Добавил:

El_RadiO Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Численные методы

Файл:

Алгоритм решения БДЗ / пример решения БДЗ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.01.2024

Размер:

322.57 Кб

Скачать

☆

1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: ( 1)s 21023 e 1:f, где 1:f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.

683; 6640625 2120 + 1177; 0703125 2173

Решение. Переведём слагаемые в двоичную систему и преобразуем их затем к нормализованному виду

( 1)s 21023 e 1:f:

683; 6640625 2120 + 1177; 0703125 2173 = 1010101011:1010101 2120 + 10010011001:0001001 2173 =

2129 1:0101010111010101 2183 1:00100110010001001 =

	( 1)121152 1023	1:0101010111010101	2129	1037
+	( 1)021206 1023	1:00100110010001001	2183	1055
=	( 1)021206 1023	1:00100110010001001	2183	1055
	абс = разряды какого порядка не поместилось в 52 бита мантиссы =		2129	1039
		отн = абс=2183	2 54	10 16

2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции (eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.

Входные данные:

Нужно получить:

0 cos2

cos2

cos

B ..

Целое n > 10

B .

B cosn

cosn 2

cosn 3

cosn n

n = 10;

1 2 n

A = repmat([1:n], n, 1);

A = B: : : : : : : : : : : : :C

A =

: : : : :cos: : : :n: :1

0cos: : : :n: : : cos: : : : n: : : :

A = cos(A*pi/n);

Bcos

cos

Решение.

B = repmat([1:n]’, 1, n);

B = B:2: : :2: : : : : : : :2:C

2 n 1

cos

A = A.ˆB;

A =

B:cos: : : :n: : : :cos: : : : n: : : : : : : : :cos: : : : :n: :C

n 2

n n C

Bcos

cos

3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai; bi], содержащий только один этот корень zi). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = '(xn), сходящийся к корню и (в) указать начальное значение x0. Указание: локализацию проводить перебором интервалов

[ai; bi] или средствами математического анализа.

x3 + 3x2 1 = 0

Решение. Табличным способом выделим отрезки, на концах которых функция f(x) имеет разные знаки

3 2 1 0 1 2 3

sign f(x)

+ +

+ + +

Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках [ 3; 2], [ 1; 0] и [0; 1], для каждого

из которых построим свой итерационный процесс.

Для x 2 [ 3; 2] разделим исходное уравнение на x2. В результате получим равносильное уравнение

x = '(x), '(x) =

3. Итерационный процесс для нахождения первого корня: xn+1 =

3. Поскольку

xn2

xj 0

[j 3;

2].

(x) =

6 41

< 1 для x 2 [ 3; 2], то сходимость имеет место для всех начальных приближений

Для двух других отрезков исходное уравнение перепишем в виде x2(x+3) 1 = 0. Если x0 2 [ 1; 0], то

определим итерационный процесс xn+1 =

; если x0

[0; 1], то xn+1 =

. Можно показать, что

xn+3

в процессе итераций соответствующие отрезки отображаются в себя, поэтому сходимость построенных

	1		1	3
итерационных процессов следует из оценки j'0(x)j =	1		1	< 1.
итерационных процессов следует из оценки j'0(x)j =	2	px+3		< 1.

4. Известно, что интервалу [a; b] принадлежит только корень x уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn f(xn)=f0(xn) и (б) обосновать какую из границ интервала [a; b] можно принять за x0. Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f0(x) и f00(x) и использовать соответствующую теорему.

sin(ln x) = 0; x 2 [22; 24]


Решение. Построим итерационный процесс xn+1 = xn			f(xn)		= xn+1 = xn			xn sin(log(xn))
Решение. Построим итерационный процесс xn+1 = xn			f0(xn)		= xn+1 = xn			cos(log(xn))
Определим знаки производных на отрезке [22; 24]:
f0(x) =	cos(log(x))	6 0:0454 < 0; f00(x) =		cos(log(x))		sin(log(x))	> 0:0018 > 0
f0(x) =	x	6 0:0454 < 0; f00(x) =		x2		x2	> 0:0018 > 0

Так как f0 f00 < 0, то берем левую границу интервала x0 = 22.

