554
.pdf( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
[ ( |
) |
|
|
( |
)]. |
|
|
|
Выпишем результат: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
[ |
( |
) |
( |
)]. |
|
|
|
Таким образом, частным двух комплексных чисел является комплексное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя; аргумент равен разности аргументов делимого и делителя. Кратко говоря, при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делят, а аргументы вычитают.
Пример 1.11. Найти частное двух комплексных чисел
и√ в тригонометрической форме.
Решение. Представим каждое число в тригонометрической форме. Для этого найдѐм их модуль и аргумент.
Найдѐм модуль первого числа |
|
: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| √ |
√ |
( ) |
√ . |
||||
Первому числу |
в координатной плоскости соответствует |
|||||||
точка ( |
) (рис. 1.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
x |
Рис. 1.16. Геометрическое представление комплексного числа |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка |
лежит в IV |
|||||||||||||||||||||||
четверти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
: |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда тригонометрическая форма первого числа |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√ ( |
( |
|
) |
|
( |
|
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдѐм модуль второго числа |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√( √ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| | √ |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ . |
|
|
|
21
Второму числу |
|
|
√ |
|
в координатной плоскости соответ- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
ствует точка |
( √ |
) (рис. 1.17). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
Рис. 1.17. Геометрическое представление комплексного числа √
Найдѐм аргумент второго числа, учитывая, что точка |
лежит в III |
четверти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Тогда тригонометрическая форма второго числа |
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
( |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Найдѐм частное чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
( |
|
( |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)) |
|
( |
|
|
( |
|
))) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. В результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел снова получается комплексное число. Если правила действия над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.
Замечание 2. Если в выражениях суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел заменить каждое комплексное число сопряжѐнным, то и результаты указанных действий заменяются сопряжѐнными числами.
22
1.4.5. Возведение комплексного числа в целую положительную степень
Для получения формулы возведения комплексного числа в целую положительную степень рассмотрим частные случаи, используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
|
|
( |
( |
|
))( |
( |
)) |
( |
( |
) |
|
( |
)) |
( |
); |
|
|
( |
( |
|
|
))( ( |
)) |
( |
( |
) |
( |
)) |
( |
). |
|
Применяя формулу произведения комплексных чисел раз, получа- |
|||||||
ем следующую формулу: |
|
|
|
|
|||
|
( |
( |
|
)) |
( |
|
). |
Эта формула называется формулой Муавра.
Таким образом, при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример 1.12. Выполнить возведение комплексного числа в степень
по формуле Муавра: ( √ |
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Представим число |
√ |
|
в тригонометрической |
|||||||||||||||||
форме. Для этого найдѐм его модуль и аргумент. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдѐм модуль числа |
|
√ |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
| | |
|
|
|
|
|
|
√( √ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Числу |
|
√ |
в координатной плоскости соответствует точка |
||||||||||||||||||
( √ |
|
) (рис. 1.18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
|
|
√ |
|
|
|
O |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 1.18. Геометрическое представление комплексного числа |
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка |
|
|
лежит |
||||||||||||||
во II четверти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда тригонометрическая форма числа |
√ |
|
: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ( |
|
|
|
). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Выполним возведение в степень по формуле Муавра:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( √ |
|
|
|
|
) ( √ ) ( |
( |
|
|
) |
( |
|
)) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
( |
|
|
|
√ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
|
√ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4.6. Извлечение корня из комплексного числа
Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу, то есть
если √ |
|
|
, то |
, где и |
– комплексные числа. |
|||||
Пусть |
|
( |
|
|
), |
( |
). Тогда: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
√ |
( |
) |
|
( |
) |
||||
|
|
|
|
|
. |
Возводя в степень n по формуле Муавра, получаем:
( |
|
|
|
) |
|
( |
). |
Учитывая, что у равных комплексных чисел модули равны, а аргу- |
|||||||
менты могут отличаться на число, кратное |
, получаем следующие урав- |
||||||
нения для определения |
и |
: |
|
||||
, |
|
|
|
|
. |
|
|
Отсюда получаем формулы для нахождения и : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ , |
|
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
где √ – арифметическое значение корня из положительного числа.
