Тексты лекций / Текст лекции 7
.pdfТема 7 «Полнота системы булевых функций» |
Олейник Т.А., 2020 |
§ 2.5. Полнота системы булевых функций
Полная система. Теорема о полноте двух систем. Критерий полноты системы булевых функций. Базисы. Предполные классы.
Базовые понятия и утверждения
1. Понятие о полноте системы булевых функций. В предыдущем параграфе мы уста-
новили,чтофункцию,непринадлежащую какому-нибудь классуПоста,нельзя представить формулой через функции, входящие только в этот класс. С другой стороны, нам известно, чтолюбуюбулевуфункциюможновыразитьчерездизъюнкцию,конъюнкциюиотрицание. Настоящий параграф посвящен обсуждению следующего вопроса: как для произвольной системы булевых функций определить, всякая ли функция представима формулой над , или нет?
Определение. Множество булевых функций = { , ,..., ,...} называется полной системой, если любая булева функция может быть задана формулой над .
Пример 1. а) { , ,¬} - полная система, поскольку любая булева функция представима в виде СДНФ или СКНФ.
б) {0,1, , } - полная система, поскольку любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина.
в) { , } - полная система, поскольку любую булеву функцию можно сначала выразить формулой над { , ,¬}, а затем заменить в этой формуле все дизъюнкции формулой
= . В итоге получится формула над { , }.
г) { , } - полная система, поскольку любую булеву функцию можно сначала выразить формулой над { , ,¬}, а затем заменить в этой формуле все конъюнкции формулой
= . В итоге получится формула над { , }.
Следующая теорема обобщает подход, использованный нами для доказательства пол-
ноты систем { , } и { , }.
Теорема 2.12 (о полноте двух систем). Пусть заданы две системы булевых функций:= { , ,...} и = { , ,...}. Тогда, если система - полная и каждая ее функция может быть задана формулой над , то система тоже полная.
Доказательство. Покажем, как для произвольной булевой функции построить формулу над . Возьмем формулу для над = [ , ,...] (в силу полноты такая формула обязательно существует) и заменим в ней вхождение символов функций , ,...
формулами = |
[ , |
,...]над (которыесуществуютпоусловию).Получимформулу |
[ [ , ,...], |
[ , |
,...],...] над , которая задает . ■ |
Пример 2. Докажем,что {|}- полная система. Действительно, пусть = { , }
и |
= {|}. Имеем | |
CKH |
̄ ̄= , откуда = | . Следовательно, | = = и |
= |
= | = (|)|(|). Таким образом, каждую функцию полной системы можно задать формулой над . Следовательно, условия теоремы о полноте двух систем выполнены и, значит, = {|}- полная система.
С помощью теоремы о полноте двух систем можно доказать полноту некоторой системы булевых функций. Обосновать неполноту с ее помощью нельзя.
2. Критерий полноты системы булевых функций. Наиболее удобный способ про-
верки системы функций на полноту связан с использованием критерия полноты Поста.
1
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» Олейник Т.А., 2020
Для того чтобы система функций = { ,..., } была полна, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов Поста в нашлась функция , ему не принадлежащая.
Доказательство этого утверждения приведено во второй части параграфа.
При проверке, выполняются ли для некоторой системы функций = { ,..., } условия критерия Поста, удобно использовать таблицу, которую называют таблицей Поста
(табл. 2.29). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
ячейках |
таблицы |
|
|
|
|
Таблица 2.29 |
ставится знак «+» или «– |
|||||
», в зависимости от |
того, |
|
|
|
|
входит функция, стоящая |
|||||||
в данной строке, |
в класс, |
Функции |
|
Классы Поста |
|
стоящий |
в |
данном |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
столбце, или не входит. В |
|
|
силу теоремы Поста для |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
полноты |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
необходимои достаточно, |
||||
чтобы |
в каждом |
столбце |
… |
… |
… … … … |
стоялхотябыодинминус. |
|||||||
Таблицу |
|
Поста |
|
|
|
|
|
|
|
исследуемой |
|
системы |
|
лучше |
заполнять |
по |
|
|
|
|
|
|
столбцам. |
|
Вначале |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рассматриваем класс |
. Если окажется подмножеством |
(первый столбец таблицы |
заполнен толькоплюсами),тосистема неполна. В противном случае переходим к классу и т.д.
Пример 3. Используя критерий полноты, выяснить, полна ли система булевых функций :
а) = { , ↔ ,}; б) = { ↔ ,}.
