Шпаргалки / таблица производных
.pdf
Приложение
Правила дифференцирования и таблица производных
Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций
Правила дифференцирования:
1) (Cu) Cu , где C – постоянное число
– константу можно вынести за знак производной;
2) (u v) u v – правило дифференцирования суммы;
Правила №№1,2 часто называют свойством линейности производной.
3) (uv) u v uv – правило дифференцирования произведения;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u v |
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– правило дифференцирования частного; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
v2 |
|||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– дифференцирование сложной функции. |
|||||||||||||
(u(v)) |
u (v) v |
|||||||||||||||||||||||
Таблица производных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , где C – постоянное число; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(C) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
nx |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
) |
|
|
|
в частности: ( x ) |
|
|
|
, (x) |
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
x |
|
|
||||
Следует обратить внимание, что производная степенной функции – это самая «ходовая»
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
вещь на практике. Любой радикал (корень), например |
3 x5 , |
|
|
, |
, |
(4x 7)3 , нужно |
||||||||||
|
|
|
|
x5 |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представить в виде x |
b |
для применения формулы (x |
n |
nx |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(как представить – см. Приложение Горячие школьные формулы).
Логарифмическая и показательная функция:
|
|
|
|
1 |
, в частности |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
(loga x) |
x ln a |
(ln x) |
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(a |
x |
a |
x |
ln a , в частности (e |
x |
e |
x |
|
|
||
) |
|
) |
|
|
|
||||||
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Тригонометрические функции:
(sin x) cosx (cosx) sin x
|
|
|
1 |
|
||
cos2 x |
||||||
(tgx) |
||||||
|
|
|
1 |
|||
|
sin2 x |
|||||
(ctgx) |
||||||
Обратные тригонометрические функции:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 x2 |
|
|||||||||
(arctgx) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
1 x2 |
|
||||||||||
(arcctgx) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x) |
|
x2 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arccos x) |
|
1 x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Гиперболические функции:
|
chx |
|||||
(shx) |
||||||
|
shx |
|||||
(chx) |
||||||
|
|
|
1 |
|
||
ch2 x |
||||||
(thx) |
||||||
|
|
|
1 |
|||
|
sh2 x |
|||||
(cthx) |
||||||
Если функция задана в параметрической форме:
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
, |
|
|
( yx )t |
(вторая производная) |
||
|
|
|
|
||||||
yx |
t (t) |
yxx |
t (t) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Важно!
x (t) |
, то: |
|
|
y (t) |
|
Иногда встречаются очень большие таблицы производных (порядка 100 штук). Такие таблицы рекомендую использовать только для проверки или в самом крайнем
случае, поскольку производные «других функций» на самом деле являются следствием правил дифференцирования, и ваше «решение» может сильно не понравиться рецензенту.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!