Придавая значения |
, получим различных значе- |
ний корня. Для других значений |
аргументы будут отличаться от полу- |
ченных на число, кратное , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Окончательно, получаем следующую формулу для извлечения корня из комплексного числа:
√ √ ( ) √ ( ),
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.
Пример 1.13. Найти все значения корня из комплексных чисел:
|
|
|
2) √ |
|
|
|
|
|
1) √ ; |
√ . |
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||
1) Для извлечения корня из комплексного числа |
представим |
его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.
Найдѐм модуль числа |
: |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
√ |
|
|
√( |
) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Числу |
|
|
|
|
в координатной |
|
плоскости |
соответствует |
точка |
|||||||||||||||||||
( |
|
) (рис. 1.19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
Рис. 1.19. Геометрическое представление комплексного числа |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка |
лежит |
|||||||||||||||||||||||||||
на отрицательной части оси |
: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Тогда тригонометрическая форма числа |
|
|
|
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Выполним извлечение корня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
√ ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Распишем все значения корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
При |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
при |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
( |
|
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки: ( ) , ( ), лежащие на окружности радиуса 1 и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 1.20).
Рис. 1.20. Все значения √
2) Для извлечения корня из комплексного числа √ представим его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.
|
|
|
|
Найдѐм модуль числа |
√ : |
||
|
25 |
|
|
| | |
|
|
|
|
√( |
) |
|
|
|
|
√ |
|
( √ ) |
. |
|||||||
Числу |
|
|
√ |
|
в |
координатной |
плоскости соответствует |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точка ( |
√ ) (рис. 1.21). |
|
|
|
|
|
y
√
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рис. 1.21. Геометрическое представление комплексного числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка |
лежит |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
во II четверти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Тогда тригонометрическая форма числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Выполним извлечение корня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅̅. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Распишем все значения корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ ; |
||||||||||||||||
|
При |
: |
|
|
|
|
|
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
√ |
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
√ |
при |
: |
|
|
|
|
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
при |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) √ |
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)) √ |
|
|
( √ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
)) √ ( |
( |
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√√ ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
: |
|
|
√ ( |
|
|
|
|
|
|
) √ ( |
( |
|
|
|
) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ) |
|||
( |
|
)) √ ( |
( |
|
) |
26 |
( |
|
)) √ ( |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√√ .
Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ √ ) , |
( √ √ ), |
|
( √ |
|
√ ), |
(√ |
|
√ ), |
||||||||||||
лежащие на окружности радиуса √ |
|
и являющиеся вершинами квадрата |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
(рис. 1.22). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.22. Все значения √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 1) |
, |
|
|
|
|
; |
|
2) |
|
|
|
|
|
√ |
|
√ , |
√ |
√ , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ , |
|
√ |
|
|
|
√ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1.14. Решить уравнения на множестве комплексных чисел: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1) Найдѐм корни квадратного уравнения, учитывая, что √ |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
Выразим из уравнения : |
|
|
√ и найдѐм все значения корня. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для этого представим число |
|
|
|
|
|
|
в тригонометрической форме. Найдѐм |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
модуль и аргумент числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдѐм модуль числа |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
| | √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Числу |
|
в |
|
координатной |
|
|
плоскости соответствует |
точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) (рис. 1.23). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка |
лежит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на положительной части оси |
: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда тригонометрическая форма числа |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
O |
x |
Рис. 1.23. Геометрическое представление комплексного числа
( ) .
По формуле извлечения корня из комплексного числа, получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
̅̅̅̅̅. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Распишем все значения корня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
При |
: |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
|
|
: |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при |
: |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
при |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
( |
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)) |
( |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
)) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
( |
( |
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)) |
( |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
)) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
√ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
√ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: 1) |
|
|
; |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ , |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ . |
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Что такое ?
2.Как комплексное число представляют геометрически?
3.Назовите формы записи комплексного числа.