◄ а) Для удобства рассуждений зададим функции системы таблично (табл. 2.30 и
2.31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.30 |
|
|
Таблица 2.31 |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= ↔ |
|
= |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Заполним таблицу Поста исследуемой системы (табл. 2.32).
2
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» |
Олейник Т.А., 2020 |
|
||||||||||||
|
|
|
Таблица 2.32 |
|
|
Класс : (0,0,0) = 0, |
следовательно, |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Классы Поста |
|
|
(0,0,0) = 1, следовательно, |
. |
Выяснять, |
||||||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
принадлежит или нет классу |
функция , не |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
надо, так как в системе уже нашлась функция, не |
|||||||
|
= |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
||||||||
|
= ↔ |
– |
+ |
|
– |
|
принадлежащая . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Класс : (1,1,1) = |
1, следовательно, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
– |
|
|
|
|
|
; (1,1,1) = 1, следовательно, |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,1,1) = 0, следовательно, . |
|
|
||||
|
|
= (01010111), = (00010101), следовательно, |
|
|
|
|
||||||||
Класс : |
. |
|
|
|
Класс : перебрав все пары сравнимыхвекторов, убеждаемся, что условие монотонности для функции не нарушается, значит, ; (0,0) ̱(0,1), а (0,0) > (0,1), следовательно, .
Класс : = = , следовательно, .
Таким образом, для каждого класса Поста можно указать функцию системы ,емуне
принадлежащую. Следовательно, - полная система. |
|
|
|
|
|||||||
б) Заполним таблицу Поста системы (табл. 2.33). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Таблица 2.33 |
Класс : (0,0) = 1, следовательно, . |
||||||||
|
|
Класс |
: (1,1) = 1, |
следовательно, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
Классы Поста |
|
|
|
|
|
|
|
||
Функции |
|
|
(1,1) = 0, следовательно, |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Класс |
: = (1001), |
|
|
= (0110), |
следова- |
|||||
|
– |
+ |
– |
– |
+ |
|
|||||
= ↔ |
тельно, |
. |
|
|
|
|
|||||
= |
|
– |
|
|
+ |
Класс : (0,0) ̱(0,1), |
(0,0) > (0,1), следо- |
||||
|
|
|
|
|
|
вательно, . |
|
|
|
|
|
Класс : |
= ↔ = = 1 , следовательно, |
; = = 1 , сле- |
|||||||||
довательно, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Посколькуобефункциисистемы принадлежатклассу линейныхфункций,тосистема неполна. ►
Упражнение 2.30. Используя критерий полноты, выяснить, полна ли система буле-
вых функций : |
|
а) = { → , |}; |
б) = { , 1, 0}. |
Определение. Полная система функций называется базисом, если после удаления из
нее любой функции получается неполная система. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4. Укажите подмножества , являющиеся базисами: |
|
|
|
|
|
|||||
а) = { ,,}; |
б) = { , ↔ ,}. |
|
|
|
|
|
||||
◄ а) Заполним таблицу Поста (табл. 2.34). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для каждого класса Поста можно указать функцию |
|
|
Таблица 2.34 |
|||||||
системы,которая ему не принадлежит (для , и это |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Классы Поста |
|
|||
, для и это ( )), значит, система { ,,} |
|
|
|
|||||||
Функции |
|
|
|
|
|
|||||
полная.Приэтоманализ табл.2.34показывает,чтоэтаси- |
||||||||||
стема базисом не является, поскольку не теряет полноты |
|
+ |
+ |
– |
+ |
– |
||||
при удалении или . Полученные в результате уда- |
|
+ |
+ |
– |
+ |
– |
||||
ления этих функций множества { ,} и { ,} |
явля- |
|
– |
– |
+ |
– |
+ |
|||
ются базисами, так как полны и при удалении из них лю- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
бой из функций полноту теряют ( , |
|
, ). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Мы рассматривали систему = { , ↔ |
,} в примере 3. |
|
|
|
|
|
3
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» |
|
|
Олейник Т.А., 2020 |
|||||
Чтобы выделить из этой полной системы базисы, |
|
|
|
Таблица 2.35 |
||||
заполним таблицу Поста системы полностью (табл. |
Функции |
|
Классы Поста |
|
||||
2.35). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||||
Анализ табл. 2.35 показывает, что сама система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
||
базисом не является, так как при удалении функции |
||||||||
полноту не теряет. Система { ↔ , } явля- |
|
= ↔ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
|
ется базисом, поскольку удаление из нее любой из |
|
= |
+ |
– |
– |
– |
– |
|
функций приводит к потере полноты. Остальные соб- |
|
|
|
|
|
|
|
ственныеподмножества базисаминеявляются(система { |
, ↔ }неполная, таккак |
|
лежит в ; система { , } неполная, так как лежит в |
; неполны и подмножества, |
|
|
|
|
содержащие по одной функции). ► |
|
|
Упражнение 2.31. Указать подмножества , являющиеся базисами: |
||
а) = { , 0, 1, }; |
б) = { ↓ , | }. |
|
Теоретические обоснования
Лемма о функции, не сохраняющей 0. Пусть . Тогда формулой над множе-
ством { } можно задать либо константу 1, либо отрицание.
