Алгоритм решения БДЗ / пример решения БДЗ
.pdf1
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: ( 1)s 21023 e 1:f, где 1:f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
683; 6640625 2120 + 1177; 0703125 2173
Решение. Переведём слагаемые в двоичную систему и преобразуем их затем к нормализованному виду
( 1)s 21023 e 1:f:
683; 6640625 2120 + 1177; 0703125 2173 = 1010101011:1010101 2120 + 10010011001:0001001 2173 =
2129 1:0101010111010101 2183 1:00100110010001001 =
|
( 1)121152 1023 |
1:0101010111010101 |
2129 |
1037 |
+ |
( 1)021206 1023 |
1:00100110010001001 |
2183 |
1055 |
= |
( 1)021206 1023 |
1:00100110010001001 |
2183 |
1055 |
|
абс = разряды какого порядка не поместилось в 52 бита мантиссы = |
2129 |
1039 |
|
|
|
отн = абс=2183 |
2 54 |
10 16 |
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции (eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные: |
|
|
Нужно получить: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 cos2 |
|
cos2 |
2 |
cos2 |
3 |
|
cos2 |
n |
1 |
|||
|
cos |
|
cos |
2 |
|
cos |
3 |
|
|
cos |
n |
|
|
|
B .. |
n |
|
n |
|
n |
|
|
n |
C |
|||
Целое n > 10 |
n |
.. |
n |
.. |
n |
.. |
.. |
n |
|||||
|
B . |
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
. |
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B cosn |
cosn 2 |
cosn 3 |
|
cosn n |
C |
|||||||
|
B |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
C |
||||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
n = 10;
01
1 2 n
A = repmat([1:n], n, 1); |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = B: : : : : : : : : : : : :C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
1 |
2 |
|
n |
: : : : :cos: : : :n: :1 |
|
||||||||||||
|
0cos: : : :n: : : cos: : : : n: : : : |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
||||||||||
A = cos(A*pi/n); |
|
Bcos |
|
cos |
2 |
|
|
|
cos |
n |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
B |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
C |
|
|||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A |
|
||||||
Решение. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
B = repmat([1:n]’, 1, n); |
B = B:2: : :2: : : : : : : :2:C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
2 n 1 |
||||||||||
|
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
cos |
|
cos |
|
2 |
|
|
cos |
n |
|
|
|||||||
A = A.ˆB; |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
||
A = |
B:cos: : : :n: : : :cos: : : : n: : : : : : : : :cos: : : : :n: :C |
||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
n |
|
|
n 2 |
|
|
|
n n C |
|||||||||
|
|
B |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
C |
|||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Bcos |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
C |
2
3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai; bi], содержащий только один этот корень zi). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = '(xn), сходящийся к корню и (в) указать начальное значение x0. Указание: локализацию проводить перебором интервалов
[ai; bi] или средствами математического анализа.
x3 + 3x2 1 = 0
Решение. Табличным способом выделим отрезки, на концах которых функция f(x) имеет разные знаки
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 2 1 0 1 2 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sign f(x) |
+ + |
|
+ + + |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках [ 3; 2], [ 1; 0] и [0; 1], для каждого |
|||||||||||||||||||
из которых построим свой итерационный процесс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Для x 2 [ 3; 2] разделим исходное уравнение на x2. В результате получим равносильное уравнение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
x = '(x), '(x) = |
|
3. Итерационный процесс для нахождения первого корня: xn+1 = |
|
3. Поскольку |
||||||||||||||||
x2 |
xn2 |
|||||||||||||||||||
xj 0 |
[j 3; |
2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'0 |
(x) = |
|
2 |
|
6 41 |
< 1 для x 2 [ 3; 2], то сходимость имеет место для всех начальных приближений |
||||||||||||||
x3 |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для двух других отрезков исходное уравнение перепишем в виде x2(x+3) 1 = 0. Если x0 2 [ 1; 0], то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
определим итерационный процесс xn+1 = |
p |
|
; если x0 |
2 |
[0; 1], то xn+1 = |
p |
|
. Можно показать, что |
||||||||||||
xn+3 |
xn+3 |
в процессе итераций соответствующие отрезки отображаются в себя, поэтому сходимость построенных
|
1 |
|
1 |
|
3 |
итерационных процессов следует из оценки j'0(x)j = |
|
< 1. |
|||
2 |
px+3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Известно, что интервалу [a; b] принадлежит только корень x уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn f(xn)=f0(xn) и (б) обосновать какую из границ интервала [a; b] можно принять за x0. Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f0(x) и f00(x) и использовать соответствующую теорему.
