пр 5, Стешенко (екон) (1)
.docНАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Кафедра економетрики
Практичне заняття 5
«Емпіричні методи кількісного аналізу на основі системи статистичних рівнянь»
Виконала студентка 3 курсу 1 групи
Економічного факультету
Стешенко Тетяна Олександрівна
Київ - 2023
Завдання.
Оцінити
параметри економетричної моделі, що
характеризує
залежність між тижневими витратами на
харчування (y),
загальними
витратами (x1)
та розміром сім'ї (x2)
за формулою оператора 1МНК
.
Дослідити
побудовану модель, а саме:
побудувати дисперсійно-коваріаційну матрицю оцінок параметрів моделі;
знайти множинний коефіцієнт кореляції та перевірити його на суттєвість за критерієм Стьюдента;
перевірити знайдені параметри на суттєвість за критерієм Стьюдента;
побудувати інтервали довіри для знайдених параметрів;
перевірити модель на адекватність за критерієм Фішера.
Вихідні дані в умовних одиницях наведені в таблиці 1.
Варіант – 21.
Розв'язання
Запишемо економетричну модель:
де
–
відповідно фактичні та розрахункові
значення тижневих витрат
на харчування за моделлю; x1
–
загальні витрати; x2
–
розмір сім'ї; и
–
залишки;
–
оцінка параметрів моделі.
Оператор оцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд :
А = (Х'Х)-1Х'У,
Таблиця 1.
Вхідні та розрахункові дані
Д
(23)
(20)
(40)
(21)
(31)
(21)
(30)
(34)
(29)
(30)
(1; 33; 75)
(1; 30; 71)
(1; 45; 93)
(1; 30; 80)
Х= (1; 40; 76) Y=
(1; 30; 74)
(1; 37; 76)
(1; 42; 90)
(1; 33; 81)
(1; 40; 79)
X' – матриця, транспонована до матриці X.
Матриця X, крім двох векторів незалежних змінних, містить вектор одиниць. Він дописується в цій матриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член. Не дописуючи такого вектора одиниць, вільний член можна обчислити, скориставшись рівністю:
(3), де
–
середнє значення залежної змінної;
,
–
середні значення
незалежних змінних х1,
і
х2
.
Згідно з оператором оцінювання знайдемо
1
)(Х'Х)
=
10
360
795
360 13236 28875
795 28875 63645
2
)
15,129 0,076 -0,223
0,076 0,008 -0,004
-0,223 -0,004 0,005
3)
279
10354
22514 (4)
4) А' = -23,058
0,913
0,228 (5).
Отже, економетрична модель має вигляд:
ŷ = -23,068+0,913х1+0,228х2 (6).
Знайдені методом 1МНК оцінки параметрів такі:
â0 = -23,068; â1 = 0,913; â2 = 0,228, тобто
 = -23,058
0,913
0,228
Отже, коли за всіх однакових умов незалежна змінна х, (загальні витрати) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,913 одиниць. Якщо за інших незміннних умов незалежна змінна х2 (розмір сім'ї) збільшується (зменшується) на одиницю, то залежна змінна у (оцінка витрат на харчування) також збільшується (зменшується) на 0,228 одиниць.
Для
економетричної моделі обчислимо
коваріаційну матрицю
.
Отже,
маємо:
15,129 0,076 -0,223
0,076 0,008 -0,004
-0,223 -0,004 0,005
279
10354
22514
n = 10, m = 3
Обчислимо
незміщену оцінку дисперсії залишків
:
= 26,002/10-3 = 3,714.
Визначимо дисперсії оцінок
:
var(â1) = 3,714*15,129 =56,19;
var(â2) = 3,714*0,008 =0,03;
var(â3) = 3,714*0,005 =0,02.
Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:
͡σа1а2 = 3,714*0,076 = 0,282;
͡σа1а3 = 3,714*(-0,223) = -0,83;
͡σа2а2 = 3,714*(-0,004) = -0,015.
Знак
«мінус» перед оцінками коваріацій
указує
на те, що
збільшення
однієї оцінки параметрів приводить до
зменшення в середньому
іншої і навпаки.
Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю
var (Â) = 56,19 0,282 -0,83
0,282 0,03 -0,015
-0,83 -0,015 0,02 (10)
Запишемо стандартні помилки оцінок параметрів моделі:
Sâ1 = √56,19 =7,496;
Sâ2 = √0,03 = 0,173;
Sâ3 = √0,02 = 0,141.
Порівняємо
кожну стандартну помилку
з
відповідним числовим
значенням оцінки параметра, тобто
знайдемо відношення
(11) :
*100 = 7,496/-23,068*100 = -32,49;
*100 = 0,173/0,913*100 = 18,95;
*100 = 0,141/0,228*100 = 61,84.
Отже, стандартні помилки оцінок параметрів щодо рівня оцінок параметрів становлять відповідно -32%, 19 % і 62 %, а це свідчить про зміщеність оцінок.
Перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі
ŷ = -23,068+0,913х1+0,228х2,
побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1.
t1 = -23,068/7,496 = -3,08;
t2 = 0,913/0,173 = 5,28;
t3 = 0,228/0,141 = 1,62.
Якщо ступінь
свободи n – m = 10 – 3 = 7
і рівень значущості
= 0,05, tтабл
= 2,16. Оскільки t1факт
< tтабл,
t2факт > tтабл,
t3факт < tтабл
то оцінки параметрів
,
,
характеризують неістотний зв’язок цих
незалежних змінних (
,
,
)
із залежною.
Оцінка параметра може перебувати в таких межах:
;
-23,068-2,16*7,496 ≤ а1 ≤ -23,068+2,16*7,496;
-39,26 ≤ а1 ≤ -6,88;
;
0,913-2,16*0,173≤ а2 ≤ 0,913+2,16*0,173;
0,54≤ а2 ≤ 1,29;
;
0,228-2,16*0,141≤ а3 ≤ 0,228+2,16*0,141;
-0,08≤ а3 ≤ 0,53.