Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Макроэлектродинамика

Файл:

makry_zachet

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2024

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

10. Электромагнитные волны в изотропных средах. Плоская монохроматическая волна

Электромагнитные волны в изотропных средах

Все еще высокочастотные ЭМ поля, гармоническая зависимость:

E= E0eikr−iwt, аналогично можно написать для H

Ввакууме k = wc n, n−единичный вектор в направлении которого

распространяется полская ЭМ волна, w - частота, а с - скорость света. Вопрос а как тогда в среде?

Связь k и w называется законом дисперсии

Определим закон дисперсии ЭМ волн в изотропном веществе Уравнения максвелла считая, что μ = 1, B = H:


rotE = i w H, divH = 0,			divD = 0, rotH = −	iw	ε(w)E подставим
rotE = i w H, divH = 0,			divD = 0, rotH = −		ε(w)E подставим
	c			c
E, k				c
E, k
i[kE] =	iw	H, ε(w)(kE) = 0, (kH) = 0, i[kH] = −i				w	ε(w)E
i[kE] =		H, ε(w)(kE) = 0, (kH) = 0, i[kH] = −i					ε(w)E
	c					c

Будем предполагать что ε(w) = 0, тогда (kE) = 0 - ортогональны и k

H E

Подставим первое уравнение максвелла в последнее:

[k[kE]]

= −

ε(w)E

[k[kE]] = −

ε(w)E

w/c

k(kE) − k2E = −

ε(w)E , тогда

Закон дисперсии в случае изотропной среды k2

− (

) ε(w) = 0

Изотропная среда проявляется в том что диэлектрическая проницаемость не является тензором, это просто функция

Вообще говоря, диэлектрическая проницаемость - это комплексная величина, значит надо рассмотреть случай когда мнимая часть равна нулю и когда она

не равна нулю

Untitled

Im ε(w) = ε	= 0	k =		w			n (среда) , −показатель преломления
Im ε(w) = ε	= 0	k =					n (среда) , −показатель преломления
2					c
среды					c
среды
Помним, что в вакууме k =			w			n
Помним, что в вакууме k =						n
			c
Im ε(w) = ε	= 0	k = k	1		+ ik		2	получим уравнения для мнимой и действ
2			1				2

частей

k12 − k22 − (wc )2ε1 = 0, и 2k1 k2 − (wc )2 ε2 = 0 (*)

Решения дадут k1,k2,cosθ - в такой ситуации поверхность постоянной фазы и постоянной амплитуды не совпадают, ситуацию когда волновой вектором имеет мнимую часть называют неоднородные плоские волны есть произвол 2 уравнения 3 неизвестных

Рассмотрим случай cos θ = cos(k1 k2) = 0:

k =

(n + iϰ) ,

k1 =

ϰ Подставим в исходные уравнения

(*)

n2 − ϰ2 − ε1 = 0

2nϰ − (

ε2

)2 − ε2

= 0

ε2 2

ε1

ε1 + ε

− n ε1 − (

) = 0 n

n =

ϰ= 2εn2 = ε22 = ε2 =

Рассмотрим случай для металлов при низких частотах, ε = 4πiσw

ε1 = 0, ε2	=	4πσ	n = ϰ =	=
		w

Рассмотрим случай когда диэлектрическая проницаемость может обращаться в ноль

i[kE] =	iw	H, ε(w)(kE) = 0, (kH) = 0, i[kH] = −i	w	ε(w)E
	c		c

Untitled

ε(w) = 1 −

Пусть ε(w) = 0 при w = w0 если предположить что формула, полученная из

модели свободных электронов справедлива при всех частотах

wp2 тогда при плазменной частоте ε(wp ) = 0

Тогда [kH] = 0,(kH) = 0 значит возможное решение этой системы это

H = 0, (kE) = 0,[kE] = 0 это означает что когда ε = 0, E направлено вдоль k

эта ситуация называется ситуацией когда в системе существуют продольные электрические волны.