5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f(x) по узлам xi. (б) Оценить сверху погрешность jRn(x)j приближения функции многочленом.

sin(arctan x) x0 = 0; x1 = =2; x2 =

Решение. Строим многочлен Лагранжа по следующей таблице

x	0	=2

sin(arctan x)	sin(arctan 0)	sin(arctan =2)	sin(arctan )

P2(x) = 0:1488x2 + 0:7707x

Найдем погрешность по формуле R2(x) =

f000(

!3(x) =

f000(

(x 0)(x =2)(x ):

f000(x) =

18 x2

15 x4

(x2

(x2 + 1)2

+ 1)2

(x) =

jf000( )j

(x)

j 6

1:4917

0:7459

6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a; b] по чебышёвским узлам с заданной точностью jRn(x)j < ". Требуется (а) определить требуемое для заданной точности " количество узлов (т.е. степень интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших

10 узлов).

на отрезке [ 2

; 32 ] с точностью

" = 10 2

f(x) =

+ cos x

1 + x

Решение.

Оценим погрешность многочлена Лагранжа для Чебышевских узлов:

jRn(x)j 6

Mn+1

(b a)n+1 21 2(n+1)

(n + 1)!

Оказывается, что при n = 5 справедливо f(5) =

sin(x)

945

Mn+1

a)n+1

21 2(n+1)

0:0058.

32 (x+1)

(n+1)!

Выпишем Чебышёвские узлы xk = b+a

+ b a cos

(2k 1)

= 3:1416 + 1:5708 cos

= 1:6477, x2 = 3:1416 + 1:5708 cos

= 2:2183, x3

= 3:1416 + 1:5708 cos

3:1416, x4 = 3:1416 + 1:5708 cos

= 4:0649, x5 = 3:1416 + 1:5708 cos

= 4:6355

7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x)

заранее точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа зависимостей y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степени). (б) Для каждого типа

зависимотей вычислить среднеквадратическое отклонение q

n+1

i=0(y(xi) yi)2. (в) Выбрать мини-

мальное с.к.о. и указать соответствующий ему тип зависимости,

т.е. наиболее вероятный в проведённом

эксперименте.

0:1

2:3

4:1

7:3

10:9

Решение.

Пусть вначале зависимость линейная: x(t) = a + bx. По методу среднеквадратического приближения получаем: P1(x) = 2:7000x 0:5000.

Среднеквадратическое отклонение

= v

( 0:1 (2:7000 0 0:

= 0:5020

5000))2 + (2:3

0:5000))2 + (4:1

0:5000))2+

(2:7000

" (7:3

(2:7000 3

0:5000))

+ (10:9

(2:7000

0:5000))

Аналогично для квадратичной зависимости: P2(x) = 0:2714x2 + 1:6143x + 0:0429 и 2 = 0:2138. Аналогично для кубической зависимости: P3(x) = 0:0833x3 0:2286x2 + 2:3310x 0:0571 и 3 = 0:1604

Так как 3 наименьшее, следовательно, зависимость кубическая.

8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi) в ряд Тейлора, определить порядок p погрешности O(hp) полученной формулы.

y00(x1) = c0y(x0) + c1y(x1) + c2y(x2) + c3y(x3) + O(hp): x0 x1 x2 x3

\|		{z }	\|		{z }	\|		{z }
		h			h			h

Решение.Приблизим функцию y(x) многочленом Лагранжа по узлам x0, x1, x2, x3:

			3		L3(k)(x)
y(x) P3(x) =			Xk				:
			Xk		3
				yk L(k)(xk)
			=0
Продифференцируем полученное равенство:
3		d2		L(k)(x)			3
y(x)00 P300(x) =	yk		"			# =	ykck(x);
y(x)00 P300(x) =	yk	dx2	"	L(k)	(xk)	# =	ykck(x);
X			3				Xk
			3
k=0							=0
где значение ck(x) не зависит от функции y(x). Нас интересует y100, поэтому положим x = x1:
	3
y100	Xk
y100	ykck(x1):
	=0
Далее вместо ck(x1) = const будем писать просто ck.

