Системная функция ЦФ, АЧХ и ФЧХ В конец раздела
СИСТЕМНАЯ ФУНКЦИЯ H(z) ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ПОЛЮСЫ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Цифровой фильтр (ЦФ) 2 порядка в общем случае описывается системной функцией (см. формулу (2.3) в разделе «Теоретические сведения» при M=2, L=2) вида
(1)
Рассмотрим чисто рекурсивный фильтр, для чего положим в (1): b0 = 1, b1 = 0, b2 = 0.
Получаем
(2)
Далее перейдем к частотной передаточной функции K(jω) путем подстановки в (2) z = ejωT
(3)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяется как модуль передаточной функции |K(jω)|, а фазочастотная характеристика – как ее аргумент (подробнее см. в разделе «Теоретические сведения»).
Отметим важнейшие свойства АЧХ и ФЧХ ЦФ:
Ø эти характеристики являются периодическими функциями в частотной области с периодом (по частоте), равным частоте дискретизации ωд = 2π / Т. АЧХ и ФЧХ обычно строят как функции безразмерной частоты ωТ. При этом период повторения по частоте равен 2π, а основной спектр расположен в области от –π до π. По характеру изменения АЧХ в этой области частот можно определить, к какому стандартному типу принадлежит данный ЦФ (ФНЧ, ФВЧ, полосовой фильтр, режекторный фильтр). На практике, однако, принято строить частотные характеристики ЦФ в интервале безразмерных частот от 0 до 2π (избегая при вычислениях необходимости использования отрицательных знаков при частотах). Наблюдая такие АЧХ и ФЧХ, следует иметь в виду, что участок характеристики от π до 2 π принадлежит левому склону следующего периода соответствующей характеристики, полностью идентичному основному спектру на интервале –π до 0. При сравнении ЦФ с аналоговыми прототипами надо знать, что цифровые и аналоговые частоты связаны нелинейным преобразованием
(4)
При этом значению безразмерной частоты ωцТ = π соответствует, как следует из (4), ωа = ∞.
Ø Исходя из требования физической реализуемости ЦФ с действительными коэффициентами, необходимо, чтобы АЧХ являлась четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной, т.е. K(-ω)=K(ω); φ(-ω)=-φ(ω).
Рассчитаем АЧХ и ФЧХ рекурсивного ЦФ второго порядка и местоположение его полюсов (корней знаменателя K(jω)) при некоторых значениях его коэффициентов (а1,а2), находящихся ниже параболы в треугольнике устойчивости на плоскости коэффициентов (подробнее см. в разделе справки «Анализ устойчивости …»).
Пусть: а1 = 1.5; а2 = - 0.8.
_______
Zp1,2 = 0.5(a1±√ a12+4a2 ), подставляя значения а1, а2, получим
Zp1,2 = 0.75 ± j 0.487.
|Zp1,2| = 0.894; φp1,2 = ± ω0T = ± 0.576 [1/c]. В градусной мере полюсам соответствуют углы ± 33°.
Ниже приводятся графики АЧХ и ФЧХ ЦФ при выбранных значениях коэффициентов ЦФ (эти и все следующие графики рассчитаны и построены в системе MathCad 11).
АЧХ и ФЧХ рекурсивного ЦФ 2 порядка
Расположение полюсов Zp1,2 системной функции H(z) рекурсивного ЦФ 2 порядка на комплексной Z – плоскости
Данный график построен в полярной системе координат. В декартовых координатах по оси абсцисс откладываются действительные значения комплексного аргумента z, а по оси ординат – мнимые значения z. Как следует из расчетов и приведенного выше рисунка, полюсы системной функции в выбранном случае являются комплексно-сопряженными. ЦФ устойчив, т.к. полюсы лежат внутри окружности единичного радиуса.
Общий вид комплексной поверхности системной функции H(z) рекурсивного ЦФ 2 порядка
Поясним рисунок, приведенный выше. В трехмерном пространстве изображены 3 координатные плоскости:
Ø горизонтальная плоскость (X, Y) комплексного аргумента z (белого цвета), где действительные значения аргумента откладываются по оси с черной цифровой разметкой, а мнимые значения аргумента откладываются по оси с бирюзовой цифровой разметкой, причем началу координат (по техническим причинам, связанным с работой 3-х мерной графики в системе MathCad) соответствует точка с координатами (40, 40), действительной оси в пределах ±1 – отрезок с координатами концов (0, 40), (80, 40), мнимой оси в пределах ±1 – отрезок с координатами концов (40,0), (40, 80);
Ø фронтальная плоскость (X, Z) (бледно-желтого цвета);
Ø профильная плоскость (Y, Z) (зеленого цвета).
В этом пространстве построена комплексная поверхность H(z), усеченная вертикальным цилиндром единичной окружности. Полученная в сечении линия является свернутой в окружность АЧХ цифрового фильтра. Два бесконечных выброса на поверхности H(z) соответствуют полюсам системной функции. Устойчивость ЦФ обусловлена тем, что они расположены внутри окружности единичного радиуса на плоскости (X, Y).
НА ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ В НАЧАЛО