Билеты / Билеты по матану

Добавил:

mizuki Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3. Исследовать на сходимость числовой ряд

3. Исследовать на сходимость числовой ряд

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2024

Размер:

580.32 Кб

Скачать

☆

Билет 1

1.Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства пределов. Односторонние пределы, второе определение предела.

2.Несобственные интегралы 1 и 2 рода: определение, понятие сходимости, признак сравнения. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1 рода.

3. Исследовать на сходимость числовой ряд

			n
arcsin
	n	2
n 1

4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

−3	0		0	0
∫		∫	+ ∫	∫
−6			−3	−√
	−√6+				−

Билет 2

1.Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и его следствия.

2.Площадь фигуры и длина кривой в декартовых и полярных координатах.

3. Найти область сходимости функционального ряда

n 1

4. Вычислить

, где L – первый виток винтовой линии

	x a cos t

	y a sin t .
		z bt
		z bt

Билет 3

1.Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и их свойства. Третье определение предела. Сравнение бесконечно малых.

2.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Объем тела и площадь поверхности вращения.

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд

	1
	n
	n ln n	.
n 2	n ln n

4. Найти точки экстремума функции экстремума.

z 2x	2

3xy 2 y	3

. Указать тип

Билет 4

1. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2. Интегрируемость непрерывных и монотонных ограниченных функций. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

						1
3.	Найти область сходимости функционального ряда					1
3.	Найти область сходимости функционального ряда						n
					n 1 2n 1 x		n
					n 1 2n 1 x
4.	Вычислить		( x2	2xy)dx ( y 2	2xy)dy, где С – парабола у = х2 ( -
4.	Вычислить		( x2	2xy)dx ( y 2	2xy)dy, где С – парабола у = х2 ( -
		C

1 ≤ х ≤ 1).

Билет 5

1.Производная, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной. Свойства производной (правила дифференцирования).

2.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в ограниченной замкнутой области.

			n
3. Исследовать на сходимость числовой ряд ln	1	2	n
	n	2
n 1	n

4. Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

 

3		0
dx	1		f (x, y)dy.
3	1	9 x	2
	2	9 x
	2

Билет 6

1.Производная сложной, обратной и параметрически заданной функции. Таблица основных производных. Дифференцируемость функции, ее связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

2.Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости. Свойства определенного интеграла.

3. Найти область сходимости функционального ряда

			y	sin x	.		dz
	z xy	x2 y 2 ,

4.						Найти	dx .
				x

		x	n
		x
	1	x		2n
n 1	1	x
n 1

Билет 7

1.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

2.Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие

экстремума. Достаточное условие экстремума.

3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд

	n			1
1	n	sin		1			.
1		sin	2n 1				.
n 1			2n 1
n 1
4. Вычислить					y	dl
					2
				С

, где С – арка циклоиды

 0

a(t sin t) a(1 cos t)t 2

Билет 8

1.Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Правило Лопиталя.

2.Определение числового ряда, частичной суммы, сходимости ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Остаток ряда, его связь со сходимостью.

u xy	2

xz y

. Найти

(1;2;3)

, если cos α = cos β = cos γ.

4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:


2	0	2√2	0
∫	∫	+ ∫		∫
0	−√	2
			−√6− 2

Билет 9

1.Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы: определение, необходимое условие.

2.Определение функционального ряда, области сходимости, суммы функционального ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

3.Найти точки экстремума функции z 2x3 xy2 5x2 y2 . Указать тип

экстремума. 4. Вычислить

	x	2	y	2	dl,
	x		y		dl,
L

где L – окружность х2 + у2 = ах.

Билет 10

1.Достаточные условия экстремума функции одной переменной.

2.Степенные ряды. 1-я теорема Абеля. Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда. Формулы Даламбера и Коши-

Адамара. Свойства степенных рядов.

3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1;1;1): x ln z z ln y 2 y ln x 2x 2z 0.

4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

∫02 ∫0 + ∫22√2 ∫0√8− 2 .