Вспомним, что многочлен Лагранжа P3(x) является точным приближением, когда функция y(x) есть многочлен степени 6 3. В частности, P3(x) точно аппроксимирует функции

z = 1; z = x x0; z = (x x0)2; z = (x x0)3

(выбор именно этих многочленов обусловлен удобством дальнейших расчётов).

							3
Несложно показать, что, если подобрать числа ck					таким образом, чтобы z100 =		zkck было точ-
							k=0
ным равенством (для выбранных четырёх многочленов z), то это будет значение ck(xP) для многочлена
Лагранжа в точке x = x1.
Найдём производные:	z	1	x x0	(x x0)2	(x x0)3	. Для каждой колонки запишем z100 =
Найдём производные:	z00	0	0	2	6(x x0)	. Для каждой колонки запишем z100 =
3	z00	0	0	2	6(x x0)
3
P zkck:

k=0

0 = c0 1 + c1 1 + c2 1 + c3 1;

0 = c0(x0 x0) + c1(x1 x0) + c2(x2 x0) + c3(x3 x0);

2 = c0(x0 x0)2 + c1(x1 x0)2 + c2(x2 x0)2 + c3(x3 x0)2; 6(x1 x0) = c0(x0 x0)3 + c1(x1 x0)3 + c2(x2 x0)3 + c3(x3 x0)3:

Узлы xi, i = 0; 1; 2; 3 равноотстоящие с шагом h, поэтому x1 x0 = h, x2 x0 = 2h, x3 x0 = 3h:

0 = c0 + c1 + c2 + c3;

0 = c1 + 2c2 + 3c3;

2 = c1h2 + 4c2h2 + 9c3h2;

6 = c1h2 + 8c2h2 + 27c3h2:

Решая систему, получим:

c0 =

; c1 =

; c2

; c3

= 0:

Окончательно y100

(y0 2y1 + y2).

Имеем:

y100

2y1 + y2) + O(hp);

(y0

где порядок p нужно определить. Для этого разложим yi, i = 0; 2 в ряд Тейлора в окрестности точки x1 до члена h4 (сейчас точно неясно до какого члена нужно раскладывать, но, если понадобится, разложение всегда можно продолжить):

y(x

) = y(x

) + (x

x )y0

) +

(x0 x1)2

y00(x )+

(x0 x1)3

y000

(x ) +

(x0 x1)4

yIV(x ) + O((x

)5);

y(x

) = y(x

) + (x

x )y0

) +

(x2 x1)2

y00(x )+

(x2 x1)3

y000

(x ) +

(x2 x1)4

yIV(x ) + O((x

)5);

В более компактной записи:

y0 = y1 hy10

+ h2y100=2 h3y1000=6 + h4y1IV=24 + O(h5);

y2 = y1 + hy10

+ h2y100=2 + h3y1000=6 + h4y1IV=24 + O(h5):

Подставим полученные значения в формулу для численной производной:

(y0

2y1 + y2) =

h2y100 +

y1IV + O(h5) = y100 +

y1IV + O(h3) :

{z(

}

h2)

Так как четвёртая производная в общем случае отлична от нуля, то порядок погрешности равен 2.

9. Даны формула численного дифференцирования и таблично заданная функция y(x) (данные в таблице могут содержать погрешность не более ). Определить оптимальное значение шага hопт, когда достигается максимально возможная точность данной формулы, а неустойчивость численного дифференцирования ещё себя не проявляет.

ф-ла y00 =

(y0

2y1 + y2);

функ. y(x) = sin x на отрезке [ =2; ]; погр. = 10 7.

Решение.

Формула численной производной с шагом h:

y100

(y0 2y1 + y2):

В действительности из-за погрешности компьютер вычисляет

y00

(~y

2~y

+ y~ );

= y

1 h2

где ei

Рассмотрим погрешность

y100 h2 (y0

2y1 + y2) +

h2 (y0 2y1 + y2) h2 (~y0 2~y1 + y~2) 6

y00(x1) h2 (~y0 2~y1 + y~2) =

y~0

2y1

2~y1

y~2

6 y100

(y0

2y1

+ y2) +

( )

= (h);

}

см. разложение в лекции №5

где M4 = max jyIV(x)j 6 1.

