Шпаргалки / таблица интегралов
.pdf
Приложение
Правила интегрирования и таблица неопределенных интегралов
Обычно при нахождении интегралов сначала используют правила интегрирования, а затем – таблицу интегралов.
Правила интегрирования:
1) kudx k udx , где k const
– постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
2) (u v)dx udx vdx – интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности;
3) udv uv vdu – правило интегрирования по частям.
Таблица неопределенных интегралов:
xn 1
xndx n 1 C ( n 1), где C const , в частности: dx x0dx x C
Самая ходовая формула, с помощью которой интегрируются многие (но не все!) корни,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
a |
|
|
например: 3 x5 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
, |
. Для этого их нужно представить в виде x b |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 |
|
x2 |
|
|
x5 |
|
|
|
||||||||||||
(как именно – см. Приложение Полезные формулы). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx |
ln |
|
x |
|
C (случай n 1) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
axdx |
ax |
C |
(a 0, a 1) , в частности: |
exdx ex C |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin xdx cosx C
cosxdx sin x C
|
dx |
tgx C , |
|
dx |
ctgx C |
|
|
||||
cos2 x |
sin2 x |
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
|
|
dx |
|
|
1 |
arctg |
x |
C (a 0) |
, в частности: |
|
|
dx |
|
arctgx C |
||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||||
|
|
a |
x |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
ln |
|
x a |
|
C |
(a 0) «высокий логарифм» |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
x a |
|||||||||||||||
|
|
x |
a |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примечание: часто данную формулу можно встретить немного в другом виде,
например: |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a x |
|
C , но первый вариант, на мой взгляд, удобнее. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
a x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
x2 A |
C |
( A 0) |
«длинный логарифм» |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
arcsin |
|
x |
C |
|
(a 0) , в частности: |
|
|
dx |
arcsin x C |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a2 x2 |
|
|
a |
|
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Интегралы от гиперболических функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
shxdx chx C |
|
|
|
|
chxdx shx C |
|
dx |
thx C |
|
dx |
cthx C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
sh |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
И ещё пара формул, которые иногда включают в «классическую» таблицу:
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 Adx |
|
|
x2 A |
|
ln |
x |
x2 A |
C |
( A 0) |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
2 |
x |
2 |
dx |
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
C |
(a 0) |
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|||||
Однако эти интегралы крайне желательно решить подробно – см. урок http://mathprofi.ru/slozhnye_integraly.html (в настоящий курс они не вошли)
! Важно! Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук). Их я рекомендую использовать только для самопроверки или в самом крайнем случае, так как интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приёмов интегрирования. И, соответственно, подобное «решение» может сильно не понравиться рецензенту.
Типичный пример такого «табличного» интеграла: ln xdx x(ln x 1) C
В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, необходимо применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
А вот некоторые неберующиеся неопределённые интегралы:
e x 2 dx – интеграл Пуассона;
sin x2dx , cosx2dx – интегралы Френеля;
lndxx – интегральный логарифм;
exxdx – интегральная экспонента;
sin xdx – интегральный синус; x
cosxdx – интегральный косинус. x
Встретятся – не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берётся. А если подобные интегралы появятся в ходе решения какого-либо примера, значит, либо Вы ошиблись, либо интеграл заведомо является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!