makry_zachet

фононами и тд. Происходит диссипация энергий. Напишем ЗСЭ:

∂W + div S = − j E dt

Усредним по энергии:

Q = ∫ dV j E = − ∫ divS dV = − S d f Вычислим эту величину.

Получим формулу для энергии поглощенной через напряженности ЭП и МП:

Формула, описывающая значение поглощенной энергии в единицу времени.

Оценка частотной зависимости.

Рассмотрим случай низких частот. Помещаем проводник во внешнее МП, которое выражается следующим образом

H = H0 e−iωt, Q = ∫ dV j E

Q ω2

Проникновение МП в пров. (при больших частотах)

Теперь рассмотрим случай высоких частот. Когда МП направлено параллельно границе нашего проводника.

будем считать, что H0 имеет x компоненту H0 = (H0 , 0, 0).

Поскольку у нас непрерывен вектор на границе, можем сказать, что и внутри

Теперь по МП найдем ток, который возникает в проводнике.

rotH = 4π j

ey = [ e z , ex] = [ e x n ]

QS = − 81π Re[4πσc [ n H0 ] , H0 ]

Q {ω2

В случае низких частот характерный масштаб размер проводника, в случае

c

высоких частот глубина проникновения δ

Скин-эффект

Если мы берем проводник с током. Ток задан и он создает МП, а МП влияет на распределение тока через уравнение Максвелла. В случае квазистацион. ЭМП, плотность тока распределена не равномерно по проводнику. В зависимости от частоты и других характеристик, толщина слоя может меняться.

Распределение тока в цилиндрическом проводнике

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течет ток. Найдем распределение МП в такой системе и распредtление плотности тока по сечению проводника.

r > R

4π rotH = c j

∫ rotH = ∫ Hd l = 2πrHφ Hφ = 2crI

Что будет внутри проводника?

H = 4π σ ∂H = 4π σ (−iω) H c2 dt c2

Запишем лапласиан в полярных координатах для фи компоненты

Нам нужно ограниченное решение в нуле, а это есть ничто иное, как уравнение Бесселя.

f = AZn (x) , n = 1, f = AJ1 (x)

Hφ = AJ1 (kr)

Теперь нужно найти распределение тока по сечению проводника:

Воспользуемся асимптотиками функции Бесселя

J0 (x) = cos (x − π4 ), для J1 +pi/4

9. Быстропеременное электромагнитное поле в веществе. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости. Свойства диэлектрической проницаемости. Диэлектрическая проницаемость при больших частотах. Соотношения КрамерсаКронига.

Квазистационарное магнитное поле (несколько слов)

Что такое большие частоты, что такое низкие частоты.

Характерные величины это размер проводника l, глубина проникновения ЭМ поля в проводник δ = c/

Если δ l , высокие частоты энергия пропорциональна

δ l - низкие частоты, энергия поглощенная в проводнике пропорциональна w2 те квадрату частоты

Будем предполагать что имеется монохромотическая зависимость поля от частоты: E(r,t) = E(r)e−iwt

Если подставить Е в уравнения Максвелла, то получим:

выражает собой принцип причинности. Второе слагаемое описывает поляризацию 4πP (r,t). Вектор электрической индукции поляризация в заданный момент времени определяются значениями поля до момента времени t, то есть предыдущими значениями поля.

Подставляя E в D и обозначая t − t′ = τ, получим:

D(τ) = ε(ω)E(r), ε(ω) = 1 + ∫0∞ dτeiwτ f(r)

Аналогично для связи тока с напряженностью ЭП: j(r) = σ(ω)E(r)

Оба этих соотношения является следствием принципа причинности. Мы предполагаем что среда изотропна (если не изотропна, то они будут иметь тензорный вид).

Подставим полученные выражения в уравнения Максвелла

rotH = 4cπ σE − i wc ε(w)E = −i wc (ε + 4wπσ )E те в случае

быстропеременного поля, когда есть гармоническая зависимость от времени, не нужно различать проводимость и диэлектрическую проницаемость среды. Введем обобщенную диэлектрическую проницаемость ε(w). Когда речь идет о

c

Свойства диэлектрической проницаемости

ε(ω) = 1 + ∫0∞ dτeiwτ f(r)

нет особенностей при Im w > 0 , интеграл сходится. поэтому особенности могут лежать только в нижней полуплоскости мнимой части.

те реальная часть является четной функцией частоты, а мнимая часть является нечетной функцией от частоты, значит при низких частотах реальная часть раскладывается в ряд по четным степеням, а мнимая по нечетных, в частности для металлов при w → 0 ε2 → 4wπσ

Из общего соотношения следует, что ε(−w) = ε (w)

Диэлектрическая проницаемость при больших частотах

Характерная частота это wат - частота вращения электрона в атомах. Большие частоты это w waт.

Физическая картина при таких частотах : связные электроны колеблются под действием внешнего поля с высокой частотой. В этой ситуации не важно связные они или свободные так как они не успевают почувствовать связь. Поэтому можно воспользоваться моделью свободных электронов.

Характерное время это w−1, а характерное смещение vw−1 = v/w c/w λ, значит, при рассмотрении отклика системы на действие ЭП мы можем пренебречь пространственным изменением поля на масштабах

колебания отдельного электрона. Можем считать поле однородным E(r,t) = E(t). Тогда в модели свободных элеткронров для второго закона Ньютона:

Найдем поляризацию среды под действием внешнего ЭМП

e2

P = ∑ e r = − ∑ mw2 E(t), домножим на 4 пи

4πP = − ∑ 4πe2 E(t) = −4πn e2 E(t) mw2 mw2

просуммировали по всем электронам которые колеблются с такой частотой, считая что она большая и электроны можно рассматривать как свободные. Подставим в D

Комментарии отн эксперимента

Так как не все электроны можно считать свободными для заданной частоты, то n- считается nэф - число эл -нов которые можно считать свободными.

Энергия поглощенная в веществе в случае выскочастотного ЭМ поля.

выражение определяет энергию кот поглощается в веществе. Воспользуемся связью E и D. (берем реальные части от каждой из величин, так как у нас квадратичная величина)

Сильносциллирующие члены пропадают при усреднение (поэтому скобки так раскрыли)

=41π 14(Ee−iwt + Eeiwt) − iw(εEe−iwt − ε E eiwt) =

=−41π 14(−iw)[−ε E 2 + ε E 2] = −41π 14(−iw) E 22i Im ε

div S = −81π wε2 E 2

Получили выражение для энергии поглощающейся в среде. Если вещество находиться в равновесии, то энергия может только поглощаться, те div S отрицательная и тогда Imε = ε2 > 0. Если среда неравновесная, например в ней реализуется инверсная населенность уровней, тогда будет Imε = ε2 < 0 и система будет излучать

Соотношение Кармерса - Кронинга

Диэлектрическая проницаемость ε → 1 при больших частотах по закону 1/w2. Тогда

нет особенностей в нуле

Интеграл равен нулю так как ε(z) − 1 → 0 по закону 1/z2,особенность z − w мы обошли

С другой стороны интеграл в смысле главного значения:

Эти соотношения связывают реальную и мнимую части и называются соотношениями Крамерса - Кронинга.

порядка в (z=0)

эти соотношение имеют практический смысл в восстановлении частотной зависимости диэлектрической проницаемости