[x0;x2]

Минимизируем ошибку (h):

hopt : 0(x) =	M4h		8	= 0	)
	6		h3

hopt = 4	M4	= r	1		0;047:
r				7
	48	4 48	10	7

10. Получить (письменно) приближённое значение интеграла I по квадратурной формуле S(h) сначала с шагом h1, а затем с шагом h2. Используя метод Рунге, указать насколько значение S(h2) отличается от истинного значения интеграла I.

I =	Z1	n
I =	Z1	2 x sin x dx; S(h) = h i=1 f(xi) (ф-ла правых прямоуг.); h1 = 1=5; h2 = 1=12:
		X

Решение. Используя формулу правых прямоугольников, получим:

S(1=5) = 15 (1;2 sin 1;2 + 1;4 sin 1;4 + 1;6 sin 1;6 + 1;8 sin 1;8 + 2 sin 2) 1;5338;

1		13		13	14			14		15			15		16					16					17			17				18			18					19					19		20		20
S(1=12) =			sin		+		sin			+		sin			+				sin				+				sin				+			sin				+				sin				+		sin		+
S(1=12) =	12	12	sin	12	+	12	sin	12		+	12	sin	12		+		12		sin		12		+			12	sin		12		+		12	sin		12		+			12	sin			12	+	12	sin	12	+
													21					21		22					22			23				23			24								24	1;4804:
												+				sin				+				sin				+				sin			+				sin
												+		12		sin		12		+		12		sin			12	+		12		sin		12	+		12		sin				12
Для оценки погрешности S(1=12) воспользуемся методом Рунге. Справедлива формула:
			b
			Za	f(x) dx = S(h) + O(hp) = S(h) + chp + O(hp+1);																												c = const:
Отбрасывая слагаемое меньшего порядка малости, получим:
										b
									Z f(x) dx						S(1=5) + c(1=5)1

aS(1=12) + c(1=12)1

Откуда

S(1=5) S(1=12)

(1=12)1 (1=5)1

S(1=5)

12)

1;5338

1;4804

погрешность =

S(1=12)

j j

c(1=12)1

S(1=

(1=12)1

0;038:

(1=12)

1 1

(1=12)

(1=5)

11. Предложить способ вычисления несобственного интеграла на компьютере. Указание: использовать один из методов, рассмотренных на лекции или семинаре.

ln x

1 + x2

Решение. Интеграл является несобственным, так как x

lim

ln x2

1. Заметим, что для любого

> 0

0+0 1+x

прав.

x 1

x ln x = lim

ln x

Лопит.

lim

= 0:

x 1

x!0+0

x!0+0 x

x!0+0

1 ln x

dx =

(1 + x2 x2) ln x

dx =

1 ln x dx

x2 ln x

Z0 1 + x2

1 + x2

Первый интеграл вычисляется явно

ln x dx = x ln xj01 Z0

dx = 1:

Второй интеграл уже не является несобственным, следовательно, для его вычисления применима, например, составная формула Симпсона.

12. Для заданной матрицы вычислить подчинённую норму матрицы для следующих векторных норм:

jjxjj1	= i	jxij, jjxjj2	= r
				i	xi2.
	P		P

1 3 2

B	3	3	4	C
B	1	9	7	C
@				A

Решение.

		n
jjAjj1 =	j	jaijj! =
	max	Xi
	max
		=1

= max (j 1j + j3j + j1j; j3j + j 3j + j9j; j2j + j4j + j7j) = 15:

jjAjj2 = max i(A>A). Найдём матрицу

B = A>A =

И её собственные значения

E =

3 + 179 2 5132 + 4356:

Из уравнения

= 0 получаем

143;43, 2

34;69 и 3

0;88. Выбираем максимальное с.з.

1 и получаем jjAjj2 =

1 11;96.

