ЛР № 4

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение характеристик вращательного движения твердого тела. Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тела.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z:

В формуле (1) М_z  момент внешних сил, действующих на тело относительно оси z; I_z  момент инерции тела относительно оси z;    угловое ускорение.

Момент инерции тела I_z относительно оси z является мерой инертности тела при его вращении относительно этой оси и определяется формулой:

где m_i  масса материальной точки, удаленной на расстояние R_i от оси z.

Из формулы (2) видно, что момент инерции тела относительно оси равен сумме моментов инерции

отдельных материальных точек тела. Если массу m_i каждого малого объема V_i выразить через плотность тела  и объема V_i, то из формулы (2) следует

Предел суммы (3) при стремлении объема V_i к нулю  это интеграл по объему тела V:

С помощью формулы (4) можно вычислять моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс этих тел.

Например, момент инерции однородного прямого круглого цилиндра массой m и радиусом основания Rотносительно оси z, проходящей через центр масс С этого цилиндра параллельно его боковой поверхности, как известно, равен

Для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси z применяется теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции I_сотносительно оси z, параллельной данной оси z и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

Момент инерции тела сложной формы проще определить экспериментально. Из уравнения (1) получим:

Момент инерции тела I_z можно найти по формуле (7), если экспериментально оценить момент сил M_z и угловое ускорение .

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема маятника Обербека

Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На втулке закреплены два шкива 1 с разными диаметрами D и d. Втулка со спицами и шкивами может свободно вращаться относительно горизонтальной оси. Вдоль каждой спицы 2 можно перемещать грузик 3, закрепляя его на расстоянии R от оси вращения. Маятник Обербека крепится к вертикальной стойке 4. Если на шкив 1 намотать нить 5, к ее концу присоединить груз 6 массой m и перекинуть нить через неподвижный блок 7, то, нажимая кнопку «ПУСК», можно измерить время ускоренного движения груза 6 на расстоянии h с помощью секундомера.

Так как начальная скорость груза равна нулю, то

где t  время движения груза. Тогда ускорение груза, направленное вниз, равно

На груз действует его сила тяжести

и сила натяжения нити F. Если на вертикальной оси координат положительное направление выбрать вниз, то проекция второго закона Ньютона

на эту ось имеет вид

Отсюда сила натяжения нити равна

Момент силы натяжения, действующий на маятник Обербека, относительно горизонтальной оси zсоответственно равен

где r  радиус шкива. Тогда

Под действием момента силы маятник вращается с угловым ускорением . Если нить, навитая на шкив, не проскальзывает, то ускорение нити, равное ускорению груза, равно тангенциальному ускорению точек обода шкива

Отсюда

Подставляя формулы (9) и (10) в формулу (7), найдем общий момент инерции маятника Обербека относительно горизонтальной оси z, проходящей через центр масс маятника

Подставляя формулу (8) в формулу (11) и учитывая, что r=D/2, получим формулу для определения момента инерции маятника Обербека относительно оси вращения

Если момент инерции крестовины со шкивами относительно оси вращения обозначить I_кр, то общий момент инерции маятника относительно этой оси равен

Момент инерции I_Г одного цилиндрического грузика относительно оси вращения находим с помощью теоремы Штейнера (6):

где I_гр – момент инерции грузика относительно оси, проходящей через его центр масс, а R – расстояние от центра масс каждого грузика до оси вращения. Подставляя формулу (14) в формулу (13), получим момент инерции маятника относительно оси вращения в виде

где

Согласно формуле (15), меняя расстояние R от центров грузиков до оси вращения, изменяем общий момент инерции I маятника Обербека.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Масса m падающего груза равна m=155 г и диаметры шкивов D=8 см и d=4 см. Высота h падающего груза во всех опытах равна 20 см. Эти данные используются в расчётах. Погрешности определения диаметров D и d и высоты h равны половине цены деления штангенциркуля, а цена деления использованного штангенциркуля равна =0.05 мм. Этими погрешностями в сравнении с самими величинами D, d и h можно пренебречь. Погрешность весов при взвешивании массы m груза равнялась половине цены их деления и составляла m=0.1 г.

