13. Работа центральных сил. Консервативные силы. Потенциальная энергия.

Работа центральной силы.

Элементарная работа   силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы   (в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние   : где α есть угол между этими векторами. Поскольку  , то направление отсчёта угла значения не имеет.

При перемещении на расстояние от   до  , весь пройденный путь можно разбить на   элементарных участков. И тогда полная работа   будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков   будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы :

Рассматривая движение в Декартовой системе координат центральную силу можно представить в виде геометрической суммы её проекций на координатные оси:

где   ,  ,  суть единичные векторы (орты) для своих осей.

Консервативные силы.

Е сли силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы(т.е. от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависят от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются консервативными. Можно дать другое определение консервативных сил, эквивалентное приведенному. Пусть система из положения 1перешла в положение 2 по пути132(Мы символически изображаем положение системы точкой на плоскости, а путь перехода-линией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки).При этом будет совершена работа А₁₂₃. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А₁₄₂. По определению консервативных сил А₁₃₂=А₁₄₂.Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А₁₄₂=-А₂₄₁, где А₂₄₁ – работа, которая была бы совершена при переходе системы из положения 2 в положение 1 по тому же пути, но в обратном порядке, т.е. по пути 241. Таким образом, .Но сумма есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное положение 1.В этом случае говорят о работе по «замкнутому пути». Итак, работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому пути следует независимость работы от пути перехода. Поэтому можно дать еще такое определение консервативных сил. Консервативными называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по любому замкнутому пути равна нулю.

Потенциальная энергия.

     Если тело поднять на высоту h, то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу

Е сли жать пружину на величину    (X1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу

Следовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.

Если тело падает с некоторой высоты h1до высоты h2, его потенциальная энергия изменяется от значения

до

Совершенная при этом работа равна A=

т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

   Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его   W_П уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и W_П возрастает.