Доказательство. Пусть , т.е. (0,0,...,0) = 1. Отождествим между собой все переменные функции . Получим функцию от одной переменной ( ) = ( , ,..., ).
Возможны два случая: (1,1,...,1) = 0 или (1,1,...,1) = 1.
Впервом случае (0,0,...,0) = 1 и (1,1,...,1) = 0, следовательно, (0) = 1 и (1) = 0, откуда ( ) = .
Вовторомслучае (0,0,...,0) = 1и (1,1,...,1) = 1,следовательно, (0) = 1и (1) = 1, откуда ( ) = 1.■
Лемма о функции, не сохраняющей 1. Пусть . Тогда формулой над множе-
ством { } можно задать либо константу 0, либо отрицание.
Доказательство. Пусть , т.е. (1,1,...,1) = 0. Отождествим между собой все переменные функции . Получим функцию от одной переменной ( ) = ( , ,..., ).
Возможны два случая: (0,0,...,0) = 0 или (0,0,...,0) = 1.
Впервом случае (0,0,...,0) = 0 и (1,1,...,1) = 0, следовательно,
(0) = 0 и (1) = 0, откуда ( ) = 0.
Вовторомслучае (0,0,...,0) = 1и (1,1,...,1) = 0,следовательно, (0) = 1и (1) = 0, откуда ( ) = .■
На рис. 2.1 и 2.2 представлены условные обозначе- |
|
f C T0 |
f C T1 |
||||||
|
|
|
|
||||||
ния алгоритмов, использованных при доказательствах |
|
_ |
_ |
|
|||||
леммы о функции, не сохраняющей 0, и леммы о функ- |
|
T0 |
T1 |
|
|||||
|
_ |
|
_ |
||||||
ции, не сохраняющей 1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
x |
0 |
x |
||
Лемма о несамодвойственной |
функции. Пусть |
Рис. 2.1. |
Рис. 2.2. |
||||||
( , ,..., ) - несамодвойственная функция. Тогда |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
формулой над множеством { , ¬} можно задать константы 0 и 1. |
|
|
|||||||
Доказательство. Пусть . Тогда существует набор ( |
, ,..., ) значений пере- |
||||||||
менных ( , ,..., ), такой что ( |
, ,..., ) ≠ ( , |
,..., ), и, значит, |
|
||||||
|
( , ,..., |
) = ( |
, ,..., |
). |
|
|
|
||
Рассмотрим функцию ( ) = ( |
, |
,..., |
), где |
= ̄, если |
= 0, и |
= , |
|||
если = 1. Заметим, что 0 |
= , 1 |
= . |
|
|
|
|
|
4
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» |
|
|
|
|
|
|
Олейник Т.А., 2020 |
|
|||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = (0 |
,0 |
,...,0 |
) = ( |
, |
,..., |
); |
|
|
x, f C S |
|||||
|
(1) = (1 |
,1 |
,...,1 |
) = ( |
, |
,..., |
). |
|
|
_ |
|
||||
С учетом равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( , |
,..., ) = ( , |
,..., |
) |
|
|
|
|
0, 1 |
|
|||||
получим (0) = (1), т.е. ( ) - константа, ( ) - другая константа. ■ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
На рис. 2.3 представлено условное обозначение алгоритма, использо- |
Рис. 2.3. |
|
|||||||||||||
ванного в доказательстве леммы о несамодвойственной функции. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Лемма о немонотонной функции. Пусть ( |
|
, ,..., ) - немонотонная функция. |
|||||||||||||
Тогда формулой над множеством { ,0,1} можно задать отрицание. |
|
|
|
||||||||||||
Доказательство. Пусть . Тогда существуют |
такие наборы ( , |
,..., ) |
и |
||||||||||||
( , ,..., ) |
значений |
|
переменных, |
что |
|
( , |
,..., |
) ̱( , ,..., ), |
а |
||||||
( , ,..., |
) > ( , ,..., ), и, |
значит, ( , |
,..., |
) = 1, ( , ,..., |
) = 0. |
|
|||||||||
Поскольку ( , |
,..., ) ≠ ( , ,..., ), то можно выделить подпоследователь- |
