Справочный материал

1. Комплексные числа

Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида, гдеи– действительные числа, а– так называемая мнимая единица ().

Число называется действительной частью комплексного числа(), число- мнимой частью().

Два комплексных числа и, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называютсясопряженными.

Пусть даны два комплексных числа и, тогда они равны, если равны их действительные и мнимые части, т.е..

Действия над комплексными числами в алгебраической форме задаются формулами

1.

2.

В частности ;

3. .

Комплексное числоможно изобразить на плоскостив виде точкиили радиус-вектора.

Длина вектораназываетсямодулемкомплексного

числа и обозначаетсяили, а уголмежду векторомуМ

и положительным направлением осиназывается

аргументомэтого комплексного числа.О х х

Главным называется значение аргумента.

Очевидно, что(1)

Полученная запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль и аргумент комплексного числа определяются по формулам

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать впоказательной форме.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются по формулам:

1.

2.

3. (2)

4.

В частности .

2. Пределы

Для нахождения пределовфункции используются следующие теоремы. Если существуют пределыи, то

1. ;

2. ;

В частности, , где;

3. .

Аналогичные теоремы справедливы для пределов последовательностей.

Имеют место два замечательных предела:

1. ; 2..

Следствия:

1.; 2.; 3.; 4.

5. ; 6.; 7..

Для раскрытия неопределённостей вида ииспользуютправило Лопитал: Пусть функцииинепрерывны и дифференцируемы в окрестности точкии. Если существует предел, то(3)

3. Непрерывность функции в точке

Функция называетсянепрерывнойв точке, если

. (4)

Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке

и её окрестности и имеет предел при.

Равенство (4) эквивалентно равенству

, (5)

где - лево и правосторонние пределы функции в точке.

Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрывафункции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкойразрыва первого родафункции, если в этой точке существуют конечные пределы слева и справаи. При этом, если, то точканазывается точкойустранимого разрыва; а если, то точкойконечного разрыва.

Точка разрыва называется точкойразрыва второго родафункции, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.

4. Производная

Правила дифференцирования

Пусть , тогда

1. ;

2. ; в частности:,;

3. ;

4. если , где, тогда .

Таблица производных

1. ;

2. ;

3. ; в частности:;

4. ; в частности:;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ;

10. .

5. Исследование функции и построение её графика Основные свойства функций

1.Функция называетсявозрастающей (убывающей)на множестве, если для любых.

2. Функция называетсяпериодической, если существует числотакое, что. Числоназываетсяпериодомфункции.

3. Функция называетсячетной, если. График четной функциисимметричен относительно оси .Функцияназываетсянечетной, если. График нечетной функциисимметричен относительно начала координат.

Четная и нечетная функция должна иметь область определения симметричную относительно начала координат.

Исследование функции с помощью производной

1.Монотонность – возрастание или убывание функции.

Если функция дифференцируема на интервалеи() для всех, то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

2.Экстремумы – максимумы и минимумы функции.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точкииили не существует, а при переходе через точкупроизводная меняет знак с «–» на «+», то– точка минимума, а при смене знака с «+» на «–»– точка максимума.

знак–+ знак+–

поведениеminповедениеmax