пр 5, Касяненко (екон)
.docНАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Кафедра економетрики
Практичне заняття 5
«Емпіричні методи кількісного аналізу на основі системи статистичних рівнянь»
Виконав студент 3 курсу 1 групи
Економічного факультету
Касяненко Максим Андрійович
Київ - 2023
Завдання. Оцінити параметри економетричної моделі, що характеризує залежність між тижневими витратами на харчування (y), загальними витратами (x1) та розміром сім'ї (x2) за формулою оператора 1МНК . Дослідити побудовану модель, а саме:
побудувати дисперсійно-коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі;
знайти множинний коефіцієнт кореляції та перевірити його на суттєвість за критерієм Стьюдента;
перевірити знайдені параметри на суттєвість за критерієм Стьюдента;
побудувати інтервали довіри для знайдених параметрів;
перевірити модель на адекватність за критерієм Фішера.
Вихідні дані в умовних одиницях наведені в таблиці 1.
Варіант – 9.
Розв'язання
Запишемо економетричну модель:
де – відповідно фактичні та розрахункові значення тижневих витрат на харчування за моделлю; x1 – загальні витрати; x2 – розмір сім'ї; и – залишки; – оцінка параметрів моделі.
Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд :
А = (Х'Х)-1Х'У,
Таблиця 1.
Вхідні та розрахункові дані
Д
(23)
(20)
(40)
(27)
(31)
(21)
(30)
(35)
(29)
(39)
(1; 31; 74)
(1; 27; 70)
(1; 45; 92)
(1; 30; 80)
Х= (1; 39; 75) Y=
(1; 30; 73)
(1; 37; 75)
(1; 42; 90)
(1; 34; 80)
(1; 40; 78)
X' – матриця, транспонована до матриці X.
Матриця X, крім двох векторів незалежних змінних, містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. Не дописуючи такого вектора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рівністю:
(3), де – середнє значення залежної змінної; , – середні значення незалежних змінних х1, і х2 .
Згідно з оператором оцінювання знайдемо
1 )(Х'Х) = 10 355 787
355 12925 28234
787 28234 62403
2 ) 14,921 0,107 -0,236
0,107 0,007 -0,005
-0,236 -0,005 0,005
3) 295
10828
23562 (4)
4) А' = -14,3
1,01
0,1 (5).
Отже, економетрична модель має вигляд:
ŷ = -14,3+1,01х1+0,1х2 (6).
Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:
â0 = -14,3; â1 = 1,01; â2 = 0,1, тобто
 = -14,3
1,01
0,1
Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна х, (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 1,01 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна х2 (розмір сім'ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,1 одиниць.
Для економетричної моделі обчислимо коваріаційну матрицю . Отже, маємо:
14,921 0,107 -0,236
0,107 0,007 -0,005
-0,236 -0,005 0,005
295
10828
23562
n = 10, m = 3
Обчислимо незміщену оцінку дисперсії залишків :
= 50,681/10-3 = 7,24.
Визначимо дисперсії оцінок :
var(â1) = 7,24*14,921 =108,03;
var(â2) = 7,24*0,007 =0,05;
var(â3) = 7,24*0,005 =0,04.
Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:
͡σа1а2 = 7,24*0,107 = 0,775;
͡σа1а3 = 7,24*(-0,236) = -1,71;
͡σа2а2 = 7,24*(-0,005) = -0,04.
Знак «мінус» перед оцінками коваріацій указує на те, що збільшення однієї оцінки параметрів приводить до зменшення в середньому іншої і навпаки.
Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю
var (Â) = 108,03 0,775 -1,71
0,775 0,05 -0,04
-1,71 -0,04 0,04 (10)
Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:
Sâ1 = √108,03 =10,39;
Sâ2 = √0,05 = 0,224;
Sâ3 = √0,04 = 0,2.
Порівняємо кожну стандартну помилку з відповідним числовим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення (11) :
*100 = 10,39/-14,3*100 = -0,007;
*100 = 0,224/1,01*100 = 0,002;
*100 = 0,2/0,1*100 = 0,02.
Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно -0,007%, 0,002% і 0,02%, а це свідчить про низьку зміщеність оцінок.
Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі
ŷ = -14,3+1,01х1+0,1х2,
побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1.
t1 = -14,3/10,39 = -1,38;
t2 = 1,01 /0,224 = 4,51;
t3 = 0,1/0,2 = 0,5.
Якщо ступінь свободи n – m = 10 – 3 = 7 і рівень значущості = 0,05, tтабл = 2,16. Оскільки t1факт < tтабл, t2факт > tтабл, t3факт < tтабл то оцінки параметрів , , характеризують неістотний зв’язок цих незалежних змінних ( , , ) із залежною.
Оцінка параметра може перебувати в таких межах:
;
-14,3-2,16*10,39 ≤ а1 ≤ -10,3+2,16*10,39;
-36,74 ≤ а1 ≤ 8,14;
;
1,01-2,16*0,224≤ а2 ≤ 1,01+2,16*0,224;
0,53≤ а2 ≤ 1,49;
;
0,1-2,16*0,2≤ а3 ≤ 0,1+2,16*0,2;
-0,332≤ а3 ≤ 0,532.