||||||||||||||
ность индексов 1 ≤ |
< |
<...< ≤ такую, что |
= , |
= , ..., |
= |
и |
|||||||||
для всякого ≠ , ,..., |
|
≠ (и, значит, |
= 0, |
= 1). |
|
|
|
|
Рассмотримфункцию ( ),заданнуюформулой,полученнойврезультатеподстановки в формулу ( , ,..., )вместо переменных , ,..., чисел , ,..., соответ-
ственно, а на остальные места - . Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что
|
|
( ) = ,..., , , ,..., , , ,..., ,..., , ,..., . |
|
||||
Так как |
= 0 при ≠ ,..., , имеем |
|
|
|
|
||
(0) = |
|
0,...,0, ,0,...,0, ,0,...,0,..., |
,0,...,0 = ( , |
,..., |
) = 1. |
||
Так как |
= 1 при ≠ ,..., и |
= |
, …, |
= , имеем |
|
|
|
(1) = |
1,...,1, ,1,...,1, ,1,...,1,..., |
,1,...,1 = ( , |
,..., |
) = 0. |
|||
Равенства (0) = 1 и (1) = 0 означают, что ( ) = . ■ |
|
|
|||||
0,1, f C M |
На рис. 2.4 представлено условное обозначение алгоритма, исполь- |
||||||
_ |
|
зованного при доказательстве леммы о немонотонной функции. |
|||||
M |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4. |
|
|
|
|
|
|
|
Лемма о нелинейной функции. Пусть |
. Тогда формулой над множеством |
{ ,0,1, } можно задать конъюнкцию.
Доказательство. Пусть . Тогда в каноническом полиноме Жегалкина данной функции найдется членсотличнымотнуля коэффициентом,содержащий произведениепеременных. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что этот член содержит. Следовательно, полином Жегалкина функции можно преобразовать к виду
|
= |
∙ ( , ,…, ) ∙ ( |
, ,…, ) |
||
|
|
∙ ( , ,…, |
) ( |
, |
,…, ), |
где функция |
такова, что найдется набор ( , ,..., |
) значений переменных такой, что |
|||
( , ,..., |
) ≠ 0. |
|
|
|
|
Рассмотрим функцию ( , ) = ( , |
, , ,..., ), или |
5
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» |
|
|
Олейник Т.А., 2020 |
|||||||
|
( , |
) = |
∙ ( , ,…, ) ∙ ( , ,…, ) |
|||||||
|
∙ ( |
, ,…, |
) ( , ,…, |
) = |
, |
|||||
где = ( |
, |
,..., |
), = ( , |
,..., ), = ( , |
,..., ). |
|||||
Теперь рассмотрим функцию ( , |
), получаемую из функции ( , ) следующим |
|||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , |
) = ( |
, ) . |
||||
Преобразуем формулу, реализующую функцию ( , ): |
||||||||||
( , ) = ( |
) ∙( |
) ( ) ( |
) = |
|||||||
= |
|
|
= |
|||||||
Подытоживая проделанное, можем записать |
|
|
|
|||||||
|
|
|
= ( |
, |
, , ,…, ) |
|||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
если = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
если = 1, = |
|
|
|
|
|
|
, |
если = 0; |
|
|||
|
|
|
|
, |
если = 1. |
|
||||
|
|
= |
|
если |
|
|||||
0,1, x , f |
C L |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно утверждать, что конъюнкция реализо- |
|||||||||
|
|
|
||||||||
_ |
|
|
, если = 1; |
|
|
|
|
|
||
|
вана формулой=над,множеством { ,0,1,}.■ |
|||||||||
L |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 2.5 представлено условное обозначение алгоритма, использо- |
|||||||
xy |
|
ванного при доказательстве леммы о нелинейной функции. |
Рис. 2.5. |
Теорема 2.13 (критерий полноты Поста). Для того чтобы система |
|
функций = { ,..., } была полна, необходимо и достаточно, чтобы |
||
|
для каждого из классов Поста в нашлась функция , ему не принадлежащая.
