Тексты лекций / Текст лекции 9

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

§ 3.2. Достижимость и компоненты связности, циклы и мосты, цикломатическое число

Пути, цепи, циклы на графе. Отношение достижимости (связности). Компоненты связности графа. Число связности. Связный граф. Мост. Цикломатическое число.

Базовые понятия и утверждения

Если = , то путь называется замкнутым.

Заметим, что в обыкновенном графе путь полностью определяется последовательностью , ,..., своих вершин.

В произвольном пути любое ребро и любая вершина могут повторяться. Накладывая ограничения на число повторений вершин и ребер, приходим к следующим частным видам путей.

быть может, совпадающих концевых.

Замкнутая цепь ненулевой длины называется циклом. Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Лемма (о простой цепи). Если на графе существует путь

Доказательство. Рассмотрим на графе путь наименьшей длины из в  . Покажем, что этот путь является простой цепью. Будем рассуждать от противного. Пусть в нашем пути имеется повторяющаяся вершина . Тогда, заменив часть пути от первого вхождения вершины до ее второго вхождения на одну вершину , мы получим более короткий путь из   в  . Получили противоречие. ■

Упражнение 3.9. На графе из упр. 3.3 найти: а) путь длины 7, не являющийся цепью; б) цепь длины 5, не являющуюся простой;

1

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

в) цикл, не являющийся простым; г) простой цикл четной длины; д) простой цикл нечетной длины.

2.Достижимостьикомпонентысвязностиграфа. Намножествевершин графа вве-

дембинарноеотношениеотношениедостижимости(связности) (~),образованноевсеми теми парами вершин ( ,), для которых на графе есть путь из в . Таким образом, записьбудет означать, что на графе есть путь из в .

Поскольку мы договорились считать каждую вершину графа путем длины 0 из в , то для любой вершины можно утверждать, что . Это означает, что отношение достижимости рефлексивно.

Очевидно, что если на графе есть путь из вершины   в вершину  , то есть и путь из   в  , т.е. если , то и . Значит, отношение достижимости симметрично.

Несложно показать, что отношение достижимости является также и транзитивным, т.е. если и , то и . Иными словами, из существования на графе путей из ви из в следует существование пути из в . Это действительно так, поскольку из пути

Таким образом, отношение достижимости рефлексивно, симметрично и транзитивно, и, значит, является отношением эквивалентности.

Пусть - произвольная вершина графа = ( ,). Обозначим через [ ]~ класс эквивалентности вершины по отношению достижимости, т.е. [ ]~ = { |~ }.

Классы эквивалентности по отношению достижимости обладают рядом свойств, присущих классам эквивалентности любого бинарного отношения (см. теорему 1.1), а именно:

1)класс эквивалентности любой вершины по отношению достижимости - непустое множество;

2)классы эквивалентности любых двух вершин по отношению достижимости либо не пересекаются, либо совпадают;

3)объединение классов эквивалентности всех вершин графа по отношению достижимости совпадает с самим множеством вершин графа.

Вследствие перечисленных свойств отношение достижимости, заданное на множествевершин графа , порождает разбиение множества на классы эквивалентности по этому отношению.

Определение. Подграф , порождаемый классом эквивалентности [ ]~ вершины по отношению достижимости, называют компонентой связности вершины .

Другимисловами,компонентасвязностивершины представляетсобойподграфграфа

с множеством вершин [ ]~ и множеством ребер, элементами которого являются все те ребра графа , концы которых лежат в [ ]~.

Компоненты связности графа обладают следующими свойствами:

1)каждая компонента связности - непустой подграф;

2)компоненты связности любых двух вершин либо не пересекаются, либо совпадают;

3)объединение компонент связности всех вершин графа совпадает с самим графом. Вследствиеперечисленныхсвойствсовокупностьвсехразличныхкомпонентсвязности

графа образует его дизъюнктное разбиение.

Определение. Число различных компонент связности графа называется числом связности и обозначается ( ).

2

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

Если( ) = 1,тографназываетсясвязным.Инымисловами,графсвязный,если любая пара его вершин соединена путем.