sin(ln x) = 0; x 2 [22; 24]
Решение. Построим итерационный процесс xn+1 = xn |
f(xn) |
|
= xn+1 = xn |
xn sin(log(xn)) |
|
||||||
f0(xn) |
|
cos(log(xn)) |
|||||||||
Определим знаки производных на отрезке [22; 24]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f0(x) = |
cos(log(x)) |
6 0:0454 < 0; f00(x) = |
cos(log(x)) |
|
sin(log(x)) |
> 0:0018 > 0 |
|||||
x |
x2 |
|
x2 |
Так как f0 f00 < 0, то берем левую границу интервала x0 = 22.
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f(x) по узлам xi. (б) Оценить сверху погрешность jRn(x)j приближения функции многочленом.
sin(arctan x) x0 = 0; x1 = =2; x2 =
Решение. Строим многочлен Лагранжа по следующей таблице
x |
0 |
=2 |
|
|
|
|
|
sin(arctan x) |
sin(arctan 0) |
sin(arctan =2) |
sin(arctan ) |
|
|
|
|
3
P2(x) = 0:1488x2 + 0:7707x
Найдем погрешность по формуле R2(x) = |
f000( |
!3(x) = |
|
f000( |
(x 0)(x =2)(x ): |
|||||||||||||||||||||
|
|
3! |
|
|
|
|
3! |
|
||||||||||||||||||
|
f000(x) = |
18 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 x4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(x2 |
|
7 |
|
|||||
|
|
|
(x2 + 1)2 |
|
(x2 + 1)2 |
+ 1)2 |
|
|||||||||||||||||||
j |
R |
(x) = |
jf000( )j |
|
j |
! |
|
(x) |
j 6 |
|
3 |
|
|
1:4917 |
|
0:7459 |
||||||||||
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
j |
3! |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a; b] по чебышёвским узлам с заданной точностью jRn(x)j < ". Требуется (а) определить требуемое для заданной точности " количество узлов (т.е. степень интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших
10 узлов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
на отрезке [ 2 |
; 32 ] с точностью |
" = 10 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
f(x) = |
p |
|
+ cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оценим погрешность многочлена Лагранжа для Чебышевских узлов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
jRn(x)j 6 |
Mn+1 |
|
(b a)n+1 21 2(n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Оказывается, что при n = 5 справедливо f(5) = |
|
sin(x) |
|
|
945 |
|
и |
Mn+1 |
(b |
|
a)n+1 |
|
21 2(n+1) |
|
0:0058. |
|||||
32 (x+1) |
11 |
(n+1)! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Выпишем Чебышёвские узлы xk = b+a |
+ b a cos |
(2k 1) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
= 3:1416 + 1:5708 cos |
9 |
= 1:6477, x2 = 3:1416 + 1:5708 cos |
7 |
= 2:2183, x3 |
= 3:1416 + 1:5708 cos |
5 |
= |
|||||||
|
10 |
|
|||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|||
3:1416, x4 = 3:1416 + 1:5708 cos |
3 |
= 4:0649, x5 = 3:1416 + 1:5708 cos |
1 |
= 4:6355 |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x)
заранее точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа зависимостей y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степени). (б) Для каждого типа
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|||
зависимотей вычислить среднеквадратическое отклонение q |
n+1 |
|
i=0(y(xi) yi)2. (в) Выбрать мини- |
||||||||||
мальное с.к.о. и указать соответствующий ему тип зависимости, |
т.е. наиболее вероятный в проведённом |
||||||||||||
|
P |
|
|||||||||||
эксперименте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
0:1 |
2:3 |
|
4:1 |
|
7:3 |
10:9 |
|
|
Решение.
Пусть вначале зависимость линейная: x(t) = a + bx. По методу среднеквадратического приближения получаем: P1(x) = 2:7000x 0:5000.
