Тексты лекций / Текст лекции 8

Глава 3. Теория графов

§ 3.1. Основные определения

Граф,еговершиныиребра.Смежныевершины.Кратныеребра,петли.Инцидентные вершины и ребра. Степени вершин. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Диаграмма графа. Изоморфные графы. Специальные виды графов: обыкновенные, полные, двудольные, полные двудольные графы. Матрица смежности и матрица инцидентности. Подграф. Операции над графами: объединение, пересечение, декартово произведение.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Различают два вида графов - неориентированные и ориентированные. Знакомство с теорией графов мы начнем с изучения графов первого вида.

Определение. Пусть - конечноенепустоемножество, -конечноемножество,состо- ящее из поименованных неупорядоченных пар элементов множества , причем это могут бытьпары из одинаковыхэлементови одинаковыепары сразнымиименами.Совокупность множеств и называют графом (или неориентированным графом) и обозначают = ( ,).

Элементы множества называют вершинами, а элементы множества - ребрами. Граф может вовсе не иметь ребер. Такой граф называют нулевым.

Множествавершин и ребер графа такжеобозначают ( )и ( )соответственно. Если ребро - это пара вершин и , то пишут = .

Обычно графыпредставляют диаграммами.Каждойвершинеграфа ставят всоответствие свою точку плоскости или пространства, которую помечают тем же символом, что и

смежными вершинами. Если ребра имеют общую концевую вершину, то их называют смежными ребрами. Если - конец ребра , то ребро и вершину называют инцидент-

1

шиныперечислитьинцидентныеейребра,определитьстепени вершин, перечислить изолированные и висячие вершины (если они есть). Перечислить висячие ребра, кратные ребра и петли (если они есть).

Лемма (о рукопожатиях). Для любого графа = ( ,) сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер:

∑∑| | .

Доказательство. При подсчете суммы степеней вершин произвольное ребро = внесет вклад, равный 1, как в степень вершины , так и в степень вершины , т.е. будет учтено в сумме дважды. ■

Пример 2. Выяснить, существует ли граф со следующим набором степеней вершин:

а) 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5; б) 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3.

◄а) Предположим, что такой граф существует. Тогда, согласно утверждению леммы

орукопожатиях, сумма степеней его вершин равна удвоенному числу ребер, т.е. 1 + 2+ 2 + 2+ 3+ 4+ 5 = 2| |, откуда | | = 9,5. Но это невозможно, так как число ребер не может быть дробным. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании графа с указанным набором степеней вершин было неверным.

б) Если граф с набором степеней вершин 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3 существует, то он, согласно лемме о рукопожатиях, имеет 7 ребер (1 + 1 + 1+ 2 + 3 + 3+ 3 = 2| |, откуда | | = 7). Действуя методом проб, несложно подобрать примеры таких графов (диаграммы двух из них изображены на рис. 3.3 и 3.4). ►

Рис. 3.3. Рис. 3.4.

Упражнение 3.2. Выяснить, существует ли граф со следующим набором степеней вершин: 0, 1, 3, 3, 5.

2. Изоморфные графы. Графы и называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения :( ) → ( ) и :( ) → ( ), что для всякого ребра = из ( ) справедливо ( ) = ( )( ).

2

Иными словами, два графа изоморфны, если с помощью переименования вершин и ребер их можно сделать одинаковыми. У изоморфных графов одни и те же свойства, выражаемые в терминах теории графов - например, одинаковое число вершин, ребер, висячих ребер, петель, вершин определенной степени.

Пример 3. Рассмотрим графы, представленные диаграммами на рис. 3.5, и выясним, какие из них изоморфны друг другу.

≤ 4) взаимно-однозначны и удовлетворяют условию, описанному в определении изоморфных графов.

Еще одним примером неизоморфных графов служат графы, изображенные на рис. 3.3 и 3.4. Действительно, в графе на рис. 3.3 все вершины степени 1 инцидентны вершинам степени 3, а в графе на рис. 3.4 это не так. Этот пример показывает, что набор степеней вершин не определяет граф однозначно даже с точностью до изоморфизма.

Для доказательства того, что графы изоморфны, достаточно указать отображения и, удовлетворяющие условию, описанному в определении. Чтобы доказать, что графы неизоморфны, достаточно найти какое-нибудь свойство, которым обладает один граф и не обладает другой, и которое у изоморфных графов должно быть общим.

Упражнение 3.3. Выяснить,какиеизграфов,представленныхнарис.3.6своимидиаграммами, изоморфны между собой.

3

Рис. 3.6.