2. Мышкой, взяв за один из грузов, поместите на спицы маятника грузы с массами m₁ на одинаковом расстоянии R₁ от центра шкива.

3. Измерьте R₁ и запишите в таблицу 1 для D=8 см.

4. Измерьте время падения t_1D груза m с высоты h, нажимая кнопку «ПУСК». После измерения нажмите кнопку «СБРОС». Повторите эти измерения пять раз. Результаты запишите в таблицу 1 для D=8 см.

5. Повторите измерения п. 4 для шкива меньшего диаметра d, определяя время t_1d. Повторите, как и ранее, эти измерения пять раз. Запишите результаты в таблицу 2 для шкива d=4 см.

6. Повторите измерения п.п. 35 ещё для трёх других расстояний R₂, R₃ и R₄  грузов m₁ до оси вращения. Каждое измерение времени повторяется 5 раз. Результаты измерений запишите в таблицы 1 и 2.

7. Переходим к расчётам. Для каждого расстояния R и каждого диаметра шкива D и d найдите средние значения времени падения <t> груза, а также полуширину доверительного интервала t. Для расчётов используйте известные формулы расчёта среднеквадратичной погрешности и необходимый для пяти измерений и рекомендуемой доверительной вероятности, равной 0.9, коэффициент Стьюдента, равный t=2.13, приведённый в таблице коэффициентов Стьюдента.

6. По формуле (12) вычислите момент инерции I маятника Обербека в каждом случае, заполняя таблицы расчётов для обоих значений диаметров шкивов D и d.

Заметим, что в формуле (12) при проведении вычислений в качестве диаметра шкива D один раз подставляется значение D=8 см, а в другой раз, естественно, значение диаметра шкива d=4 см.

7. Полуширину доверительного интервала I момента инерции маятника определите с помощью формулы:

8. Для каждого диаметра шкива D и d постройте графики зависимости

10. В соответствии с (8) и (10) вычислите угловое ускорение по формуле (17)

Вычисления проведите для различных R (всего было выбрано 4 различных значения R) и постройте графики зависимостей

для каждого из имеющихся диаметров шкивов D и d.

11. Пренебрегая погрешностями измерения D и h, оцените полуширину  доверительного интервала определения углового ускорения и относительную погрешность с помощью формулы

12. Для одного расстояния R₁ по формулам (8), (10) и (17) оцените, как меняется угловое ускорение при изменении момента силы, вызванном изменением радиуса r шкива. В данной работе были выполнены измерения для двух значений диаметра шкивов D и d. Взяв соответствующие данные по угловым ускорениям из таблиц для одного значения расстояния R₁, можно сравнить значения угловых ускорений для двух различных значений радиусов шкивов, определяющихся  двумя их диаметрами D=8 см и d=4 см.

13. Составьте отчёт по лабораторной работе.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

На рис.2 представлена реальная лабораторная установка, используемая для выполнения данной работы.

ВИДЕО

Рис.2. Лабораторная установка " Маятник Обербека"

После ознакомления с принципом работы установки необходимо проделать работу на виртуальной лабораторной установке:

РЕКОМЕНДАЦИИ по оформлению отчета по лабораторным работам (физика)

1. Отчет оформляют в электронном виде в редакторе Word

2. Объем отчета составляет 2-3 страницы.

3. В отчете необходимо указать:

3.1 Фамилию, имя, отчество студента;

3.2 Номер группы;

3.3 Дисциплину;

3.4 Фамилию, имя, отчество преподавателя;

4. Рекомендуемая структура отчета:

          4.1 Название работы;

          4.2 Цель работы;

          4.3 Таблицы измерений и таблицы расчетов, сохраненные в виде отдельного файла.

          4.5 Формулы и законы, используемые для расчетов;

          4.6 Результаты расчетов, не вошедшие в таблицу расчётов;

          4.7 Выводы, которые можно сделать из работы.