Доказательство. Необходимость. Пусть система полна. Надо доказать, что для каждого из классов Поста найдется функция , ему не принадлежащая.
Рассуждаемот противного: предположим, чтонайдется классПоста (обозначим его ),
в котором содержатся все функции из . Тогда |
|
|
( ) ([ ] [ ]) |
|
( ). |
|
т.к. полна, |
|
|
а замкнут |
|
Следовательно, ( ) ( ). т.е. = . Но этого не может быть, поскольку есть булевы функции, не принадлежащие ни одному из классов Поста (например, штрих Шеффера). Получили противоречие, следовательно, наше предположение было неверным.
Достаточность. Пусть найдутся функции , , , , из такие, что ,, , , . Покажем, что отрицаниеи конъюнкцию можно реализоватьформулами над множеством , , , , . Схема построения соответствующих формул представлена на рис. 2.6.
6
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» |
|
|
Олейник Т.А., 2020 |
||
|
|
|
f0C T0 |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
f1 |
T1 |
1 |
x |
|
f1C T1 |
|
T1 |
fL |
L |
T1 |
|
|
|
|
|
||
fM M |
0,1 |
0,1, x |
0,1, x |
x |
fSC S |
|
M |
|
|
|
S |
|
0,1, x |
L |
|
0,1, x |
|
xy, x
Рис. 2.6.
Таким образом, конъюнкцию и отрицание можно задать формулой над . Имеем: система { , } полная, и каждая ее функция может быть выражена формулой над . Следовательно, условия теоремы о полноте двух систем выполнены и, значит, - полная система.■
Задачи повышенной сложности
2.34.Используя теорему о полноте двух систем, доказать, что { ↓ } полная система.
2.35.Опираясь на доказательство леммы о функции, не сохраняющей 0, реализовать формулой над множеством = (10010000) либо 1, либо отрицание.
2.36.Опираясь на доказательство леммы о функции, не сохраняющей 1, реализовать формулой над множеством = (00010000) либо 0, либо отрицание.
2.37.Опираясь на доказательство леммы о несамодвойственной функции, реализовать формулой над множеством {(01101011), } константы 0 и 1.
2.38.Опираясь на доказательство леммы о немонотонной функции, реализовать формулой над множеством {(01101011),0,1} отрицание.
2.39.Опираясьнадоказательстволеммыонелинейнойфункции,реализоватьформулой над множеством {(11100100), 0, 1} конъюнкцию.
2.40.Доказать, что из любой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более пяти функций.
2.41.Доказать, что всякий замкнутый класс функций, не совпадающий с , содержится, по крайней мере, в одном из классов Поста.
2.42.Назовем систему булевых функций предполным классом, если эта система неполна и добавление к ней любой функции, ей не принадлежащей, приводит к образованию полной системы. Доказать, что:
а) классы Поста являются предполными; б) других предполных классов, кроме классов Поста, нет.
2.43.Доказать, что во всяком базисе содержится не более четырех функций.
Ответы и указания к упражнениям
7
Тема 7 «Полнота системы булевых функций» Олейник Т.А., 2020
2.30. а) Полная; б) Неполная. Решение. а) Последовательно заполняем столбцы таблицы Поста данной системы (табл. 3). Поскольку для каждого из классов Поста можно указать функцию системы, ему не принадлежащую, то заключаем, что система полная.
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
Классы Поста |
|
||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
– |
+ |
– |
– |
– |
( )| |
|
– |
|
|
|
б) Последовательно заполняем столбцы таблицы Поста данной системы (табл. 4). Посколькувсефункциисистемылежатвклассемонотонныхфункций,заключаем,чтосистема
неполная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
Классы Поста |
|
||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
– |
– |
+ |
|
1 |
– |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
2.31. а) Имеем один базис: { 1, , }. Указание. Проанализируйте таблицу Поста
данной системы (табл. 5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
Функции |
|
|
Классы функций |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
|
1 |
– |
+ |
– |
+ |
+ |
|
|
+ |
+ |
– |
+ |
– |
|
|
+ |
– |
– |
– |
+ |
б) Имеем два базиса: {|} и { ↓ } . Указание. Проанализируйте таблицу Поста данной системы (табл. 6).
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
|
|
|
Классы функций |
|
||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
– |
– |
– |
– |
– |
|
↓ |
– |
– |
– |
– |
– |
8