Рассмотрим на множестве графов бинарное отношение, состоящее из всех пар изоморфных графов. Назовем это бинарное отношение отношением изоморфизма и обозначим (таким образом, запись будет означать, что графы и изоморфны).

Отношение изоморфизмарефлексивно, симметричнои транзитивнои,значит, является отношением эквивалентности. Следовательно, оно разбивает множество всех графов на классыэквивалентности так, что графыодного класса попарно изоморфны, а графы разных классов не изоморфны. В дальнейшем, если не оговорено иное, графы рассматриваются с точностьюдоизоморфизма,т.е.объектомизучения являютсянеотдельныеграфы,а классы эквивалентности по отношению изоморфизма (эти классы называют абстрактными графами).

Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и ребер.

Упражнение 3.4. Найти все (с точностью до изоморфизма) обыкновенные графы с тремя вершинами.

3.Видыграфов.Обыкновенныйграфназываетсяполным,еслилюбыедвееговершины смежные. Все полные графы с вершинами изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного абстрактного графа с вершинами, применяется обозначение .

На рис. 3.7 в качестве примера приведены диаграммы графов , , .

Двудольным графом называется обыкновенный граф, множество вершин которого может быть разбито на два непустых непересекающихся подмножества (доли), так что концы каждого ребра графа принадлежат разным долям.

Двудольный граф называется полным двудольным графом, если любые две его вершины, принадлежащие разным долям, смежные.

Все полные двудольные графы с вершинами в одной доле и вершинами в другой ( ≤ ) изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного двудольного абстрактного графа с вершинами в одной доле и вершинами в другой ( ≤ ), применяется обозначение , .

На рис. 3.8 в качестве примера приведены диаграммы графов , и , .

4

4. Матрица смежности и матрица инцидентности. Существует несколько способов задания графов. Во-первых, граф можно задать указанием множества вершин и полного списка ребер (это задание «по определению»). Во-вторых, граф можно задать диаграммой. Кроме того, графы можно описать матрицами.

Пусть - произвольный граф с m вершинами и ребрами. Занумеруем вершины графа числами от 1 до m.

Определение.Матрицейсмежностиграфа называютквадратнуюматрицу( )размера × , в которой элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца, равен числу ребер, соединяющих вершины с номерами , , причем при = каждая петля учитывается дважды.

Очевидно, что вид матрицы смежности графа зависит от того, как занумерованы вершины графа. Вообще говоря, для каждого графа имеется несколько матриц смежности. Матрицы смежности графа,соответствующие различным нумерациямвершин,получаются одна из другой с помощью некоторой перестановки строк и аналогичной перестановки столбцов (если строки и переставлены, то и столбцы и тоже должны быть переставлены).

Матрица смежности определяет граф с точностью до изоморфизма: графы, имеющие одинаковые матрицы смежности, изоморфны друг другу.

Пример 4. Составим матрицу смежности ( ) графа , представленного диаграммой на рис. 3.1. Вершинам , , дадим номера 1, 2, 3 соответственно. Поскольку в графе три вершины, то матрица ( ) имеет три строки и три столбца. Будем заполнять матрицу ( ) по строкам. Вершина не соединена ребром ни с одной из вершин, поэтому первая строкаматрицы состоит из нулей.Вершина свершиной несоединена,поэтомупервый элемент второй строки равен 0. Далее, соединена сама с собой петлей, поэтому второй элемент второй строки равен 2. Кроме того, соединена ребром с , поэтому третий элемент второй строки равен 1. Вершина соединена ребром только с вершиной , поэтому в третьей строке второй элемент равен 1, а остальные элементы равны 0. Таким образом, у

Матрица смежности любого графа симметрична относительно главной диагонали. Сумма элементов ее -й строки равна степени -й вершины. Матрица смежности обыкновенного графа состоит из нулей и единиц, причем ее главная диагональ состоит только из нулей.

Помимо вершин занумеруем ребра графа числами от 1 до .

Определение. Матрицей инцидентности графа называют матрицу ( ) размера× , элементы которой определяются следующими условиями:

Пример 5. Составим матрицу инцидентности ( ) графа , представленного диаграммой на рис. 3.1. Вершинам , , дадим номера 1, 2, 3 соответственно, а ребрам ,

5

- номера 1 и 2. Поскольку в графе три вершины и два ребра, то матрица ( ) имеет три строки и два столбца. Будем заполнять матрицу ( ) по столбцам. Ребро соединяет вершины и , поэтому второй и третий элементы первого столбца равны 1, а первый элемент равен 0. Ребро - петля, поэтому второй столбец состоит из нулей. Таким образом, у нас получилась матрица

Вид матрицы инцидентности графа зависит от того, как занумерованы его вершины и ребра. Матрицы инцидентности, соответствующие различным нумерациям вершин и ребер графа, получаются одна из другой с помощью произвольной перестановки строк и произвольной перестановки столбцов.