Среднеквадратическое отклонение
1 |
= v |
1 |
( 0:1 (2:7000 0 0: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 0:5020 |
||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
5000))2 + (2:3 |
|
|
|
|
|
|
|
0:5000))2 + (4:1 |
|
|
|
0:5000))2+ |
|
|||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
(2:7000 |
1 |
|
|
|
(2:7000 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
" (7:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
5 |
(2:7000 3 |
|
0:5000)) |
+ (10:9 |
|
(2:7000 |
|
4 |
|
|
0:5000)) |
|
|
|
|
|
Аналогично для квадратичной зависимости: P2(x) = 0:2714x2 + 1:6143x + 0:0429 и 2 = 0:2138. Аналогично для кубической зависимости: P3(x) = 0:0833x3 0:2286x2 + 2:3310x 0:0571 и 3 = 0:1604
Так как 3 наименьшее, следовательно, зависимость кубическая.
4
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi) в ряд Тейлора, определить порядок p погрешности O(hp) полученной формулы.
y00(x1) = c0y(x0) + c1y(x1) + c2y(x2) + c3y(x3) + O(hp): x0 x1 x2 x3
| |
|
{z } |
| |
|
{z } |
| |
|
{z } |
|
|
h |
|
|
h |
|
|
h |
Решение.Приблизим функцию y(x) многочленом Лагранжа по узлам x0, x1, x2, x3:
|
|
|
|
3 |
L3(k)(x) |
|
||
y(x) P3(x) = |
Xk |
|
|
: |
||||
3 |
|
|||||||
|
yk L(k)(xk) |
|||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
Продифференцируем полученное равенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
d2 |
|
L(k)(x) |
3 |
|||
y(x)00 P300(x) = |
yk |
|
|
" |
|
|
# = |
ykck(x); |
dx2 |
L(k) |
(xk) |
||||||
X |
|
|
|
3 |
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
где значение ck(x) не зависит от функции y(x). Нас интересует y100, поэтому положим x = x1: |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y100 |
Xk |
|
|
|
|
|
||
ykck(x1): |
|
|||||||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Далее вместо ck(x1) = const будем писать просто ck. |
|
|
|
|
|
Вспомним, что многочлен Лагранжа P3(x) является точным приближением, когда функция y(x) есть многочлен степени 6 3. В частности, P3(x) точно аппроксимирует функции
z = 1; z = x x0; z = (x x0)2; z = (x x0)3
(выбор именно этих многочленов обусловлен удобством дальнейших расчётов).
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Несложно показать, что, если подобрать числа ck |
таким образом, чтобы z100 = |
zkck было точ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
ным равенством (для выбранных четырёх многочленов z), то это будет значение ck(xP) для многочлена |
||||||||
Лагранжа в точке x = x1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём производные: |
z |
1 |
x x0 |
(x x0)2 |
|
(x x0)3 |
. Для каждой колонки запишем z100 = |
|
z00 |
0 |
0 |
2 |
|
6(x x0) |
|||
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P zkck: |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0
0 = c0 1 + c1 1 + c2 1 + c3 1;
0 = c0(x0 x0) + c1(x1 x0) + c2(x2 x0) + c3(x3 x0);
2 = c0(x0 x0)2 + c1(x1 x0)2 + c2(x2 x0)2 + c3(x3 x0)2; 6(x1 x0) = c0(x0 x0)3 + c1(x1 x0)3 + c2(x2 x0)3 + c3(x3 x0)3:
Узлы xi, i = 0; 1; 2; 3 равноотстоящие с шагом h, поэтому x1 x0 = h, x2 x0 = 2h, x3 x0 = 3h:
0 = c0 + c1 + c2 + c3;
0 = c1 + 2c2 + 3c3;
2 = c1h2 + 4c2h2 + 9c3h2;
6 = c1h2 + 8c2h2 + 27c3h2:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Решая систему, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
c0 = |
|
; c1 = |
|
|
; c2 |
= |
|
; c3 |
= 0: |
||
h2 |
h2 |
h2 |
|||||||||||
Окончательно y100 |
1 |
(y0 2y1 + y2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем: |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y100 |
|
2y1 + y2) + O(hp); |
|
||||||||
|
|
= |
|
(y0 |
|
||||||||
|
|
h2 |
|
где порядок p нужно определить. Для этого разложим yi, i = 0; 2 в ряд Тейлора в окрестности точки x1 до члена h4 (сейчас точно неясно до какого члена нужно раскладывать, но, если понадобится, разложение всегда можно продолжить):
y(x |
) = y(x |
) + (x |
|
|
x )y0 |
(x |
) + |
(x0 x1)2 |
y00(x )+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
2! |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(x0 x1)3 |
y000 |
(x ) + |
(x0 x1)4 |
yIV(x ) + O((x |
0 |
x |
)5); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
1 |
4! |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
y(x |
) = y(x |
) + (x |
|
|
x )y0 |
(x |
) + |
(x2 x1)2 |
y00(x )+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
2! |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(x2 x1)3 |
y000 |
(x ) + |
(x2 x1)4 |
yIV(x ) + O((x |
2 |
x |
)5); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
1 |
4! |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
В более компактной записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y0 = y1 hy10 |
+ h2y100=2 h3y1000=6 + h4y1IV=24 + O(h5); |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 = y1 + hy10 |
+ h2y100=2 + h3y1000=6 + h4y1IV=24 + O(h5): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставим полученные значения в формулу для численной производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
h4 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(y0 |
2y1 + y2) = |
|
h2y100 + |
|
y1IV + O(h5) = y100 + |
|
|
y1IV + O(h3) : |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
h2 |
h2 |
12 |
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
{z( |
|
|
} |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2) |
|
|
|
|
|
Так как четвёртая производная в общем случае отлична от нуля, то порядок погрешности равен 2.
9. Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.
ф-ла y00 = |
1 |
(y0 |
|
2y1 + y2); |
функ. y(x) = sin x на отрезке [ =2; ]; погр. = 10 7. |
|||||||||
2 |
||||||||||||||
1 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула численной производной с шагом h: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y100 |
= |
1 |
(y0 2y1 + y2): |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
||||||
В действительности из-за погрешности компьютер вычисляет |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y00 |
1 |
(~y |
|
2~y |
+ y~ ); |
y |
= y |
i |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 h2 |
0 |
|
1 |
2 |
где ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Рассмотрим погрешность |
|
|
|
y100 h2 (y0 |
2y1 + y2) + |
h2 (y0 2y1 + y2) h2 (~y0 2~y1 + y~2) 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
y00(x1) h2 (~y0 2~y1 + y~2) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
y~0 |
|
|
|
|
|
|
2y1 |
|
|
2~y1 |
|
|
|
y2 |
|
|
y~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6 y100 |
|
|
(y0 |
2y1 |
+ y2) + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
h2 |
|
h2 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M4 |
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
h |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
6 |
|
|
h |
|
+ |
|
= (h); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
h2 |
h2 |
h2 |
12 |
|
h2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см. разложение в лекции №5
где M4 = max jyIV(x)j 6 1.
[x0;x2]
Минимизируем ошибку (h):
hopt : 0(x) = |
M4h |
|
8 |
= 0 |
) |
6 |
h3 |
hopt = 4 |
M4 |
= r |
|
|
|
1 |
|
|
|
0;047: |
r |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
48 |
4 48 |
|
10 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.
I = |
Z1 |
n |
2 x sin x dx; S(h) = h i=1 f(xi) (ф-ла правых прямоуг.); h1 = 1=5; h2 = 1=12: |
||
|
|
X |
Решение. Используя формулу правых прямоугольников, получим:
S(1=5) = 15 (1;2 sin 1;2 + 1;4 sin 1;4 + 1;6 sin 1;6 + 1;8 sin 1;8 + 2 sin 2) 1;5338;
1 |
|
13 |
13 |
14 |
|
14 |
15 |
15 |
16 |
|
|
16 |
|
17 |
|
|
17 |
|
18 |
|
18 |
|
19 |
|
|
|
19 |
|
20 |
|
20 |
|
|||||||||||||||||||||||
S(1=12) = |
|
|
sin |
|
+ |
|
sin |
|
|
+ |
|
sin |
|
|
|
+ |
|
|
sin |
|
|
+ |
|
|
|
sin |
|
|
+ |
|
|
sin |
|
|
+ |
|
|
sin |
|
|
+ |
|
sin |
|
+ |
||||||||||
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
21 |
22 |
22 |
23 |
23 |
24 |
|
|
|
|
24 |
1;4804: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|
+ |
|
sin |
|
+ |
|
sin |
|
+ |
|
sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Для оценки погрешности S(1=12) воспользуемся методом Рунге. Справедлива формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f(x) dx = S(h) + O(hp) = S(h) + chp + O(hp+1); |
c = const: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отбрасывая слагаемое меньшего порядка малости, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z f(x) dx |
|
S(1=5) + c(1=5)1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aS(1=12) + c(1=12)1
Откуда
S(1=5) S(1=12)
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(1=12)1 (1=5)1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(1=5) |
|
12) |
|
|
|
|
1;5338 |
|
1;4804 |
|
|
|
|
||||
погрешность = |
j |
I |
|
S(1=12) |
j j |
c(1=12)1 |
j |
S(1= |
(1=12)1 |
|
|
|
|
|
(1=12)1 |
|
0;038: |
|||||||||
(1=12) |
1 1 |
(1=12) |
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1=5) |
|
|
|
|
|
|
(1=5) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.
