Презентации лекций / Презентация лекции 13 ДМ 20
.pdf
Тема 13 «Ориентированные графы: первичные понятия. Отыскание кратчайших путей на орграфе»
«Дискретная математика» Олейник Татьяна Анатольевна
кафедра ВМ-1
План лекции
1.Понятие ориентированного графа
2.Изоморфные орграфы
3.Матрицы смежности и инцидентности
4.Ориентированные пути, циклы и цепи на орграфе
5.Ориентированные деревья
6.Отыскание кратчайших путей
2
План лекции
1. Понятие ориентированного графа
2.Изоморфные орграфы
3.Матрицы смежности и инцидентности
4.Ориентированные пути, циклы и цепи на орграфе
5.Ориентированные деревья
6.Отыскание кратчайших путей
1
2
3
4
5
6
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
– конечноемножество, |
|
|
|
3 |
|
– конечное |
|
|
|
|
|
= ( ,) – |
4 |
||
|
|
|
состоящееупорядоченных |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ориентированный |
5 |
|||
непустое множество |
|
|
|
парэлементов , которымданы |
|
|
|||
|
|
|
|
|
граф |
6 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
имена |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– множествовершин |
|
|
|
– множестводуг |
|
|
|
,( ) |
|
|
|
|
= ( ,) |
|
|
орграф |
|||
|
|
|
|
дуга сначалом и концом. |
|
|
|
|
|
= ( ,) –дуга выходит(исходит)из ивходит(заходит)ввершину |
|
||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диаграмма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ориентированного |
|
= , |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
графа |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= { ,,,} |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= { = |
, , = |
, , |
= , , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ,), |
= ( ,)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
= ( ,) или = ( ,) - |
|
|
|
|
|
|
|||
= ( ,) –дуга и вершина |
|
вершины и смежные |
Дугисобщейвершиной - |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
инцидентные,дуга ивершина |
|
|
|
|
|
|
смежные |
|
|
|
|||||
|
инцидентные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ,) и |
= ( ,) – |
|
|
|
|
|
= ( ,) и |
= ( ,) – |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
симметричныедуги |
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельныедуги |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Вершина и дуги , |
, , |
инцидентные. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Дуга |
и вершина инцидентные. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Вершины , смежные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Дуги |
и |
симметричные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дуги |
и |
параллельные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дуга |
петля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
5
Полустепеньисхода - числодуг, для которых вершина – начало.
deg = 0 –вершина изолированная
|
|
|
|
|
1 |
Полустепеньзахода - |
Степеньвершины - сумма |
2 |
|||
числодуг, для которых |
полустепениисходаи |
|
3 |
||
вершина – конец. |
полустепенизахода |
|
4 |
||
|
|
|
= + |
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
deg = 1 –вершина висячая,инцидентнаяейдуга -висячая
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
deg |
= 1, deg |
= 1, |
deg =2 |
deg |
= 1, deg |
= 2, deg = 3 |
|
deg |
= 0, deg |
= 1, |
|
deg = 1 - вершина висячая, дуга висячая.
deg = 0, deg = 0,
deg = 0 - вершина изолированная.
Леммаорукопожатияхдляориентированныхграфов:
Суммаполустепенейисходавсехвершинграфа |
|
|
= |
|
= |
|
|
||||||
равнасуммеполустепенейзаходавсехвершин |
|
|||||
|
||||||
|
||||||
графаиравначислудуг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
Нетпетель |
Нетпараллельныхдуг |
5 |
6 |
обыкновенныйорграф
Обыкновенный |
Нетсимметричныхдуг |
направленный орграф
7
Ворграфе = ( ,)заменим каждуюдугу = ( ,) на ребро =
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
Неориентированныйграф = ,
-основание
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Ориентированныйграф,основаниекоторогоестьполныйграф, -турнир.
1
2
3
4
5
6
8
План лекции
1. Понятие ориентированного графа
2.Изоморфные орграфы
3.Матрицы смежности и инцидентности
4.Ориентированные пути, циклы и цепи на орграфе
5.Ориентированные деревья
6.Отыскание кратчайших путей
1
2
3
4
5
6
9
Орграф = ( , )
изоморфен орграфу = ( , )
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
Существуюттакиевзаимно-однозначныеотображения
: |
|
→ |
|
, |
: |
→ , |
|
|
|
|
|
чтодлявсякойдуги = ( ,)графа
справедливо ( ) = ( , )
|
|
2 |
|
|
|
= |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
= |
|
|
|
|
3 |
= |
|||
5 |
|
1 |
3 |
|
|
= |
||
|
4 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
5 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
изоморфен |
|
|
|
|
|
|||||
Если изоморфен ,то и изоморфен .
Орграфыизоморфны,еслиможнопереименоватьихвершиныидуги так, чтографыстанутодинаковыми
1
2
3
4
5
6
10