792

Аналитический способ

Перейдем к аналитическому способу задания ДУ от задания дискретного устройства без памяти (комбинационного автомата) с помощью таблицы состояний.

Таблица состояний строится для задания однозначного соответствия между комбинациями (наборами) входных сигналов и комбинациями (наборами) выходных сигналов ДУ без памяти. Сущность описания ДУ без памяти (комбинационного автомата) с помощью таблицы состояний состоит в следующем.

Если имеется n входных сигналов, каждый из которых может принимать одно из двух значений – 0 или 1, то число возможных комбинаций (наборов) входных сигналов N может быть определено по формуле N = 2n.

Таблица, имеющая N строк и n + m столбцов, в которой для каждой строки указаны наборы значений входных сигналов и наборы значений выходных сигналов, полностью описывает функционирование комбинационного автомата. Рассмотрим пример таблицы состояний (Таблица 1.3). Каждому входному сигналу a, b, c присваивается определенный разряд двоичного счисления: 20, 21, 22 и т.д. (эти цифры указываются в таблице над символами входных сигналов), т.е. устанавливается база.

31

Порядок присвоения разрядов – справа налево (правый разряд – самый младший): c → 20 = 1; b → 21 = 2; a → 22 = 4. Эти двоичные разряды называются весами входных сигналов. Тогда каждая строка таблицы состояний (каждая комбинация значений входных сигналов) характеризуется некоторым десятичным числом, называемым весовым состоянием (ВС), представляющим собой сумму весов входных сигналов, значение которых в данном наборе равно 1.

Весовые состояния проставляются в специальном правом столбце таблицы.

Если выписать из таблицы все рабочие комбинации входных сигналов, то получим аналитическую форму задания ДУ. Записывается это следующим образом (таблица 1.3):

z abc ab c abc.

1.1.5 Основные операции алгебры логики

Математическим аппаратом теории ДУ является алгебра логики. Любая алгебра вводится основными операциями и законами (аксиомами).

32

Основными операциями алгебры логики являются:

-логическое сложение (дизъюнкция);

-логическое умножение (конъюнкция);

-логическое отрицание (инверсия).

Логическое сложение (дизъюнкция) обозначается символом («+», ИЛИ). Логическая сумма обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом ИЛИ. Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из слагаемых равно 1.

Логическое умножение (конъюнкция) обозначается символом («·», &, И). Логическое произведение обозначает сложное суждение, состоящее из простых суждений, объединяемых союзом И. Логическое произведение равно 1, если все сомножители равны 1.

Логическое отрицание (инверсия) обозначается символом «–». Логическое отрицание представляет собой суждение,

Сущность минимизации, заданной в СДНФ, заключается в том, что получают ДНФ заданной функции путем группировки соседних, отличающихся друг от друга значением только одной переменной членов (конституент) СДНФ и исключением одной переменной по соотношению x x 1 (по закону склеивания).

Описанная операция носит название склеивания. После нее производят упрощения по закону повторения. Этот процесс попарного склеивания повторяют до тех пор, пока в полученном выражении не останется конъюнкций, отличающихся значением одной переменной. Получают минимизированную логическую функцию, например:

f abcd abcd abcd abcd abc d d abc d d abc abc ab c c ab.

33

переменных, уже не является импликантой данной функции. Конъюнкция g2 = ab представляет собой простую

импликанту для функции f, так как g2 = 1 на наборах 1100, 1101, 1110, 1111 и f = 1 на тех же наборах и, кроме того, ни

так как полученная из нее функция g2 = ab сама является импликантой.

Видно, что импликанты логической функции получаются при выполнении операции склеивания некоторого множества конституент, а простые импликанты – в результате многократного повторения операции склеивания, когда оставшиеся члены ДНФ больше не являются соседними и дальнейшему склеиванию не поддаются.

Импликанта, полученная в результате склеивания некоторого множества конституент, покрывает эти конституенты.

все четыре конституенты исходной функции. Легко доказать, что дизъюнкция всех импликант логической функции совпадает с самой функцией, т.е. равносильна ей.

Дизъюнкция всех простых импликант логической функции называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой этой функции (СкДНФ). Пусть задана логическая

Определим все простые импликанты для этой функции путем попарного сравнения и склеивания каждой конституенты со всеми последующими. Получим простые

35

импликанты функции f(x):

Так как СкДНФ функции есть дизъюнкция всех простых импликант, то представление любой логической функции в СкДНФ является единственным.

