3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Если функцияимеет вторую производную и() для всех, то график этой функции в этом интервалевыпуклый вниз или вогнутый (выпуклый вверхили простовыпуклый).

Если вторая производная меняет знак при переходе через точкуиили не существует, то точка графика с абсциссой–точка перегиба.

знакзнак

видвид

4. Асимптоты графика функции.

Прямая являетсявертикальной асимптотойграфика функции, если.

Прямая являетсянаклонной асимптотойграфика функции, если существуют два конечных предела

и.

В частности, если , то прямаяназываетсягоризонтальной асимптотойграфика функции.

Замечание. Наклонные асимптоты графика функции приимогут различаться, тогда они называются, соответственно,левойиправойнаклонной асимптотой.

Схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции;

2. Найти (если они есть) точки пересечения с осями координат;

3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида;

4. Исследовать периодичность функции;

5. Исследовать непрерывность функции; выявить и классифицировать точки разрыва;

6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции;

8. Найти асимптоты графика функции;

9. Построить график функции.

Пример решения типового задания

Задание №1

Дано комплексное число .

1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.

2. Вычислить .

Решение:

1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю. Получим:

Итак, алгебраическая форма комплексного числа, причем

И

Запишем в тригонометрическом виде, используя формулу (1):

Имеем: ,;

,

зобразимна комплексной плоскости:

0 1 х

у

.

В показательной форме: .

2. Вычислим , используя формулу (2):

Ответ: 1. ;

2.

Пример 2.

1. Решить уравнение .

2. Записать корни уравнения ив алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.

Решение:

1. Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле

, зная, что.

(Знак используется как квадратный корень из комплексного числа!)

Получим два комплексно сопряженных корня

.

2. Имеем алгебраическую форму и.

Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:

Изобразим и на комплексной плоскости:

y

Запишем числа ив тригонометрической и показательной форме.

Имеем: ,,

;

.

,;

;

.

Найдем и, используя тригонометрическую форму.

Ответ:

Задание № 2

Вычислить пределы.

Решение.

1.(разложим числитель и знаменатель на множители);

2. (разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень; в данном случае на)=

(т.к. функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая:);

3. (умножим числитель и знаменатель на)

=;

4. (применим правило Лопиталя (3)) .

Ответ: 1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Задание №3

Подобрать параметры итак, чтобы функция была непрерывна.

Решение.

Функция составлена из элементарных функций, каждая из которых непрерывна на указанных промежутках. Непрерывность может нарушаться только в точкахи.

Вычислим односторонние пределы функции в этих точках.

а) ;;

.

Условие непрерывности функции в точке записывается в виде.

б) ; ;.

Условие непрерывности функции в точке записывается в виде.

в) Получаем систему линейных уравнений:

.

Решение системы дает значения искомых параметров: .

Построим график полученной функции.

1

-10 0 5

Ответ:

Задание №4

Продифференцировать данные функции по переменной .

1. ; 2.;

3. .

Решение.

1.

.

Используем правило дифференцирования сложной функции: если , где функциииимеют производные, то. Полагаеми. Получаем:

.

Тогда

.

2. В этой задаче функция задана параметрически, т.е. уравнениями:

.

Производная находится по формуле:.

Проводим вычисления:

;

.

3. Функция задана неявно уравнением . Для определениянужно продифференцировать функциюпо, рассматривая при этомкак функцию переменной. Приравнивая полученную производную к нулю, получаем уравнение первой степени относительно. Из этого уравнения и находим производную.

,,

,,

.

Ответ:1.;

2. ;

3. .

Задание №5

Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

Решение.

1. Область определения функции: ;;

2. Точки пересечения с осями координат.

, так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью.

, т.е. график пересекает осьв точке (0;–1).

3. Четность–нечетность функции.

.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. – это функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Непрерывность.

Функция терпит разрыв в точке . Определим тип разрыва:

.

Односторонние пределы функции бесконечны, следовательно, – точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).

6. Интервалы монотонности, точки экстремума функции.

Найдем первую производную функции:

,.

Точки экстремума:

Максимум при , так как в этой точке производная меняет знак с (+) на (–), причем.

Минимум при , так как в этой точке производная меняет знак с (–) на (+), причем.

Функция возрастает при .

Функция убывает при

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

в ноль не обращается, значит, точек перегиба нет.

При направление выпуклости графика вверх (выпуклость), а при– вниз (вогнутость).

8. Асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции (см. пункт 3).

Найдем наклонные асимптоты:

Итак, график имеет наклонную асимптоту(правую и левую).

9. График функции.

-101 x

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1 / Н.С. Пискунов– М: Наука, 1985. – 456 с.

2. Конспект лекций по высшей математике, ч.1 / Дмитрий Письменный.– М: Айрис Пресс, 2005. – 279 c.

3. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко и др. –М: Высшая школа, 1999. – 532 c.

4. Сборник задач по математике для втузов, ч. 1 / А. В. Ефимов, Б. П. Демидович – М: Наука, 1993. – 623 с.