ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Кафедра теории электрических цепей

Лабораторная работа №15

«Исследование БИХ-фильтров»

Выполнил студент группы ************ _______________ **********

Проверил __________________ **********

Москва 2007

1. Цель работы

С помощью программы Micro-Cap получить основные временные и частотные характеристики фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров).

2. Предварительные расчеты

   1. Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра первого порядка. Структурная схема фильтра изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

Где

y_i = a₀x_i + a₁x_i-1 + b₁y_i-1 — алгоритм работы цифрового фильтра первого порядка;

a₀ = 0, a₁ = 1, b₁ = 0,4 — коэффициенты.

Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):

H(z) = =

2. Проверить фильтр на устойчивость

; z = 0,4 — полюс передаточной функции находится внутри единичной окружности z-плоскости, значит данный БИХ-фильтр устойчивый.

3. Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.

// Расчеты проведены в программе Scilab 6.0.2

// Лабораторная работа № 15

// Выполнил студент группы **********************8

// Рассчитаем импульсную характеристику

// Входные отсчеты xi

x = [1 0 0 0 0 0 0];

// Рассчет выходных отсчетов yi

y = [0 0 0 0 0 0 0];

for i=2:1:7

y(i) = a(1)*x(i)+a(2)*x(i-1)+b*y(i-1);

end

y

y =

0. 1. 0.4 0.16 0.064 0.0256 0.01024

// График импульсной характеристики

i=1:1:7;

plot2d3(i,y)

xgrid()

xtitle('Импульсная характеристика БИХ-фильтра','i','g(iT)')

Рисунок 2

2.3 Найти выражение для комплексного коэффициента передачи H(jωT). Построить графики АЧХ — |H(jωT)| и ФЧХ — arg(H(jωT)) от частоты ωT ϵ [0;2π].

Для получения дальнейших характеристик проведем замену в H(z): z = e^jωT

Комплексный коэффициент передачи:

H(z) = =

Построение графиков АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра.

// Частота, рад/c

wT = 0:%pi/50:2*%pi;

// Комплексный коэффициент передачи H(jwT)

H1 = exp(-%i.*wT)./(1 - 0.4.*exp(-%i.*wT));

H1 = exp(-%i.*wT)./(1 + 0.4.*exp(-%i.*wT));

// Построение графика АЧХ БИХ-фильтра при b = 0,4

plot(wT,abs(H1))

xgrid()

xtitle('График АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')

// Построение графика АЧХ БИХ-фильтра при b = -0,4

plot(wT,abs(H2))

xgrid()

xtitle('График АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')

Рисунок 3 — АЧХ БИХ-фильтра при b = 0,4

Рисунок 4 — АЧХ БИХ-фильтра при b = -0,4

4. Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра второго порядка. Схема фильтра изображена на рисунке 5.

Рисунок 5

Где

y_i = a₀x_i + a₁x_i-1 + a₂x_i-2 +b₁y_i-1 + b₂y_i-2 — алгоритм работы цифрового фильтра второго порядка.

a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = -2; b₁ = 0,2; b₂ = -0,4 — коэффициенты.

Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):

H(z) = =

5. Проверка фильтра на устойчивость.

; ;

D = 1 – 40 = -39; z_1,2 =

// Проверка на устойчивость

deff('y=f(x)','y=sqrt(1 - x^2)');

x = -1:1/100:1;

plot(x,f(x),'k-')

mtlb_hold('on')

plot(x,-f(x),'k-')

plot([0.1 0.1],[0.625 -0.625],'o')

xgrid()

xtitle('График единичной Z-окружности','Re(z)','Im(z)')

График единичной z-окружности изображен на рисунке 6.

Рисунок 6

Полюсы передаточной функции лежат внутри единичной z-окружности, значит фильтр устойчивый.

6. Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.

// Коэффициенты

a = [1 1 -2]; b = [0.2 -0.4];

// Входные отсчеты

x = [1 0 0 0 0 0 0];

// Расчет выходных отсчетов

y = [1 1.2 0 0 0 0 0];

for i = 3:1:7

y(i)= a(1)*x(i) + a(2)*x(i-1) + a(3)*x(i-2) + b(1)*y(i-1) + b(2)*y(i-2);

end

y

y =

1. 1.2 -2.16 -0.912 0.6816 0.50112 -0.172416

// Поcтроим график импульсной характеристики

i = 0:1:6; plot2d3(i,y)

plot([0 7],[0 0],'k-')

xgrid()

xtitle('Импульсная характеристика БИХ-фильтра','i','g(iT)')

Рисунок 7

2.7 Найти комплексный коэффициент передачи H(jωT). Построить графики АЧХ — |H(jωT)| от частоты ωT ϵ [0; 2π] данного фильтра.

Комплексный коэффициент передачи:

H(z) = =

// Частота, рад/c

wT = 0:%pi/50:2*%pi;

// Комплексный коэффициент передачи

H = (1 + exp(-%i.*wT) - 2.*exp(-%i.*2.*wT))./(1 - 0.2.*exp(-%i.*wT) + 0.4.*exp(-%i.*2.*wT));

// График АЧХ БИХ-фильтра

plot(wT,abs(H))

xgrid()

xtitle('АЧХ БИХ-фильтра','wT','|H(jwT)|')

Рисунок 8

3. Машинный эксперимент

   1. Исследуемая схема

Рисунок 9

2. АЧХ БИХ-фильтра первого порядка при b₁ = 0,4.

U , В

Рисунок 10 f, Гц

3. АЧХ БИХ-фильтра первого порядка при b₂ = -0,4.

U , B

f, Гц

Рисунок 11

4. АЧХ БИХ-фильтра второго порядка

U , B

f, Гц

Рисунок 12

Вывод: Графики, полученные в ходе машинного эксперимента, совпадают с графиками, полученными в ходе предварительных расчетов. Это показывает, что предварительные расчеты проведены верно.

4. Контрольные вопросы

   1. Какие фильтры называются БИХ-фильтрами?

Ответ: Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром) называют фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений k = 0, 1, 2, … .

2. Привести условие устойчивости БИХ-фильтров.

Ответ: БИХ-фильтр будет устойчивым, если полюсы его передаточной функции

лежат внутри единичной окружности z-плоскости.

3. Дать определение импульсной характеристики цифрового фильтра.

g(k)

δ₁(k)

Ответ: Импульсная характеристика g(k) представляет собой реакцию цифрового фильтра на дискретный единичный импульс.

Цифровая система

4. Дать определение передаточной функции цифрового фильтра.

Ответ: Передаточной функцией стандартного линейного ЦФ называется отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала.

5. Какова связь между импульсной и частотной характеристиками цифрового фильтра?

Ответ: Частотная характеристика цифрового фильтра связана с импульсной характеристикой соотношением, подобным дискретному преобразованию Фурье.