Очевидно, что СкДНФ содержит меньшее число переменных, чем СДНФ, но она отнюдь не является минимальной и в большинстве случаев допускает дальнейшее упрощение за счет того, что некоторые из простых импликант могут поглощаться дизъюнкциями других простых импликант (по закону обобщенного склеивания).

дважды, что, очевидно, является избыточным.

Система (совокупность) импликант называется полной, если каждая конституента (единичное значение) исходной функции покрывается хотя бы одной импликантой системы.

В нашем примере система, состоящая из трех импликант

функции. Очевидно, что система, состоящая из двух

системы, исключение же любой другой импликанты нарушит полноту системы.

Система простых импликант логической функции называется приведенной, если она полна и исключение из нее хотя бы одной импликанты нарушает эту полноту.

денную систему импликант функции, называется ее тупиковой дизъюнктивной нормальной формой (ТДНФ).

Для нашего примера ТДНФ имеет вид:

В общем случае, логическая функция может иметь несколько тупиковых ДНФ.

Тупиковая ДНФ логической функции, содержащая наименьшее число букв (символов переменных), называется минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ).

Отметим, что полученная в примере единственная ТДНФ, очевидно, является и МДНФ.

Минимальная ДНФ функции, найденная путем построения и перебора всех тупиковых ДНФ и выбора из них самой минимальной, называется общей (абсолютной) минимальной ДНФ.

При решении практических задач часто затруднительно отыскать все тупиковые ДНФ логической функции. Поэтому, чтобы сократить объем работы, ограничиваются нахождением одной или нескольких ТДНФ, из которых выбирают минимальную. Такие минимальные ДНФ называются частными дизъюнктивными нормальными формами.

Получив частную минимальную ДНФ (одну из ТДНФ), считают ее близкой к общей МДНФ, что, вообще говоря, не всегда является верным.

37

Особенно большое отличие по количеству букв частных МДНФ (ТДНФ) от общей МДНФ наблюдается при решении задач синтеза ДУ по не полностью определенным логическим функциям, которые в процессе минимизации доопределяются за счет условных наборов переменных. Поэтому следует выбирать такой способ доопределения, который ведет к получению наиболее близкой к минимальной ТДНФ.

Следовательно, задача минимизации логических функций подразделяется на два этапа.

На первом этапе находятся все простые импликанты заданной логической функции, т.е. строится сокращенная дизъюнктивная нормальная форма.

На втором этапе определяются все приведенные системы простых импликант, строятся тупиковые ДНФ, из числа которых отбираются минимальные ДНФ логической функции.

Практическая работа 1.1 Автоматизированные системы управления

Целью работы является изучение основных терминов и задач автоматизированных систем управления.

Изучаемые вопросы:

38

что значительно уменьшает безопасность функционирования объекта. Современное состояние теории и практики идентификации характеризуется интенсивной разработкой статистических методов, ориентированных на применение ЭВМ. К этим методам относится и метод минимума статистической неопределенности, рассматриваемый в практической работе. Он является непараметрическим временным методом идентификации динамического объекта. Из других методов идентификации следует отметить методы параметрического оценивания, методы рекуррентного оценивания, непараметрические частотные методы.

Рассмотрим одномерный динамический объект в условиях нормального функционирования. Функция x(t), описывающая воздействие на объект, и функция y(t), описывающая реакцию объекта на это воздействие, определены на некотором множестве моментов времени Т, зависящем от характера эксперимента. В общем случае x(t) и y(t) являются реализациями случайных процессов на входе и выходе объекта. Будем называть функции x(t) и y(t) входными и выходными сигналами объекта. Тогда задачу статистической идентификации можно сформулировать следующим образом.

В процессе нормального функционирования одномерного объекта синхронно (непрерывно или дискретно) измеряется входной x(t) и выходной y(t) сигналы. По результатам измерения необходимо определить хотя бы приближенное значение оператора, ставящего в однозначное соответствие выходной и входной сигналы, т.е. нужно получить математическую модель объекта.

Если моделью объекта (системы) является зависящий от времени оператор A(t) такой, что

y(t) A(t) x(t),

то задачей статистической идентификации будет определение

39