Билет 11

1.Выпуклость вверх и вниз: определение, связь с производными. Точки перегиба: определение, необходимое и достаточное условия существования.

2.Двойной и тройной интеграл – определение и свойства.

3.Исследовать на сходимость числовой ряд

4.Найти точки экстремума функции z x2 y 1n 1

экстремума.

				1
				1
n			5	n	3		1
n			5				1


y	3	2x				2	3y
y		2x					3y

. Указать тип

Билет 12

1.Асимптоты графика функции: виды и способы нахождения. Общая схема исследования функции. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

2.Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан, его геометрический смысл. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.

								1
3. Найти область сходимости функционального ряда								1	.
3. Найти область сходимости функционального ряда							1	x	.
								n
						n 1
4. Вычислить частную и полную производную			z	,	dz	, если z			sin( x y2 ), где
4. Вычислить частную и полную производную			x	,		, если z			sin( x y2 ), где
			x		dx
y	3	cos x.
y		cos x.

Билет 13

1.Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

2.Производная по направлению. Градиент и его свойства. Касательная

плоскость и нормаль к поверхности.

3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд

	1
		n
	n	n 6	.
n 1	n	n 6
4. Вычислить				( xy 1)dl,
4. Вычислить				( xy 1)dl,
			C
Билет 14

где С – дуга параболы у = х2 от (- 1; 1) до (2; 4).

1.Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители в комплексной и

действительной области. Рациональные дроби. Правильная рациональная дробь, ее разложение в сумму простейших в комплексной и действительной области. Интегрирование простейших дробей.

2.Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Инвариантность формы дифференциала. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций.

		1
3. Найти область сходимости функционального ряда		1
3. Найти область сходимости функционального ряда	1	e
		nx
n 1

4. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

3	6x x	2
3	6x x
dx		f (x, y)dy.
0	x

Билет 15

1.Первообразная и ее свойства. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Инвариантность интегрирования. Формула интегрирования по частям.

2.Частные производные, их свойства и геометрический

смысл. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

4. Вычислить

xydx ( x 2 y)dy, С

где С – дуга астроиды	x a cos3 t			, 0 t		.
где С – дуга астроиды		3		, 0 t		.
	y a sin		t		2

Билет 16

1. Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Интегрирование рациональных

тригонометрических выражений и выражений вида sinnx∙cosmx.

2. Функция нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства.

						2	cosn
3. Исследовать на сходимость числовой ряд						2	cosn	.
3. Исследовать на сходимость числовой ряд							n	.
					n 1		n
					n 1
4. Вычислить		ydx ( y x	2	)dy,				2	,
		ydx ( y x		)dy,				2
					если К – дуга параболы у = 2х – х
	K

расположенная над осью Ох и пробегаемая по часовой стрелке.

Билет 17

2.Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, свойства, способ вычисления.

3.Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд

	1
	n
	nln 2n 1	.
n 2	nln 2n 1

4. Найти точки экстремума функции

Билет 18

x	3

8 y3

6xy

. Указать тип экстремума.

1.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

2.Криволинейный интеграл 2-го рода: определение, свойства, способ вычисления. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

3. Исследовать на сходимость числовой ряд



n 1

3+arctg n
3	n

4.	z

xe	y	xy,	x u tgv,

y v ln u.

Найти

z	,
u

z v

Билет 19

1.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

2.Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства, способ вычисления.

3. Исследовать на сходимость числовой ряд

		2n 1
		3n 8
n 1		3n 8

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

y	x		, y 0,	x 1.



1		x

Билет 20

2.Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, свойства, способ вычисления.

3.Найти область сходимости функционального ряда

n 1

4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

	x	n

1 x
		n
1		sin

		x
0

xdx

Соседние файлы в папке Билеты

#
28.01.2024580.32 Кб68Билеты по матану.pdf
#
28.01.20247.75 Mб27Ответы на вопросы по всем билетам.docx