|
|
|
|
1 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Интеграл является несобственным, так как x |
lim |
|
|
ln x2 |
|
= |
1. Заметим, что для любого |
> 0 |
|||||||||||||||||
! |
0+0 1+x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
прав. |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x ln x = lim |
ln x |
Лопит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= 0: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
x!0+0 |
|
x!0+0 x |
|
|
|
|
|
x!0+0 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 ln x |
dx = |
1 |
(1 + x2 x2) ln x |
dx = |
|
|
1 ln x dx |
|
1 |
x2 ln x |
dx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Z0 1 + x2 |
|
|
Z0 |
|
|
||||||||||||||||||||
Z0 |
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
1 + x2 |
|
||||||||||
Первый интеграл вычисляется явно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
ln x dx = x ln xj01 Z0 |
x |
|
dx = 1: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
Второй интеграл уже не является несобственным, следовательно, для его вычисления применима, например, составная формула Симпсона.
12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:
jjxjj1 |
= i |
jxij, jjxjj2 |
= r |
|
|
|
i |
xi2. |
|||||
|
P |
|
P |
|
|
01
1 3 2
BC
B |
3 |
3 |
4 |
C |
1 |
9 |
7 |
||
@ |
|
|
|
A |
Решение.
|
|
n |
jjAjj1 = |
j |
jaijj! = |
|
max |
Xi |
|
|
|
|
|
=1 |
= max (j 1j + j3j + j1j; j3j + j 3j + j9j; j2j + j4j + j7j) = 15:
q
jjAjj2 = max i(A>A). Найдём матрицу
i
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
11 |
|
3 |
17 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = A>A = |
B |
3 |
|
99 |
57 |
C |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
17 |
|
57 |
69 |
C |
|
|
|||
И её собственные значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
B |
E = |
11 |
|
3 |
|
17 |
|
= |
|
3 + 179 2 5132 + 4356: |
|||||||||||||
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
3 |
99 |
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
57 |
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения |
j |
|
|
|
j |
= 0 получаем |
1 |
|
|
143;43, 2 |
|
34;69 и 3 |
|
0;88. Выбираем максимальное с.з. |
||||||||||||
|
B |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 и получаем jjAjj2 = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 11;96. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относи-
тельную погрешность нормы решения |
jj xjj1 |
. Указание: воспользоваться оценкой |
jj xjj1 |
6 (A) |
jj fjj1 |
. |
|||||||||
A = 0 6 |
|
jjxjj1 |
|
|
0 7;2 |
|
jjxjj1 |
|
jjfjj1 |
||||||
6 |
8 1; f = |
1; jj fjj1 = 0;6 |
|
|
|
||||||||||
B |
7 |
3 |
8 |
C |
B |
7;1 |
C |
|
|
|
|||||
|
5 |
1 |
|
|
3 |
6;7 |
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
|
||||
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
|
|
|
Решение.
jjfjj1 = maxfj 7; 1j; j7; 2j; j6; 7jg = 7;2:
jjAjj1 = maxfj 7j + j 3j + j 8j; j6j + j 6j + j 8j; j 5j + j1j + j 3jg = 20:
A 1 = |
0 |
0:3537 |
0:1159 |
0:6341 |
1 |
|
B |
0:1585 |
0:1037 |
0:1463 |
C |
|
0:1463 |
0:1341 |
0:3659 |
||
|
B |
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
A |
jjA 1jj1 = maxfj 0:1585j+j0:1037j+j0:1463j; j 0:3537j+j0:1159j+j0:6341j; j0:1463j+j 0:1341j+j 0:3659jg = 1;1037:
jj xjj1 |
6 |
(A) |
jj fjj1 |
= |
|
A |
|
A 1 |
|
jj fjj1 |
|
20 |
|
1;1037 |
|
0;6 |
1;84: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
jj |
jj1jj |
|
|
|
7;2 |
||||||||||||||
jjxjj1 |
|
jjfjj1 |
|
|
jj1 jjfjj1 |
|
|
|
14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.