Для случая ε = ε(k,w) = 0 , то k = k(w) - з-н дисперсии (будет рассм позже)

Untitled

11. Излучение Вавилова-Черенкова

Данный эффект находит применение во многих вещах, для детекторов и прочее. Кратко: имеется среда с ϵ и через среду движется частица, равномерно прямолинейно. Оказывается, что если скорость частицы больше чем скорость света в среде, т.е. чем cϵ , то возникает излучение. Можно объяснить эффект так: происходит неоднородная поляризация среды и среда начинает излучать (макроскопическая интерпритация)

Запишем уравнения М. :

rotE =		−1 ∂H			, divE = 4πeδ(r − vt)

			c	∂t
rotH =	4π		veδ(r − vt) +			1	∂D	, divH = 0
						c
	c						∂t

(1)[kE] = wc H, (2)(kH) = 0

i(kD) = ∫ dr ∫ dt exp(−ikr + iwt)4πeδ(r − vt) → (kD) = −8π2eiδ(w − kv)

i[kH] = 8π2e Vc δ(w − kv) − i wc D [kH] = −8π2e Vc δ(w − kv)i − wc ϵE

Выразим Е и Н:

E =

(−8π2e

δ(w − kv)i − [kH])(3)

ϵw

Воспользуемся (1)

H =

(−8π2e

[kv]

δ(w − kv)i − [k[kH]]), воспользуемся

ϵw

[kv]

“бац минус цаб” + (2), тогда

H =

(−8π2e

δ(w − kv)i + k2H)

ϵw

8π2e

[kv]

δ(w − kv)i

Тогда H =

w 2

− (

)

Теперь выразим Е из (3):

Untitled

8π2e

[kv]

δ(w − kv)i

E =

(−8π2e

δ(w − kv)i − [k,

]), раскроем двойное

ϵw

− (

) ϵ

векторное произведение

8π2eδ(w − kv)i

[k,

[kv]

] =

8π2eδ(w − kv)i

−

w 2

k2v

− (

) ϵ

− (

)

8π2eδ(w − kv)i

k2v

Тогда

E =

(−8π2e

δ(w

− kv)i

−

)) =

ϵw

− (

)2ϵ

Будем работать только с выражением для магнитного поля.

8π2

[kv]

eδ(w − kv)i

H(r, w) = ∫

d k

exp (ikr)

, теперь направляем скорость

(2π)

− (

)2ϵ

по оси z и выполним интегрирование по kz , q = kперп,H(r, w) =

8π2e

v[kez ]

δ(w − vkz )i

1 1

dkz

(ikr)

iwz

∫

d q

∫

d q

exp(i

)

(2π)

2π

k2 − (

(2π) 2π v

Введем поперечную координату ρ,учтем, что kz = (w/v)2 − (w/c)2ϵ и что в векторное произведение войдет только перпендикулярная составляющая q

H = ∫

d2q

exp (iqρ + iwz/v)4πei

[q, v/c] =

(2π)

+ (w/v) − (w/c)

поменяем местами вектора в векторном произведении, учтем, что iq =

grad,[v, grad] = [v, grad ]=

−4πe

[

, ] ∫

d2q

exp (iqρ + iwz/v)

c v

(2π)

+ (w/v) − (w/c) ϵ

Определяем функцию

d2q

eiqρ

K (aρ)

∫

, где K0 это функция Макдональда,

(2π)2 q2 + a2

2π

причем K (x >> 1) ≈

−x

( )

H =

−4πe

exp(iwz/v)[

]

K0(

)ρ)

, такое поле вокруг

2π

частицы, когда она попадает в среду. 2 случая:

Untitled

1ый. (w/v)2 − (w/c)2ϵ > 0 , то затухание(см. (*) асимптоту К0)

2ой случай. (w/v)2 − (w/c)2ϵ < 0 или когда скорость частицы больше скорости в среде. Появляется мнимая единица, появляется расходящаяся цилиндрическая волна, возникает поле излучения.

Подробнее случай 2.

Что необходимо сделать? Для начала найти асимптотику. Из (*)

K0(

)ρ →

exp i

)ρ

Возникает поле exp(ikz z + ik ρ) = exp(ikr), k =

(

)n, w/v)

В каком направлении движется волна cosθ =

w/v

w /c

На больших расстояниях преобладает множитель с экспонентой, а не множитель обратно пропорц. корню!

Когда действуем → ik , но так как вектор v направлен по оси z, то ничего не изменится если к k прибавимkz , поэтому просто умножим на ik.