Если в графе нет петель, то матрица инцидентности, так же как и матрица смежности, определяет граф с точностью до изоморфизма: графы, имеющие одинаковые матрицы инцидентности,изоморфныдругдругу. Еслив графеесть петли, товосстановить граф по матрице инцидентности однозначно нельзя, поскольку отсутствует указание на то, какие вершины являются концами петли.

Упражнение 3.5. Выписать матрицу смежности и матрицу инцидентности графа из упр. 3.1.

Упражнение 3.6. Изобразить диаграмму графа, матрица смежности которого имеет

В число подграфов графа будем включать пустой подграф и обозначать его . Пусть - подмножество множества вершин графа = ( ,). Включим в множество

все ребра графа , концы которых принадлежат . Подграф = , графа = ( ,) назовем подграфом, порожденным множеством .

Пример 6. Рассмотрим граф , представленный диаграммой на рис. 3.9. Графы ,, , , - подграфы . Подграф порожден подмножеством = { , , , } вершин графа , в то время как подграф , множество вершин которого совпадает с множеством вершин графа , не является подграфом, порожденным множеством своих вершин

.

6

множества вершин и ребер которого являются пересечением соответствующих множеств графов и .

Объединением графов и называется граф = ( , ), т.е. граф, множества вершин и ребер которого являются объединением соответствующих множеств графов и .

Аналогично определяется пересечение и объединение любого конечного числа подграфов.

Пример 7. На рис. 3.10 показаны пересечения и объединения подграфов из примера

6.

Совокупность непустых, попарно-непересекающихся подграфов , ,…, графа называют дизъюнктным разбиением графа , если их объединение совпадает с графом ,

т.е. = .

Пример 8. На рис. 3.11 показаны диаграммы графа и трех его подграфов , , , образующих в совокупности дизъюнктное разбиение .

7

Рис. 3.11.

Назовем декартовым произведением графов = ( , ) и = ( , )граф × , вершинами которого являются упорядоченные пары вида ( ,), где , , и в котором вершины ( , ) и ( , ) смежные в точности в одном из двух случаев: 1) и - смежные вершины в графе , а = ; 2) и - смежные вершины в графе , а =.

Пример 9. Пусть - граф с вершинами и и ребром = , а - граф с вершинами , , и ребрами = , = . На рис. 3.12 показаны диаграммы графов , и× .

Упражнение 3.8. а) Пусть - граф с вершинами 0 и 1 и ребром 01. Построить диа-

Удалением вершины из графа = ( ,) называется операция, которая удаляет из графа вершину и все инцидентные ей ребра. Получающийся в результате подграф обозначают − .

Удалением ребра из графа = ( ,) называется операция, которая удаляет из графаребро (концы ребра не удаляются). Получающийся в результате подграф обозначают

− .

8

Задачи повышенной сложности

3.1.Доказать, что в любом графе число вершин нечетной степени может быть только

четным.

3.2.Рассмотримнамножествевершинпроизвольногографабинарноеотношениесмежности: будем считать вершины связанными этим отношением, если они соединены ребром. Нарисуйте диаграмму графа, для которого отношение смежности будет:

а) рефлексивным, но не транзитивным; б) транзитивным, но не рефлексивным; в) отношением эквивалентности.

3.3.Пусть - полный граф с множеством вершин = { , ,..., }.

а) Сколько у графа подграфов с тем же множеством вершин, что и у графа ? б) Сколько у графа всего подграфов?

3.4. Доказать, что если графы и изоморфны и одно из ребер графа есть петля, то одно из ребер графа также является петлей.

3.5. Доказать, что если графы и изоморфны и : → - взаимно-однознач- ное отображение в этом изоморфизме, то для любой вершины графа выполняется ра-

венство = ( ).

3.6. Доказать, что если графы и изоморфны и на графе есть цикл длины , то

ина графе также есть цикл длины .

3.7.Определим по индукции граф : пусть - граф с вершинами 0 и 1 и ребром 01;

3.9.Сколько существует обыкновенных графов, у которых вершин (вершины помечены)? Сколько из них имеет ровно ребер?

3.10.Доказать, что в любом обыкновенном графе, содержащем более одной вершины, найдутся две различные вершины одинаковой степени.

9

10