(
u00(x) + u(x) = cos x + 1;
желаемый порядок аппроксимации p = 2.
u(1) = 2; u0(3) 3u(3) = 1;
Решение. Как видно из граничных условий, решение ищется на отрезке [1; 3]. Разобьём этот отрезок на n равных частей. Длина каждого частичного отрезка равна h = (3 1)=n. Введём в рассмотрение сетку
! = fx0; x1; : : : ; xng, где x0 = 1; x1 = 1 + h; x2 = 2 + 2h; : : : ; xn 1 = 3 h; xn = 3. Рассмотрим также
сеточную функцию yi = y(xi), определённую только в узловых точках xi, i = 0; 1; : : : ; n.
Требуется построить систему линейных уравнений с неизвестными yi, где yi u(xi). Совокупность
таких yi будет численным решением краевой задачи.
Погрешность аппроксимации должна по условию задачи иметь порядок 2 (т.е., например, уменьшение
шага h вдвое должно уменьшать погрешность решения jyi u(xi)j в четыре раза).
Заменим в уравнении производную разделённой разностью (см. лекцию 5) u00(xi) yi 1 2y2i+yi+1 .
h
Исходное дифференциальное уравнение перейдёт в разностное
u00(x) + u(x) = cos x + 1 ! yi 1 2yi + yi+1 h2
Убедимся, что получен второй порядок аппроксимации. В разностное уравнение вместо сеточной функции подставим точное решение, т.е. заменим yi на ui = u(xi). Кроме этого разложим ui 1 в ряд Тейлора в окрестности точки xi
|
h2 |
|
|
h3 |
h4 |
||
ui 1 = ui hui0 + |
|
ui00 |
|
ui000 + |
|
uIV( ); 2 [xi 1; xi]; + 2 [xi; xi+1]: |
|
2 |
3! |
4! |
|||||
После сокращения имеем |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ui00 |
|
|
[uIV( ) + uIV( +)] + ui = cos xi + 1: |
||||
12 |
9
Вычитая из последнего равенства исходное дифференциальное уравнение, получаем невязку n(1) =h122 [uIV( ) + uIV( +)] = h62 uIV( ) = O(h2), где 2 [ ; +]. Получен требуемый порядок аппроксимации.
Очевидно, замена граничного условия u(1) = 2 на y0 = 2 не имеет погрешности аппроксимации.
В правом граничном условии нельзя заменить u0(3) левой разделённой разностью, так как u0(3) =
yn yn 1 |
+ O(h1). Выделим в O(h1) главный член. Из формулы Тейлора в окрестности xn = 3 имеем |
||||||||||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|||
|
|
u(3 h) = u(3) hu0(3) + |
|
|
|
u00(3) + O(h3); |
|||||||||
|
2 |
||||||||||||||
откуда |
|
|
|
u(3) u(3 h) |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||
|
|
u0(3) = |
|
+ |
u00(3) + O(h2): |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Из исходного уравнения следует, что u00(3) + u(3) = cos(3) + 1. Таким образом, |
|||||||||||||||
|
|
u(3) u(3 h) |
+ |
h |
[cos(3) + 1 |
|
u(3)] + O(h2) |
|
3u(3) = 1: |
||||||
|
|
h |
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Невязка для правого граничного условия равна O(h2), что даёт второй порядок аппроксимации.
Окончательный ответ это система из n + 1 линейного уравнения с неизвестными y0; y1; : : : ; yn
>
8 |
y |
i 1 |
2y |
+ y |
i+1 |
+ yi = cos xi + 1; где i = 1; 2; : : : ; n 1 и xi = 1 + ih; |
||||
|
|
h2i |
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> y0 = 2; |
|
|
|
|
|
|||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< yn |
|
yn |
|
1 |
+ h2 [cos(3) + 1 yn] 3yn = 1: |
|||||
> |
|
|
|
h |
|
>
>
>
:
15. Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок.