					1	ei	)ρ	1
					1	ei	)ρ
					2
	−4πe	v
H =		exp(iwz/v)[		, ik]
H =	c	exp(iwz/v)[	v	, ik]				2π

Излучение

S =

[EH], выразим через вектор к и учтем, что когда излучение, что к и Е

4π

перпендикулярны на больших расстояниях. [kH] = [k[k, E]]

= (k(kE) −

Ek2)

[nH]

Тогда E == (−[E, H])

= −

wϵ

S =

,(тогда)

2πρdzsinθ, синус так как нам надо посчитать

4π2

энергию уходящую от траектории, так как мы цилиндрическую волну считаем.

dwdz

−4πe 2

2 1

2πρ

(

) [

, ik] (

)

) =

4π

4ρ (w/v) − (w/c)

Untitled

[

, ik]2

= ]k2

= (w )2

ϵ − (

[ =

w(1 − (

)2)

Untitled

12. Электромагнитные волны в прозрачных анизотропных средах. Волны в одноосном кристалле. Волны в гиротропной среде. Эффект Фарадея. Естественная оптическая активность.

Di = εik (w)Ek , εik −тензор диэл проницаемости Рассмотрим случай когда εik (ω)−вещественная величина

∂D

= 0

Покажем, что если Im εik = 0, то ЗСЭ выполняется те divS = 0 покажем что E

∂t

(

E e−iwt + E eiwt

∂ εik Ek e−iwt + ε E eiwt

) ∂t

(

E e−iwt + E eiwt

) − iw

εik Ek e−iwt + εik E eiwt

−εik EiE + E εik Ek

При усредении ушли сильно осциллирующие члены, теперь заменим i ↔ k во втором слаг.

= −εik EiEk + Ek εkiEi = 0 тк εik = εki - симметричный тензор

Таким образом мы показали что энергия не исчезает, усред дивергенция S равна нулю

Напишем уравнения максвелла для полских волн в анизотропной среде с тензорной структурой диэлектрической проницаемости.

i[kE] =		iw		H,		(kH) = 0, (kD) = 0, i[kH] = −i			w	D сократим на i

		c							c
[kE] =	w		H, (kH) = 0, (kD) = 0, [kH] = −				w	D

	c						c
k, H, D - образуют тройку взаимноортоганальных векторов (всегда)
Dik = εik Ek					k - может быть не перпендикулярен E, тк из-за тензорной струкутры D может быть не
параллелен E
					^	^
Покажем , что (ED) = (Sk):

(ED) = −(E		[kH]		) = −	4π c	k[EH] =	4π	kS те углы равны, а произведения пропорциональны (
					4π w
		c/w					w
		c
собрали S =			[EH])
	4π

Соотношения связывающие k и w. Дисперсионные уравнения
[kH] =	[k[kE]]			= −			w	D из уравнений максвелла

	w/c						c
[k[kE]] = − (			w		2
				) D
			c
		2			w 2
k(kE) − Ek			+ (			) D = 0

ki (kE) − Eik2 + (wc )2εik Ek = 0

((ki kk − k2δik + (wc )2εik )Ek ) = 0 чтоб было нетрив решение det() = 0

Введем k = c n , для вакуума n- просто направление расрпостранения, а для среды единичный вектро направления на показатель преломления. Тогда дисперс уравнение:

det(εik − n2δik + nink ) = 0

Рассмотрим случай одноосногокристалла

Untitled

εik

a + n2

nxny

nxnz

a + ny2

= 0

ny nx

ny nz

nz nX

nz ny

b + nz2

a = ε − n2

b = ε − n2

(a + n2 )[(a + n2 )(b + n2 ) − n2 n2

] − nxny [ny nx(b + n2 ) − n2 ny nx

] + nxnz [n2 nxnz − (a + n2 )nz nx] =

z y z

(a + nx2 )[(a + ny2 )(b + nz2 ) − ny2 nz2

] − nx2 ny2 b − nx2 nz2 a = 0

(a + n2 )[ab + nb + n2 a] − n2 n2 b − n2 n2 a = 0

x y

a(ab + n2 b + n2 a) + n2

(ab + n2 b + n2 a) − n2

(n2 b + n2 a) = 0

y z

a(ab + b(n2

+ n2 ) + n2 a) = 0

Первое решение

a = 0 a = ε − n2	n =

Получили такое же соотношение как и было в случае изотропной среды. Такое решение описывает обыкновенные волны.