Пример 2. Рассмотрим граф с вершинами ,,,,, и ребрами = , = ,

= , = (рис. 3.15).

Перечислим классы эквивалентности вершин графа по отношению достижимости:

[ ]~ = [ ]~ = [ ]~ = { ,,}, [ ]~ = [ ]~ = { ,}, [ ]~ = { }.

Таким образом, имеем три различных класса эквивалентности и, соответственно, три

Упражнение 3.10. Найти все (с точностью до изоморфизма) связные обыкновенные графы с четырьмя вершинами.

Упражнение 3.11. Определить, сколько компонент связности имеет граф , задан-

3. Мосты и циклы графа. Ребро графа называется мостом, если ( ) < ( − ). Напомним, что − - это граф, получающийся из графа удалением ребра (концы

ребра при этом не удаляются).

Пример 3. У связного графа , представленного диаграммой на рис. 3.16, мостами являются ребра = , = , = . Действительно, при удалении каждого из этих ребер получается граф, число связности которого равно 2, что на единицу больше числа связности графа .

Если же удалить из графа ребро = (равно как и = или = ), то получится граф, у которого, так же как у графа , одна компонента связности.

На рис. 3.17 приведена диаграмма графа − , полученного из графа удалением ребра = .

3

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

графа увеличивается ровно на единицу (теорема о мостах).

2. Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле (теорема о мостах и циклах).

Доказательства этих теорем приведены во второй части параграфа.

Упражнение 3.12. Сколько ребер графа, диаграмма которого изображена на нижеуказанном рисунке, являются мостами:

а) на рис. 3.1; б) на рис. 3.2; в) на рис. 3.3?

Упражнение 3.13.Привести пример связногообыкновенногографастремя ребрами: а) ни одно ребро которого не является мостом; б) все ребра которого являются мостами.

4. Цикломатическое число графа. Число ( ) = | |− | |+ ( ) называется цикло-

матическим числом графа = ( ,).

Например, цикломатическое число графа из примера 2 равно ( ) = 4 − 6+ 3 = 1, а цикломатические числа его подграфов , , равны соответственно ( ) = 3 − 3+ 1 = 1, ( ) = 1− 2 + 1 = 0, ( ) = 0 − 1 +1 = 0.

Цикломатическое число обладает следующими свойствами:

1)цикломатическое число любого графа неотрицательно, т.е. ( ) ≥ 0 (теорема о знаке цикломатического числа);

2)цикломатическое число любого графа равно сумме цикломатических чисел его компонент связности, т.е. если , , …, - все компоненты связности графа , то ( ) =

∑( ).

Доказательство этих утверждений приведено во второй части параграфа. Упражнение 3.14. Найти цикломатическое число графа:

Теоретические обоснования

Теорема 3.1 (о мостах). Если ребро - мост графа , то ( − ) = ( ) + 1.

4

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа: на первом этапе докажем это утверждение для связных графов, на втором - рассмотрим общий случай.

1. Докажем, что если граф - связный и его ребро - мост, то ( − ) = 2. Предположим противное, т.е. что существуют граф и мост в нем такие, что ( ) =

1и( − ) ≥ 3.Последнееозначает,чтовграфе − найдутсявершины , , ,лежащие в разных компонентах связности. Поскольку исходный граф связен, то на нем существуют пути из в и из в , а, значит, согласно лемме о простой цепи, существуют простые цепи и .

В графе − вершины , и лежат в разных компонентахсвязности,следовательно,

графе − . Это противоречит тому, что вершины и лежат в разных компонентах связности этого графа.

содержится ровно в одной компоненте связности графа , то при удалении моста точно одна компонента связности графа, согласно пункту 1, распадется на две компоненты связности графа − . Следовательно, при удалении моста число компонент связности графа увеличится ровно на единицу. ■

Теорема 3.2 (о мостах и циклах). Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле.

Доказательство. Необходимость. Пусть на графе ребро = - мост. Покажем, что оно не содержится ни в одном цикле. Будем рассуждать от противного. Предположим,

что найдется цикл, в котором содержится мост :     … . Пусть и - произвольная пара связных вершин графа . Тогда на этом графе найдется простая цепь из в . Есть двевозможности:1)этацепьнесодержитребра ; 2)этацепьребро содержит.Впервом случае при удалении e цепь не нарушается, так что вершины и остаются связными. Во втором случае при удалении ребра цепь нарушается, но есть возможность заменить участок цепи (или ) на фрагмент (или инвертированный фрагмент) рассматриваемого цикла, в результате чего получится новый путь из в , т.е. и в этом случае при удалении ребра вершины и останутся связными. Следовательно, при удалении ребра число компонент связности графа не изменится, а это противоречит тому, что - мост.

5

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

Достаточность. Пусть ребро = не содержится ни в одном цикле. Надо показать, что оно является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что - не мост. Тогда компонента связности графа, содержащая ребро , после удаления этого ребра останется связным подграфом, и, значит, в графе − найдется цепь, соединяющая и . Склеив эту цепь с ребром , получим в графе цикл, содержащий . Таким образом, пришли к противоречию с условием; следовательно, предположение было неверным и ребро - мост. ■

Теорема 3.3 (о знаке цикломатического числа). Цикломатическое число любого графа неотрицательно:

( ) = | |− | |+ ( ) ≥ 0.

Доказательство. Доказательство проведем по принципу математической индукции, взяв в качестве параметра число ребер графа.

Базис индукции. Пусть | | = 0. Тогда ( ) = | | и ( ) = 0 − | |+ | | = 0.

Индуктивный переход. Предположим, что неравенство ( ) ≥ 0 выполнено для любого графа, у которого число ребер меньше или равно . Докажем, что тогда оно справедливо и для графа = ( ,), у которого | | = + 1.

Удалим произвольное ребро графа , т.е. перейдем к графу − = ( ,\{ }). Число ребер графа − равно |\{ }| = | | − 1 = , следовательно, по предположению индук-

ции, для этого графа выполнено условие ( − ) ≥ 0, т.е. |\{ }|− | |+ ( − ) ≥ 0.

Возможны два случая:

1)удаленное ребро - не мост;

2)удаленное ребро - мост.

Впервом случае ( − ) = ( ). Следовательно, | | − 1 − | |+ ( ) ≥ 0 или | | − | |+ ( ) ≥ 1.

Во втором случае по теореме о мостах ( − ) = ( )+ 1. Следовательно, | | − 1− | |+ ( ) + 1 ≥ 0 или | | − | |+ ( ) ≥ 0.

Вобоих случаях показано, что цикломатическое число графа неотрицательно. Таким образом, справедливость индуктивного перехода обоснована. ■

3.12.Доказать, что замкнутый путь нечетной длины содержит простой цикл. Верно ли аналогичное утверждение для замкнутых путей произвольной длины?

3.13.Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

а) объединение любых двух различных цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл;

б) объединение двух различных простых цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл.

6

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

3.14.Граф = ( ,) связен тогда и только тогда, когда для любого разбиения множества на два подмножества и существует ребро графа , соединяющее некоторую вершину из с некоторой вершиной из .

3.15.Показать, что связный граф с вершинами содержит не менее − 1 ребер.

3.16.Доказать, что в связном графе любые две простые цепи максимальной длины имеют по крайней мере одну общую вершину.

3.17.Показать, что обыкновенный граф с вершинами и двумя компонентами связно-

сти имеет не более ( )( ) ребер.

3.18. Доказать, что обыкновенный граф, имеющий более ( )( ) ребер ( ≥ 2), является связным.

3.19.Сколько существует попарно-неизоморфных обыкновенных графов с 16 вершинами и 118 ребрами?

3.20.Пусть , , …, - все компоненты связности графа . Доказать, что ( ) =

∑( ).

Ответы и указания к упражнениям

§ 3.7. Фундаментальная система циклов графа

Абстрактный цикл. Обобщенный цикл. Пространство циклов. Фундаментальная система циклов (базис пространства циклов).

Базовые понятия и утверждения

Пусть - произвольный граф. На множестве циклов графа введем бинарное отношение, которое назовем отношением равенства и определим следующим условием: будем считать, что два цикла равны, если множества их ребер совпадают.

Это бинарное отношение, будучи отношением эквивалентности, разбивает множество циклов данного графа на классы эквивалентности. Далее в этомпараграфе, говоря о циклах графа, будем иметь в виду, если не оговорено противное, классы эквивалентности, а не отдельныхих представителей.Эти классы эквивалентностиназовем абстрактнымициклами. Любой абстрактный цикл задается множеством своих ребер.

Пример 1. Граф , представленный диаграммой на рис. 3.72, имеет следующие абстрактные циклы:

7

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

обобщенных циклов включим также цикл без ребер; назовем его пустым циклом и обозначим символом .

На множестве всех обобщенных циклов графа введем две операции:

а) операцию сложения по модулю 2: суммой обобщенных циклов и назовем обобщенный цикл с множеством ребер

б) операцию умножения на 0 и 1: 0 = ; 1 = . Например, для обобщенных циклов графа из примера 1 имеем:

= , = , = .

Множество всех обобщенных циклов графа с операциями сложения по модулю 2 и умножения на 0 и 1 образуют линейное пространство (убедиться в выполнении восьми аксиом линейного пространства несложно).

Операция естественным образом распространяется на любое конечное число обоб-

Система обобщенных циклов , ,..., графа образует базис линейного пространства циклов, если она удовлетворяет двум условиям:

1), ,..., линейно независима;

2)любой обобщенный цикл графа может быть представлен в виде линейной комбинации обобщенных циклов , ,..., .

Базис линейного пространства циклов называют фундаментальной системой циклов. Из курса линейной алгебры нам известно, что в линейном пространстве может быть несколько базисов, но все они состоят из одного числа векторов линейного пространства

(напомним, что это число называют размерностью линейного пространства). Представляют интерес два вопроса: 1) из скольких циклов состоит фундаментальная

система циклов произвольного графа и 2) как найти фундаментальную систему циклов графа?

Ответ напервыйвопросдает следующее утверждение: числоцикловв любойфундамен-

тальной системе циклов графа равно его цикломатическому числу.

Приведем алгоритм построения фундаментальной системы циклов произвольного графа .

1-й шаг. Находим в графе какой-либо обобщенный цикл и удаляем из него ребро(«разрываем» цикл). Получаем граф .

-й шаг. В графе , построенном на ( − 1)-м шаге, находим какой-либо обобщенный цикл и удаляем из него произвольное ребро . Получаем граф .

Если в графе циклов нет, то , ,..., - искомая фундаментальная система циклов. Если в графе обобщенные циклы остались, то повторяем -й шаг.

Пример 2. Построим фундаментальную систему циклов графа из примера 1.

1-й шаг. Возьмем цикл = { , , } и удалим из него одно ребро, пусть это будет ребро . Получим граф (рис. 3.73).

8

Тема 9. «Циклы и мосты, цикломатическое число. Фундаментальная система циклов» Олейник Т.А., 2020

Следовательно, , , - фундаментальная система циклов (или, что то же самое, базис пространства циклов) графа . Все остальные обобщенные циклы графа - линейные комбинации базисных циклов. Например, = 0 1 1 .

Заметим, что действия по алгоритму не строго детерминированы: на каждом шаге мы имели несколько вариантов выбираемого цикла и удаляемого из него ребра. Если бы наш выборбылиным,томынашлибыдругуюфундаментальнуюсистемуциклов.Однакочисло циклов в этой другой фундаментальной системе тоже было бы равно трем. Например,, , также является фундаментальной системой циклов графа .

Задачи повышенной сложности

3.37.Найти фундаментальную систему циклов следующих графов: а) графа, представленного диаграммой на рис. 3.2; б) графа , представленного диаграммой на рис. 3.6.

3.38.Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

а) графа, все ребра которого мосты; б)графа,имеющего11 вершин,10реберисостоящегоизчетырехкомпонентсвязности.

3.39.Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

3.40. Сколько всего обобщенных циклов имеет граф , если ( ) = 6?

9