+ yi = cos xi + 1:

13. Правая часть СЛАУ Ax = f содержит погрешность, норма которой равна jj fjj1. Оценить относи-

тельную погрешность нормы решения

jj xjj1

. Указание: воспользоваться оценкой

jj xjj1

6 (A)

jj fjj1

A = 0 6

jjxjj1

0 7;2

jjxjj1

jjfjj1

8 1; f =

1; jj fjj1 = 0;6

7;1

6;7

Решение.

jjfjj1 = maxfj 7; 1j; j7; 2j; j6; 7jg = 7;2:

jjAjj1 = maxfj 7j + j 3j + j 8j; j6j + j 6j + j 8j; j 5j + j1j + j 3jg = 20:

A 1 =	0	0:3537	0:1159	0:6341	1
	B	0:1585	0:1037	0:1463	C
	B	0:1463	0:1341	0:3659	C
	B				C
	@				A

jjA 1jj1 = maxfj 0:1585j+j0:1037j+j0:1463j; j 0:3537j+j0:1159j+j0:6341j; j0:1463j+j 0:1341j+j 0:3659jg = 1;1037:

jj xjj1

(A)

jj fjj1

A 1

jj fjj1

1;1037

0;6

1;84:

jj1jj

7;2

jjxjj1

jjfjj1

jj1 jjfjj1

14. Для задачи построить разностную схему с заданным порядком аппроксимации.

(

u00(x) + u(x) = cos x + 1;

желаемый порядок аппроксимации p = 2.

u(1) = 2; u0(3) 3u(3) = 1;

Решение. Как видно из граничных условий, решение ищется на отрезке [1; 3]. Разобьём этот отрезок на n равных частей. Длина каждого частичного отрезка равна h = (3 1)=n. Введём в рассмотрение сетку

! = fx0; x1; : : : ; xng, где x0 = 1; x1 = 1 + h; x2 = 2 + 2h; : : : ; xn 1 = 3 h; xn = 3. Рассмотрим также

сеточную функцию yi = y(xi), определённую только в узловых точках xi, i = 0; 1; : : : ; n.

Требуется построить систему линейных уравнений с неизвестными yi, где yi u(xi). Совокупность

таких yi будет численным решением краевой задачи.

Погрешность аппроксимации должна по условию задачи иметь порядок 2 (т.е., например, уменьшение

шага h вдвое должно уменьшать погрешность решения jyi u(xi)j в четыре раза).

Заменим в уравнении производную разделённой разностью (см. лекцию 5) u00(xi) yi 1 2y2i+yi+1 .

Исходное дифференциальное уравнение перейдёт в разностное

u00(x) + u(x) = cos x + 1 ! yi 1 2yi + yi+1 h2

Убедимся, что получен второй порядок аппроксимации. В разностное уравнение вместо сеточной функции подставим точное решение, т.е. заменим yi на ui = u(xi). Кроме этого разложим ui 1 в ряд Тейлора в окрестности точки xi

	h2			h3		h4
ui 1 = ui hui0 +		ui00			ui000 +		uIV( ); 2 [xi 1; xi]; + 2 [xi; xi+1]:
ui 1 = ui hui0 +	2	ui00		3!	ui000 +	4!	uIV( ); 2 [xi 1; xi]; + 2 [xi; xi+1]:
После сокращения имеем		h2
		h2
ui00			[uIV( ) + uIV( +)] + ui = cos xi + 1:
ui00		12	[uIV( ) + uIV( +)] + ui = cos xi + 1:

Вычитая из последнего равенства исходное дифференциальное уравнение, получаем невязку n(1) =h122 [uIV( ) + uIV( +)] = h62 uIV( ) = O(h2), где 2 [ ; +]. Получен требуемый порядок аппроксимации.

Очевидно, замена граничного условия u(1) = 2 на y0 = 2 не имеет погрешности аппроксимации.

В правом граничном условии нельзя заменить u0(3) левой разделённой разностью, так как u0(3) =

yn yn 1

+ O(h1). Выделим в O(h1) главный член. Из формулы Тейлора в окрестности xn = 3 имеем

u(3 h) = u(3) hu0(3) +

u00(3) + O(h3);

откуда

u(3) u(3 h)

u0(3) =

u00(3) + O(h2):

Из исходного уравнения следует, что u00(3) + u(3) = cos(3) + 1. Таким образом,

u(3) u(3 h)

[cos(3) + 1

u(3)] + O(h2)

3u(3) = 1:

Невязка для правого граничного условия равна O(h2), что даёт второй порядок аппроксимации.

