Вопрос 32. Тензор инерции.

 Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных точек с массами  . Закрепим тело в точке  . Пусть   - радиус-векторы точек   относительно точки  , а   - мгновенная угловая скорость тела, тогда скорость   точки:  . Момент импульса всего тела относительно точки  :

. (10.106)

Рассмотрим проекции на оси координат: ;

  ;  .(10.107)

 Учитывая, что , (10.108)

имеем: ; ; . (10.109)

Здесь: ;  ;   . (10.110)

Очевидно, что  ;  ;   и тд. Потому из 9 величин   являются различными лишь 6. Величины  ,  ,   - называются осевыми моментами инерции; а величины  ,  ,   - центробежными моментами инерции. Таким образом, момент импульса весьма сложно зависит от распределения масс в теле и его направление, вообще говоря, не совпадает с направлением угловой скорости вращения тела.  Поэтому в общем случае нельзя писать  , а необходимо приводить уравнение для проекций на соответствующую ось (ось вращения). Совокупность величин    называются тензором инерции. Величины  называются диагональными элементами тензора, а остальные – недиагональными элементами. В данном случае элементы, расположенные симметрично относительно диагонали, равны. Такой тензор называется симметричным.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Те системы, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета. 

Вопрос 33. Колебания

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов    и   в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A. Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω₀. Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где φ₀ - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0

а в произвольный момент времени

 (1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х, и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса   

называется гармоническими.

Гармонические колебания являются периодическими, т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия или после того как ей был сообщен толчок.

Виды колебаний

Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

• Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

• Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

• Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

• Случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом.