2.4.Проверка качества генерирования псевдослучайных последовательно-

2.5.Моделирование временных рядов с заданным видом корреляционной

2.6.Анализ методических погрешностей генерирования ПСП с заданным

2.7.Экспериментальные исследования точностных характеристик про-

2.8.Проверка качества генерирования псевдослучайных последовательно-

2.9.Моделирование N ПСП с заданным видом корреляционных функций,

2.10.Генерирование 2-х ПСП с заданным видом корреляционной и взаим-

2.11.Генерирование ПСП с заданным видом корреляционной функции и

3.2.Метод аппроксимации корреляционных функций функциями заданно-

3.3.Аппроксимация корреляционных функций параметрическими моде-

3.3.1.Аппроксимация корреляционных функций функциями заданного вида

3.3.2.Аппроксимация корреляционных функций функциями заданного вида

3.3.3.Аппроксимация корреляционных функций функциями заданного вида

3

3.4.3.Аппроксимация плотностей распределения вероятностей параметри-

4.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУ169 ЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.3.Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функция-

4.5.Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функция-

4.7.Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функциям

4.8.Аппроксимативный корреляционный анализ неэквидистантных вре-

4.10.4.Оценка спектральной плотности мощности по параметрам ортого-

4.11.Оценка корреляционной функции по параметрам модели спектраль-

4.13.3.Оценка эквивалентной ширины спектра мощности случайного про-

4.15.Аппроксимация плотности распределения вероятностей ортогональ-

4.16.Аппроксимация плотностей распределения вероятностей ортогональ-

4.18.Ортогональные модели нестационарных случайных процессов по ма-

5.АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ АППРОКСИМАТИВНОГО АНАЛИ-

5.1.Принципы проектирования автоматизированных систем аппроксима-

5.2.Автоматизированная система корреляционно-спектрального анализа

5.3.Автоматизированная система взаимного корреляционно-

5.4.Автоматизированная система корреляционно-спектрального анализа в

5.5.Автоматизированная учебно-исследовательская система аппроксима-

4

5.6Автоматизированная система корреляционно-спектрального анализа в

5.7.Автоматизированная система структурного анализа случайных про-

5.8.Подсистема генерирования псевдослучайных последовательностей автоматизированной системы аппроксимативного анализа законов

5.9.Автоматизированная система для аппроксимативного анализа законов

5.10.Автоматизированная система аппроксимативного анализа законов распределения ортогональными полиномами и нейросетевыми функ-

5.11.Автоматизированная система аппроксимативного анализа законов

5.12.Автоматизированная система аппроксимативного анализа нестацио-

6.ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ НА БАЗЕ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ

6.3.Моделирование некоррелированных временных рядов приближенным

6.5.Моделирование неэквидистантных временных рядов с заданным ви-

6.6.Моделирование коррелированных временных рядов с заданными кор-

6.9.Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотно-

6.10.Аппроксимация взаимных корреляционных функций и спектральных

6.11.Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотностей

6.12.Аппроксимация взаимной корреляционной функции ортогональными 455

функциями

6.13.Аппроксимативный корреляционно-спектральный анализ эксперимен456 тальных данных

6.14.Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотностей мощности неэквидистантных временных рядов параметрически-

6.15.Аппроксимация корреляционных функций и спектральных плотностей мощности неэквидистантных временных рядов ортогональными

7.3.Определение максимальной длительности и интервала дискретизации

5

7.6.Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функция-

8.ПРИМЕНЕНИЕ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИ-

8.1.Анализ гидрологических параметров в открытой части Балтийского

8.6.Аппроксимация импульсных и частотных характеристик ортогональ-

8.7.Корреляционно-спектральный анализ котировок акций топливно-

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая Вашему вниманию монография подготовлена для преподавателей, научных сотрудников, инженеров, аспирантов и студентов как руководство по прикладному анализу случайных процессов и дополняет следующие монографии и методические пособия [108, 111, 112, 114 - 118].

Материалы, представленные в монографии, получены в результате выполнения научно-исследовательских работ на кафедрах «Информационно-измерительная техника», «Информационная техника» Самарского государственного технического университета (СГТУ), «Информационные системы и технологии» Самарского государственного аэрокосмического университета (СГАУ), Самарском филиале Российского НИИ информационных систем, естественно-математическом факультете Загребского университета и «Центре исследования моря» института «Руджер Бошкович» (г. Загреб, Хорватия), выполненных под руководством и при непосредственном участии Прохорова С.А.

Отдельные разделы монографии использовались при чтении лекций по ряду дисциплин при подготовке студентов по специальностям «Информационноизмерительная техника», «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в СГАУ, СГУ, СГТУ, ВолГУ, ОГУ, СарГТУ, УГАТУ также для научных сотрудников и аспирантов в «Центре исследования моря» института «Руджер Бошкович» (г. Загреб, Хорватия), на естественно-математическом факультете Загребского университета, международном университете подготовки аспирантов (г. Дубровник, Хорватия), Пекинском техническом университете (Китай).

Монография состоит из восьми разделов и приложений.

В первом разделе, посвященном математическому описанию сигналов, приводятся основные модели случайных процессов, потоков событий, временных рядов, в том числе неэквидистантных, и их основные характеристики, используемые как при моделировании, так и оценивании вероятностных характеристик исследуемых сигналов.

Во втором разделе рассматриваются особенности моделирования временных рядов, случайных потоков событий, неэквидистантных временных рядов.

Третий раздел посвящен аппроксимативному анализу функциональных вероятностных характеристик функциями заданного вида.

Вчетвертом разделе рассматриваются ортогональные модели вероятностных характеристик случайных процессов, проводится исследование разработанных алгоритмов аппроксимативного анализа.

Пятый раздел посвящен описанию автоматизированных систем, предназначенных для аппроксимативного анализа вероятностных характеристик случайных процессов.

Вшестом разделе описывается лабораторный практикум, целиком поставленный на разработанных автоматизированных системах. В нём учтены замечания преподавателей, аспирантов и студентов, отмеченные в ходе выполнения лабораторных работ предыдущего лабораторного практикума [5-8] на кафедре информационных систем и технологий СГАУ.

Вседьмом разделе описывается лабораторный практикум, поставленный с использованием математического пакета MATHCAD, в котором изучаются основные

7

свойства ортогональных моделей. Лабораторный практикум применялся при подготовке специалистов на кафедре информационных систем и технологий СГАУ и СГУ.

Ввосьмом разделе, в качестве примера, описано решение ряда прикладных задач с использованием разработанных автоматизированных систем.

Книга представляет коллективный труд.

Общий замысел книги и разработка её плана принадлежит С.А. Прохорову, написавшему большую часть книги (1-4, 6-7 разделы, подразделы 8.1, введение, заключение) на основе читанных на протяжении ряда лет курсов лекций.

Пятый и восьмой разделы написаны С.А. Прохоровым совместно с:

Графкиным А.В. – 5.4, 8.3, 8.4

Графкиным В.В. -5.7; Дегтяревой О.А. – 5.8, 5.11;

Иващенко А.В. – 5.1, 5.3, 8.2, 8.6;

Кудриной М.А. – 5.2; Куликовских И.М. – 5.6; Лезиным И.А., Лезиной И.В. – 5.10; Москаленко И.С. – 5.5; Сапожниковой Е.С. – 8,5, 8.7; Станкевичем А.И. – 5.12; Широковым О.Ю. – 5.13.

Вмоделировании алгоритмов, тестировании программного комплекса на разных этапах работы принимали участие студенты кафедры информационных систем и технологий, которым авторы выражают свою благодарность.

Особую благодарность авторы выражают своим учителям, всем сотрудникам, аспирантам и студентам кафедры информационных систем и технологий СГАУ за обсуждение материалов монографии, лабораторного практикума, критические замечания которых по мере возможности были учтены.

Авторы глубоко благодарны к.ф.-м.н., доценту Усольцеву Л.П. за внимание к работе и постоянное обсуждение её на всех этапах.

Авторы считают своим долгом выразить глубокую признательность ректору СГАУ член-корреспонденту РАН, д.т.н., профессору Сойферу В.А. за постоянную поддержку, рецензию и неоценимую помощь при издании монографии, а также рецензенту заведующему кафедрой прикладной математики д.ф.-м.н., профессору Жданову А.И. за ценные замечания.

Большую благодарность авторы выражают директору Западно-Казахстанского филиала ОАО «Национальный центр экспертизы и сертификации» (г. Уральск) Графкину В.Н. за дружескую поддержку и издание монографии в Казахстане.

Замечания и пожелания по книге просьба направлять по адресу:

Россия, 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва, факультет информатики, кафедра «Информационные системы и технологии», заведующему кафедрой Прохорову С.А.

8

ВВЕДЕНИЕ

На пути создания образцов новой техники, технологических процессов научные исследования являются первым шагом, в процессе которого исследователь открывает новые законы, закономерности, совершает научные открытия.

Научные исследования представляют собой сложный, итерационный процесс, представляющий сочетание теоретических, включая методы моделирования, и экспериментальных методов.

Не умаляя достоинств теоретических методов исследования, значение экспериментальных методов трудно переоценить. Только с помощью эксперимента возможно получение достоверной информации об исследуемом объекте в реальном масштабе времени, после обработки которой возможно построение её модели. Открыв новый эффект, новое явление экспериментальным путем, которые невозможно объяснить на базе существующих теорий, экспериментатор стимулирует развитие фундаментальной науки. В то же время, получив новый теоретический научный результат, исследователь, с целью подтверждения основных положений новой теории, нуждается в его экспериментальной проверке.

При проведении экспериментальных научных исследований исследователь: 1. ставит задачу исследований в терминах предметной области;

2. строит модель исследуемого объекта и определяет вектор информативных

параметров Ωr , адекватно описывающий ее в рамках поставленной задачи;

3. с помощью технических средств осуществляет измерение, регистрацию и обработку мгновенных значений наблюдаемых процессов Χ(Θ,t ), с целью определе-

ния вектора информативных параметров Θ , описывающих модель процесса; 4. по результатам обработки информации устанавливает взаимно однозначное

соответствие между векторами Ωr и Θ :

Ωr =Φ(Θr ) ,

используемое для построения искомой модели объекта;

5.анализирует полученные результаты;

6.если результаты его устраивают - эксперимент окончен, в противном случае необходимо повторить пункты 3, 4 (точность полученных результатов неудовлетво-

рительна), или пункты 2 - 4 (вектор параметров Ω не полно описывает поведение объекта), а иногда и пункты 1 - 4 (ставится другая задача).

Следует отметить, что задачи 1, 2 и 4, 5, как правило, решает специалист данной предметной области, формулируя и интерпретируя ее в терминах предметной области, а 3 задачу - специалисты в области измерения и обработки измерительной информации.

Такое разделение функций между исследователем и специалистом в области измерения и обработки измерительной информации позволяет последнему абстраги-

роваться от конкретных физических объектов и вектора физических параметров Ω и непосредственно перейти:

1.к математическому описанию исследуемых процессов и определению вектора параметров Θ , достаточных для решения поставленной задачи;

2.сбору информации с помощью первичных преобразователей;

3.оценке вектора параметров Θ с помощью технических средств;

9

4.анализу точности полученных результатов;

5.аппроксимации полученных функциональных зависимостей с помощью параметрических моделей.

Каждая из перечисленных задач имеет свои специфические особенности, а эффективность решения четвертой и пятой - зависит от применяемых технических средств, построенных, как правило, на базе современных средств информационноизмерительной и вычислительной техники.

Решая разнообразные задачи научных исследований, исследователь на основании физических представлений и задачи исследований определяет составляющие век-

тора параметров случайного процесса Θ , дающие его исчерпывающее описание. Основной подсистемой любого технического средства, предназначенного для

получения и обработки измерительной информации является измерительновычислительный канал.

Под измерительно-вычислительным каналом понимается совокупность аппа-

ратно-программных средств, предназначенных для измерения мгновенных значений соответствующей физической величины, обработки результатов измерения и представления конечных результатов в форме, удобной для дальнейшего использования.

Рассмотрим структуру отдельного измерительно-вычислительного канала.

Рисунок В.1 - Измерительно-вычислительный канал

На рис. В.1 приняты следующие обозначения.

-ИП - измерительный преобразователь (датчик);

-К - коммутатор;

-АЦП – аналого-цифровой преобразователь:

-МУ - масштабирующее устройство;

-ПО - процессор обработки.

Рассмотрим преобразования, происходящие с сигналами в измерительновычислительном канале.

Независимо от природы измеряемой физической величины на выходе ИП получаем электрический сигнал. При этом, каждому значению физической величины ставитсяr в соответствие вполне определенное значение электрической величины:

x(t, Θ) → u(t).

Основным требованием, предъявляемым к ИП, является линейность:

u(t) = k x(t,Θr ), (В.1)

где k = const - коэффициент преобразования.

Следует отметить, что если связь между u(t) и x(t,Θ ) нелинейная, то производят линеаризацию функции преобразования, воспользовавшись, например, методом наименьших квадратов [44 ].

После ИП исследуемый сигнал поступает на вход коммутатора.

10

В коммутаторе непрерывный сигнал u(t) преобразуется в последовательность отсчетов, отстоящих друг от друга на интервале ti = ti+1 − ti . Т.е. выполняется опера-

ция дискретизации:

Отметим, что при коммутации возможны два варианта:

-ti = const - регулярная дискретизация;

-ti = random - нерегулярная дискретизация.

После коммутации сигнал поступает на аналого-цифровое преобразование, где последовательно подвергается процедурам квантования и кодирования.

Квантование - процедура отнесения непрерывного значения процесса u(ti ) к ближайшему разрешенному целому уровню.

где ent[ ] - операция взятия целой части числа;

u- шаг квантования по уровню;

0, при усечении

λ= 0,5, при округлении .

В результате квантования сигнала получим целое число квантов, которое может кодироваться различными способами. При использовании двоичной системы счисления с весами 8-4-2-1 число двоичных разрядов, необходимых для представле-

Следует подчеркнуть, что в случае одноканальной системы операции коммутации и аналого-цифрового преобразования совпадают. В многоканальных же системах, как правило, применяется один коммутатор на несколько каналов.

После аналого-цифрового преобразователя сигнал поступает на вход масштабирующего устройства, выходной сигнал которого равен:

Т.е. при этом происходит обратное преобразование: приведение электрического сигнала к измеряемой физической величине.

Далее сигнал поступает в процессор обработки - устройство, реализующее тот или иной алгоритм получения оценки параметров физического процесса x(t, Θ ). При этом возможны два подхода к решению задачи оценки Θ :

1. в режиме экспресс-анализа с помощью алгоритма AΘ оценивают вектор неизвестных параметров Θr = AΘ {€x(tk ) };

11

2. в режиме контроля и регистрации с помощью алгоритма As получают оценку сигнала €x (t, Θr ) = As {€x( tk )}, записывают его на какой-либо промежуточный носи-

тель, а затем обрабатывают. При этом происходит задержка в обработке информации и, следовательно, в получении результата.

Таким образом, измерительно-вычислительный канал даёт возможность обра-

батывать временные последовательности случайных процессов - временные ряды.

Выделяют первичную и вторичную статистическую обработку. Под первичной статистической обработкой будем понимать оценку вероятностных характеристик по ограниченному набору данных, под вторичной - построение аналитических моделей исследуемых процессов и их характеристик.

Следует отметить, что статистическая обработка позволяет:

•осуществить оценку одного параметра с помощью различных алгоритмов обработки информации;

•выбрать оптимальный алгоритм оценивания, соответствующий выбранному критерию;

•с целью построения новой или уточнённой модели осуществить оценку других параметров, описывающих эту модель.

При проведении исследований кроме аналитических методов часто применяется метод имитационного моделирования.

В предлагаемой Вашему вниманию монографии рассматриваются следующие задачи прикладного анализа случайных процессов:

1.математического описания;

2.моделирования;

3.идентификации;

4.оценивания вероятностных характеристик;

5.аппроксимации базовых вероятностных характеристик параметрическими моделями;

6.аппроксимативного анализа функционально-связанных вероятностных характеристик.

Все перечисленные задачи решаются с помощью автоматизированных систем, позволяющих получить аналитические модели типовых функциональных вероятностных характеристик случайных процессов:

•корреляционных функций;

•структурных функций;

•спектральных плотностей мощности;

•спектральных функций

•функций распределения;

•плотностей распределения вероятностей;

•характеристических функций;

•обобщенных корреляционно-спектральных характеристик, - полученных как методом имитационного моделирования, так и в ходе экспериментальных исследований и комплексных испытаний.

12

При решении самых разнообразных научно-технических задач исследователю приходится сталкиваться с ситуациями, когда исследуемый процесс X (t) представлен

неэквидистантным временным рядом

[x ji ( t ji / t ji )]i==1,...Mj , где t ji = t j ,i+1 −t ji = random . j 1,...N

Заметим, что индекс i в этом случае характеризует лишь место отсчёта или метки времени в массивах, где хранятся входные данные, а не характеризует время наступления события. Примеры реализаций неэквидистантных временных рядов

приведены на рис. 1.8.

Каждый из перечисленных классов имеет своё характерное описание - математическую модель, параметры которой подлежат определению как с помощью теоретических, так и экспериментальных методов исследования. Различные комбинации этих процессов дает возможность построить более сложные модели процессов, используемые как при исследованиях с целью определения их характеристик, так и при моделировании процессов с заданными свойствами, используемых при имитационном моделировании средств измерения и обработки с целью определения их метрологических характеристик.

18

1.2. Математическое описание случайных величин

Основой для математического описания случайных процессов и потоков событий является математическое описание случайных величин.

Для описания случайных величин в практических приложениях наиболее часто применяются [51]:

•законы распределения случайных величин;

•числовые характеристики законов определения.

•характеристические функции.

Законом распределения называется функциональная зависимость, устанавливающая связь между возможным значением случайной величины и вероятностью по-

Аналитические выражения наиболее часто встречающихся законов распределения вероятности приведены в приложении П. 1.

Законы распределения дают исчерпывающее описание случайной величины. Однако для их экспериментального определения требуется большой объём данных и, следовательно, большие материальные затраты. В большинстве же практических случаев для описания случайных величин применяют приближенные методы, основанные на знании числовых характеристик.

К числовым характеристикам относятся: начальные и центральные моменты k - го порядка, мода, медиана, коэффициенты вариации и формы, пикфактор и т.д. [51].

• Начальным моментом k - го порядка называется величина, определяемая выражением:

−∞

где M [ ] - операция нахождения математического ожидания.

19

значение оцениваемой случайной величины;

2.α2 = M [X 2 ]- мощность случайной величины.