Окончательный ответ это система из n + 1 линейного уравнения с неизвестными y0; y1; : : : ; yn

8	y	i 1		2y		+ y	i+1	+ yi = cos xi + 1; где i = 1; 2; : : : ; n 1 и xi = 1 + ih;
8		i 1		h2i			i+1	+ yi = cos xi + 1; где i = 1; 2; : : : ; n 1 и xi = 1 + ih;
>
> y0 = 2;
>
>
>
< yn				yn	1	+ h2 [cos(3) + 1 yn] 3yn = 1:
>			h			+ h2 [cos(3) + 1 yn] 3yn = 1:

15. Для решения (начальной или краевой) задачи, где x 2 [0; 2], предложена разностная схема. Определить, аппроксимирует ли разностная схема задачу. Если аппроксимация имеет место, найти её порядок.

Указание: использовать разложение в ряд Тейлора.					2yh0
		8 y2
u0	+ u = x		yi+1		yi 1			+ yi = ih
( u0	(0) = 1; u(2) = 0;	<					= 1; yn = 0 (где xn = 2)
Решение. Рассмотрим разностное уравнение		:		2h
	yi+1 yi 1			+ yi		= ih:
		2h

Раскладывая ui+1 в окрестности ui и подставляя в последнее уравнение, а затем вычитая исходное уравнение, получим невязку 1 = O(h1).

Рассмотрим первое краевое условие в разностном виде

y2 y0 = 1 2h

Раскладывая u2 в окрестности u0 и подставляя в последнее уравнение, а затем вычитая исходное краевое

условие, получим невязку			2 = O(h1).
Рассмотрим второе краевое условие в разностном виде
			yn = 0:
В этом случае невязка		3 равна нулю.
lim max	fj	1j; j	2j; j 3jg = 0, то аппроксимация имеет место. Порядок аппроксимации равен
Так как h!0

maxf1; 1g = 1.

16. Проверить выполнимость достаточных условий применимости метода прогонки для решения СЛАУ

Ax = f. Если эти условия выполняются, решить систему методом прогонки (вычислять можно на компьютере, но в решении указать значения всех прогоночных коэффициентов i, i).

0 7		10		1	0	0		1	0 4			1
A = B	11	7		0	0	0				1		C
A = B	0		10 20 6			0		C; f = B 5				C
B								C	B			C
B								C	B			C
B	0	0		10	18		7	C	B	6		C
B	0	0		0	6			C	B		9	C
B	0	0		0	6		13	C	B		9	C
B								C	B			C
@								A	@			A

Решение. Преобразуем первое и последнее уравнения системы, чтобы она приобрела вид:

0	1	{1
B	a1	a	c			b
B	a1	c1	b1
B		2			2		2
B
B			..	.		..		.	..	.
B				.				.		.
B
B						an 1			cn		1
B
B
B	0								{2
B	0
@

|{z

bn 1

C = B

C .

CB .

CB yn

fn 1

}

0;64 0

C; f = B

0;09

A = B 0

10 20

0 0;46

0;69

Проверим условия применимости метода прогонки:

aj 6= 0;

bj 6= 0;

jcjj > jajj + jbjj; j = 1; 2; : : : ; n 1 (диагональное преобладание),

j{1j 6 1; j{2j < 1:

j10j > j7j + j 1j;

j20j > j 10j + j6j;

j18j > j10j + j 7j;

j 0;64j 6 1;

j0;46j < 1:

Следовательно, метод прогонки применим.

Далее воспользуемся формулами

1 = {1;

1 = 1:

aj j + fj

j = 1; 2; : : : ; n 1:

j+1 =

;

j+1 =

;

cj jaj

yn = ({2 n + 2)=(1 {2 n)

yj = j+1yj+1 + j+1;

j = n 1; n 2; : : : ; 0;

Соседние файлы в папке Алгоритм решения БДЗ

#
12.01.202444.35 Кб606c.pdf
#
12.01.202419.22 Кб707c.pdf
#
12.01.202421.56 Кб608c.pdf
#
12.01.202440.75 Кб810c.pdf
#
12.01.202417.74 Кб816c.pdf
#
12.01.2024322.57 Кб16пример решения БДЗ.pdf