Указание: использовать разложение в ряд Тейлора. |
|
2yh0 |
|
|
||||
|
|
8 y2 |
|
|
||||
u0 |
+ u = x |
|
yi+1 |
yi 1 |
+ yi = ih |
|||
( u0 |
(0) = 1; u(2) = 0; |
< |
|
|
|
= 1; yn = 0 (где xn = 2) |
||
Решение. Рассмотрим разностное уравнение |
: |
|
2h |
|
|
|
||
|
yi+1 yi 1 |
+ yi |
= ih: |
|||||
|
|
2h |
|
|
|
|
|
Раскладывая ui+1 в окрестности ui и подставляя в последнее уравнение, а затем вычитая исходное уравнение, получим невязку 1 = O(h1).
Рассмотрим первое краевое условие в разностном виде
y2 y0 = 1 2h
Раскладывая u2 в окрестности u0 и подставляя в последнее уравнение, а затем вычитая исходное краевое
условие, получим невязку |
2 = O(h1). |
||
Рассмотрим второе краевое условие в разностном виде |
|||
|
|
|
yn = 0: |
В этом случае невязка |
3 равна нулю. |
||
lim max |
fj |
1j; j |
2j; j 3jg = 0, то аппроксимация имеет место. Порядок аппроксимации равен |
Так как h!0 |
maxf1; 1g = 1.
10
16. Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ
Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).
0 7 |
10 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 4 |
1 |
|||||
A = B |
11 |
7 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
C |
|||
0 |
|
10 20 6 |
0 |
C; f = B 5 |
||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
B |
0 |
0 |
10 |
18 |
|
7 |
C |
B |
6 |
C |
||
B |
0 |
0 |
0 |
6 |
|
C |
B |
|
9 |
C |
||
B |
|
13 |
C |
B |
|
C |
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
Решение. Преобразуем первое и последнее уравнения системы, чтобы она приобрела вид:
0 |
1 |
{1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
a1 |
a |
c |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
B |
c1 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
.. |
. |
.. |
. |
|
.. |
. |
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
an 1 |
|
cn |
1 |
|||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
{2 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|{z
0
bn 1
1
1 |
|
y0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
||||||||
0 |
y1 |
|
|
|
|
f1 |
|||||||||
CB |
y2 |
|
C |
B |
f2 |
C |
|||||||||
CB |
|
|
|
C = B |
|
C |
|||||||||
C . |
|
C |
B |
|
|
|
. |
|
C |
||||||
CB . |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
CB . |
|
C |
B |
|
|
|
. |
|
C |
||||||
CB |
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
C |
||||
CB yn |
1 |
C |
B |
|
fn 1 |
C |
|||||||||
CB |
|
|
C |
B |
|
|
|
C |
|||||||
CB |
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
C |
||||
CB |
yn |
|
C |
B |
|
2 |
C |
||||||||
CB |
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|||||||
A@ |
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
|
|
A |
||||
}| |
|
{z |
|
|
|
} |
| |
|
|
|
{z |
|
|
} |
0 |
|
A |
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
|
f |
||
7 |
10 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
||||||
|
1 |
0;64 0 |
0 |
0 |
C; f = B |
0;09 |
C |
|||||||
A = B 0 |
10 20 |
6 |
0 |
|
5 |
|||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|
B |
0 |
0 |
10 |
18 |
|
7 |
C |
B |
|
6 |
C |
|||
B |
0 |
0 |
0 0;46 |
1 |
C |
B |
|
0;69 |
C |
|||||
B |
|
C |
B |
|
C |
|||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
A |
||
Проверим условия применимости метода прогонки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
aj 6= 0; |
bj 6= 0; |
|
|
|
|
|||||
jcjj > jajj + jbjj; j = 1; 2; : : : ; n 1 (диагональное преобладание), |
||||||||||||||
|
|
|
|
j{1j 6 1; j{2j < 1: |
|
|
|
|
||||||
j10j > j7j + j 1j; |
j20j > j 10j + j6j; |
j18j > j10j + j 7j; |
||||||||||||
|
|
j 0;64j 6 1; |
j0;46j < 1: |
|
|
|
||||||||
Следовательно, метод прогонки применим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее воспользуемся формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = {1; |
1 = 1: |
|
|
|
|
|||||
|
bj |
|
|
|
|
aj j + fj |
j = 1; 2; : : : ; n 1: |
|||||||
j+1 = |
|
; |
j+1 = |
|
; |
|||||||||
cj jaj |
cj jaj |
|||||||||||||
|
|
yn = ({2 n + 2)=(1 {2 n) |
|
|
|
|||||||||
yj = j+1yj+1 + j+1; |
j = n 1; n 2; : : : ; 0; |
|