + D′ = εE0 + D′

Отбросив последнее слагаемое в первом равенстве (следующий порядок малости), получим, что

D′ = δεE0 + εE′

E′ = D′ − δεE0

ε

Подставляя в (2) и учитывая, что divD = 0, получим

(Δ + ( ωc )2 ε)D′ = −rot rot δεE0

Решение этого уравнения мы знаем из теории поля (разложения в интеграл Фурье запаздывающих потенциалов):

То есть электрическое поле, взаимодействуя с флуктуацией диэлектрической проницаемости, порождает флуктуационную часть вектора электрической индукции.

Некоторые следствия

Нас интересуют расстояния, большие по сравнению с размерами пространственных флуктуаций, тогда по известной из теории поля формуле :)

получим ( r − r′ = r − nr′, n = rr )

eikr

D′(r, ω) = 4π r ∫ d3r′e−iknr′ rot rot δεE0(r′, ω) =

eikr

= (инт. по частям) = 4 (−1)[k [k ∫ d3r′ei(k0 −kn)r′ δεE0(r′, ω)]]

πr

Обозначив q = k0 − k (k = kn), получим

eikr

D′ = −4πr [k [k ∫ d3r′eiqr′ δεE0(r′, ω)]]

Это соотношение определяет вектор электрической индукции в рассеянной волне.

Коэффициент экстинкции

δε в данном случае является характеристикой среды.

Предельные случаи

1) λ a

Экспоненту в интеграле можно положить равной единице, тогда, усреднив по флуктуациям диэлектрической проницаемости, имеем

Обозначим g2 − (ng)2 = g2 sin2 θ

Предполагаем, что δε вещественно.

g2 = ∫ d3rδεik ek ∫ d3r′δεil el

Введем корреляционную функцию Ckl :

δεik (r)δεil (r′) = Ckl (r − r′)

Интегрирование проведём по переменным R = r + r′ и rd = r − r′.

2 g2 = ∫ d3R ∫ d3rdCkl (rd)ek el = V ∫ d3rdCkl (rd)ek el

Рассмотрим случай, когда корреляционная функция описывает флуктуации диэлектрической проницаемости в изотропной среде, тогда

Ckl (rd) = f( rd )δkl

Ckk( rd ) = δεik (r)δεik (r′)

Будем считать, что δεik = δεδik, тогда Ckk( rd ) = 3δε(r)δε(r′) и

g2 = V ∫ d3rd δε(r)δε(r′)

ddhΩ = (41π)2 (ωc )4 V1 (g2 − (ng)2); g2 − (ng)2 = g2 sin2 θ

δεik (r)δεil (r′) = Ckl (r − r′) = Ckl (rd) g2 = V ∫ d3rdCkl (rd)ek el

В частности, для изотропной среды

δεik = δεδik, тогда Ckk( rd ) = 3δε(r)δε(r′) и g2 = V ∫ d3rd δε(r)δε(r′).

Вспомнив, что изначально интегрирование велось по d3r, d3r′, можем записать

g2 = V 2(∫ d3rδε(r))2 = V 2(δε)2 V

Таким образом,

ddhΩ = (41π)2 (ωc )4 sin2 θ V (δε)2

∫ sin2 θdΩ = 83π , откуда коэффициент экстинкции

Мы предполагали, что длина волны излучения много больше характерного масштаба флуктуаций диэлектрической проницаемости. В таком случае видим, что зависимость ω4 1/λ4

С этой зависимостью связан голубой цвет неба :-) Сильно рассеиваются более короткие волны.

Рассеяние малой частицей

Рассматриваем частицу радиуса a, a λ

Мы помним, что если поместить частицу в однородное ЭП, то у нее возникает дипольный момент Pi = V αik Ek

Задача сводится к рассмотрению поведения частицы в однородном на масштабах частицы поле.

Энергия, излучаемая в единицу времени в элемент телесного угла:

(от усреднения осциллирующего множителя в числителе и в знаменателе появится 1/2)

Рассмотрим случай рассеяния неполяризованного света.

Pi = V αik Ek = V αik ek E ei, т.е. вектор дипольного момента направлен по поляризации падающего поля.

sin θ — синус угла между поляризацией поля и направлением распространения падающей волны.

В таком случае при усреднении по поляризациям падающей ЭМВ (см. теорию поля)

Мы видим, что дифференциальное сечение пропорционально поперечному сечению частицы, зависит от диэлектрической проницаемости + есть “ослабляющий множитель” (ωa/c a/λ 1), т.е. сечение рассеяния много меньше геометрического сечения частицы.

Рассеяние на флуктуациях плотности и температуры в жидкости или газе. Формула Рэлея

Вернёмся к формуле для коэффициента экстинкции

(δρ, δT — независимые величины, поэтому δρδT = 0)

Используем известные из статистической физики выражения для флуктуаций:

Производная плотности по давлению вычисляется из уравнения состояния среды.

Рассмотрим рассеяние в газе. В этом случае диэлектрическая проницаемость зависит от плотности существенно сильнее, чем от температуры, и в формуле Эйнштейна доминирует первое слагаемое.

В газе диэлектрическая проницаемость близка к единице, поэтому ее можно разложить в ряд по плотности:

Таким образом, окончательно для коэффициента экстинкции газа имеем

Влияние пространственного масштаба флуктуаций на угловое распределение рассеянного излучения

Мы определяли вектор g как

gi = ∫ d3rδεik (r)ek eiqr

q = k0 − kn = k0 − ωc n, n характеризует направление распространения рассеянной волны

Для простоты будем считать, что δεik = δεδik, δεik ek = δεei

gi = ei ∫ d3rδεeiqr

Тогда gi ei, g e

dh

Угол θ, который входит в формулу для dΩ, будет углом между вектором

поляризации падающей ЭМВ e и направлением распространения рассеянной ЭМВ n.

Будем считать, что рассеивается неполяризованный свет, т.е. вектор e принимает равновероятные значения в плоскости, перпендикулярной вектору k0 . Тогда в результате усреднения по направлениям поляризации формула принимает вид

Ранее мы считали масштаб флуктуаций малым по сравнению с длиной волны, поэтому экспоненту в формуле для gi полагали равной единице. Теперь мы будем писать её в общей форме, и это величина, вообще говоря, комплексная, поэтому

g 2 = ∫ d3r1 ∫ d3r2 δε(r1 )δε(r2 )eiq(r1 −r2 ) = V ∫ d3r′C(r′)eiqr′

Среду считаем изотропной, поэтому C(r′) = C(r′)

(C( r1 − r2 ) = δε(r1 )δε(r2 ))

Т. е. нас интересует Фурье-образ корреляционной функции, и в нём содержится информация о масштабах неоднородностей.