Второе решение описывает необыкновенные волны. Подствим a, b

(ε − n2)(ε − n2) + (ε − n2)(nx2 + ny2 ) + (ε − n2)nz2 = 0

ε ε − n2(ε + ε ) + n4 +

ε (n2

+ n2 ) − n2(n2 + n2 ) + ε n2

− n2n2

= 0

ε ε − n2(ε + ε ) + ε (n2 + n2 ) + ε n2 = 0

Введем угол θ между осью одноосного кристалла и вектором n. Тогда

= n2 cos2 θ, (n2

+ n2 ) = n2 sin2

ε ε − n2(ε + ε ) + ε n2 cos2 θ + ε n2 sin2 θ = 0

ε ε − ε n2 sin2 θ − ε n2 cos2

θ = 0

n2 =

ε ε

sin2 θ + ε

cos2 θ

sin2θ

cos2 θ

n =

Показатель преломления оказывается зависимым от направления распрастранения волны, от того какой угол межлу осью кристала и направлением распрастранения волны для необыкновенной волны.

В случае анизотропной стреды, односного кристалла мы имеем два типа электромагнитных волн каждый из которых характеризуется своим показателем преломления приэтом показатель предломления необыкновенных волн зависит от направления распространения волны и своей поляризации.

Найти поляризацию: найти решение дисперсионного уравнения, возвращаемся к исходной сист линейных уравнений отн неизвестных компонент напряженности ЭП и соотношения между ними определят поляризацию поля.

Если θ = 0 т.е. волна распространяется вдоль оси кристалла, то n = т.е. в таком случае обыкновенная и необыкновенная волная имеют одинковый коэф преломления и волна не узнает что она

Untitled

распространяется в анизотропной среде тк нет ε

Эффект Фарадея

Связь D и E при наложении на среду магнитного поля

В модели свободных электронов уравнение имеет вид:

¨		−iwt		e		˙
mr	= eE0e		+			[rH]
mr	= eE0e		+		c	[rH]
					c

можно считать независящим от координат, если амплитуда колебаний электронов поддействием электрического поля мала по сравнению с длинной волны ЭМ поля, то можно пренебречь зависимостью E(r) и считать что это некое значение E0 в месте где колебелется элеткрон.

Решаем это уравнение методом последовательных приближений, предполагая что частота больше чем

ламоровская частота.

¨(1)

−iwt

(1)

(t) = −

eE0e−iwt

= eE0e

mw2

¨(1)

¨(2)

−iwt

˙(1)

m(r

+ r

) = eE0e

H] запишем ответ:

r(1) + r(2)

eEe−iwt

iweE0e−iwt

= −

−

[

,H]

mw2

mw2c

ne2

ne3

P = ∑ er(t) = −

E − i

[E,H] это поляризация

mw2

m2w3c

D = E + 4πP = (1 −

4πe2

)E − i

4πne3

[E,H] Выражение для связи вектора магнитной индукции с

m2w3c

mw2

напряженностю электрического поля в присутсвии магнитного поля

Условия:

Сильное магнитное поле постоянное (не зависит от времени )

Напряженность магнитного поля намного больше чем напряженннось поля в приложенной ЭМ волне, то есть мы не учитываем поле волны.

4πne3

D = εE + if[E,H] вот эта связь D и E, f = m2w3c

эта формула выведена в модели свободных элетронов остается справеливой в общем случае. Так же можно записать ее в виде:

D = εE + i[Eg], где g = fH - вектор гирации, а среды в которых справедливо это соотношение называют гиротропными средами

Рассмотрим распространение ЭМ волны в гиротроной среде.

Уравнение максвелла: [k[kE]] = −w D , w/c c

Дисперсионное уравнение : k(kE) − Ek2 = − (wc )2 (εE + i[Eg])

Рассм случай, когда волна распространяется вдоль вектора гирации (геометрия Фарадея)

kD = k(εE + i[Eg]) = ε(kE) = 0 тк k[Eg] = 0 тк k g, и kD = 0

т.е напряженность электрического поля и k ортогональны

Дисперсионное уравнение: k(kE) − Ek2 = − (wc )2 (εE + i[Eg]) (k2 − (wc )2 ε)E − i(wc )2[Eg] = 0

Untitled

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>