Билет 22 Закон сохранения момента импульса, проекций момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени, то есть . 

Если система не замкнута, но суммарный момент действующих внешних сил относительно неподвижной точки  О равен нулю ( ), то момент импульса относительно этой точки не изменяется со временем: . В случае, когда система вращается вокруг неподвижной оси Z, а главный момент внешних сил относительно этой оси , то момент импульса системы относительно оси вращения не изменяется с течением времени .

Осталось отметить связь законов сохранения со свойствами пространства - времени, то есть объяснить их фундаментальность. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства (свойства пространства одинаковы во всех его точках). Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени (однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени). Закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства (свойства пространства одинаковы по всем направлениям, то есть не зависят от выбора направления осей координат).

Продемонстрировать закон сохране­ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя­щий на скамье, которая без трения враща­ется вокруг вертикальной оси, и держа­щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро­стью ₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень­шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со­храняется и угловая скорость вращения ₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови­щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Билет 23. Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом   → 0, где  ,   — массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера(закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением  , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При  , и, следовательно,  эллипс превращается в окружность.

Второй Закон Кеплера(закон площадей)

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

где   и   — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а   и   — длины больших полуосей их орбит.