4.Что такое модуль комплексного числа и как его находят?
5.Что такое аргумент комплексного числа и как его находят?
6.Как выполняют сложение комплексных чисел?
7.Как выполняют вычитание комплексных чисел?
8.Как выполняют умножение комплексных чисел?
9.Как выполняют деление комплексных чисел?
10.Как выполняют возведение комплексного числа в степень?
11.Как извлекают корень из комплексного числа?
28
Раздел 2. Практикум
В данном разделе используется следующая нумерация примеров и заданий: a.b, где первая цифра "a"обозначает номер раздела, вторая цифра "b" обозначает номер примера (задания, рисунка). Например: 2.9 обозначает второй раздел, девятый пример (задание, рисунок).
Часть I. Первый уровень сложности
2.1. Действительная и мнимая части комплексного числа Пример 2.1. Указать действительную и мнимую части чисел:
1) |
|
; |
2) |
|
; |
3) |
; |
||
4) |
|
; |
5) |
; |
|
6) |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
; |
|
8) |
; |
|
9) |
√ ; |
10) |
|
|
|
|
; |
11) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
Решение. Все числа заданы в алгебраической форме |
|
|
, где |
||||||||||||||||
–действительная часть комплексного числа, |
– мнимая часть. Тогда: |
||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
; |
|||
3) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
4) |
|
|
; |
|||
5) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6) |
|
|
; |
|||
7) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
8) |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
√ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
10) |
|
|
; |
|||||
11) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2.1. Указать действительную и мнимую части чисел: |
|||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
|
|
; |
|
3) |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
|
|
|
|
; |
5) |
; |
|
|
|
|
|
6) |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
( |
|
; |
) ; |
8) |
|
|
; |
|
|
|
|
9) |
√ ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10) |
|
|
|
11) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Степень числа i |
|
|
|
|
||||||||
Пример 2.2. Найти степень числа . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
; |
|
|
|
2) ; |
3) |
; |
|
|
|
|
4) |
; |
5) |
; |
|
|
6).
Решение. Воспользуемся формулой |
. |
|||||||
1) |
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
; |
2) |
( |
) |
( |
) |
|
; |
|
|
3) |
|
|
( |
) |
|
( |
) |
; |
4) |
|
|
( |
) |
|
( |
) |
; |
5) |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
; |
6) |
( |
|
) |
( |
) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
Ответ: 1) – ; 2) –1; 3) |
; 4) |
; 5) |
; 6) 1. |
|
|
Задание 2.2. Найти степень числа |
: |
|
|||
1) ; |
2) ; |
3) |
; |
4) ; |
5) ; |
6).
2.3. Сопряжѐнное комплексное число Пример 2.3. Найти комплексные числа, сопряжѐнные данным чис-
лам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
; |
2) |
|
|
; |
|
3) |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
; |
5) |
|
|
√ . |
|
|
||||
Решение. Сопряжѐнное число отличается от исходного знаком мни- |
||||||||||||
мой части, то есть для комплексного числа |
|
|
|
|
|
сопряжѐнным явля- |
||||||
ется комплексное число ̅ |
|
. С учѐтом этого: |
|
|
||||||||
1) |
̅ |
; |
2) |
̅ |
; |
|
3) ̅ |
; |
||||
|
̅ |
|
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
; |
5) |
√ . |
|
|
|||||||
Задание 2.3. Найти числа, сопряжѐнные данным числам: |
|
|||||||||||
1) |
|
; |
2) |
|
|
; |
|
|
3) |
; |
||
4) |
|
; |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Геометрическое представление комплексного числа Пример 2.4. Изобразить комплексные числа в комплексной плоско-
сти:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
√ ; |
2) |
; |
3) |
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
4) |
; |
|
|
|
5) |
; |
6) |
; |
||
7) |
; |
|
|
|
8) |
. |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Числу |
√ в комплексной плоскости соответствует точ- |
|||||
ка ( |
√ |
|
) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.1). |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
√
Рис. 2.1. Геометрическое представление комплексного числа |
√ |
30