•Центральные моменты k-го определяются в виде:

μk = M Xo k ,

o

где X = X − mx - центрированная случайная величина. Из них наиболее часто применяются:

1.μ3 =σx2 - дисперсия процесса, характеризующая разброс значений случайной величины относительно математического ожидания;

2.μ3 = M Xo 3 - характеризует симметричность закона распределения. Для

устранения зависимости μ3 от дисперсии вводят коэффициент асимметрии

Ka = μ3 / σx2 ;

3.μ4 = M Xo 4 - характеризует островершинность закона распределения.

Вкачестве базового закона (закона сравнения) был выбран нормальный закон,

для которого μ4 = 3σx4 . Для удобства сравнения ввели понятие коэффициента эксцес-

са Kε = μ4 / σx4 −3 .

Моменты, коэффициенты асимметрии и эксцесса применяются при решении самых разнообразных прикладных задач, например для:

1.упрощенного описания случайной величины;

2.идентификации закона распределения случайной величины с использованием кривых Пирсона [51];

3.построения аналитического выражения закона распределения в виде ряда Грамма-Шарлье по той или иной системе ортогональных функций, например: Эрмита, Лежандра и т. д. [79];

4.определения динамического диапазона случайной величины.

иделит площадь под кривой распределения пополам.

•Коэффициент вариации χ = σx / mx , применяемый при метрологическом

анализе результатов измерения.

деления и применяется, например, при оценке релейной корреляционной функции

[97].

• Пикфактор - η = xmax / σx - применяется при оценке динамического диапазона случайной величины.

20

Значения числовых характеристик для типовых законов распределения приведены в приложении П.1.

При решении разнообразных задач полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция - математическое ожидание комплекс-

свойства плотности вероятности характеристическая функция при любом действительном значении u не превосходит по модулю единицы и равна единице при u = 0 .

Характеристическая функция и плотность распределения вероятности случайной величины связаны парой взаимно обратных преобразований Фурье [79]:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины также является её полной вероятностной характеристикой.

Примеры характеристических функций для типовых законов распределения приведены в приложении П.2.

Зная характеристическую функцию, можно просто определить начальные и центральные моменты случайной величины [79]:

1.3. Функции случайных аргументов

При решении разнообразных практических задач часто возникает необходимость в определении закона распределения случайных величин, представляющие собой функции некоторых других случайных величин, имеющих известные законы распределения [79].

Пусть случайная величина Y представляет собой однозначную функцию слу-

Отсюда следует, что

21

Производную необходимо брать по абсолютному значению, так как плотность распределения всегда неотрицательна. Подставив вместо x в выражение (1.20) обратную функцию x = ϕ(y), окончательно получим

дважды, т.е. к каждой ветви кривойx =ϕ1 (y) и x =ϕ2 (y).

Если требуется определить только моментные характеристики, то задачу можно решить, не определяя плотности распределения вероятности:

−∞

Функция случайного аргумента применяется при моделировании псевдослучайных последовательностей с заданным законом распределения методом инверсного преобразования [114, 116, 166, 185].

1.4.Системы случайных величин

Внекоторых случаях приходится рассматривать совместно несколько случайных величин. Совокупность n случайных величин x1 ,x2 ,...xm удобно рассматривать

как одну m - мерную векторную случайную величину, составляющие которой являются величины x1 ,x2 ,...xm .

Часть вероятностных характеристик, описывающих n -мерную случайную величину, по смыслу совпадают и являются обобщением соответствующих характеристик одномерной случайной величины. Другая часть характерна только для векторных случайных величин, например, условные функции и плотности распределения вероятности [158].

К ним относятся:

•функции и плотности распределения вероятности;

•условные функции и плотности распределения вероятности;

•характеристическая функция;

•начальные моменты r + s порядка случайного вектора -

αrs = M [xr ys ];

•центральные моменты r + s порядка случайного вектора -

μrs = M xo r yo s .

Рассмотрим все характеристики на примере системы, состоящей из двух случайных величин.

Функцией распределения двумерного случайного вектора с составляющими X и Y или совместной функцией распределения двух случайных величин называется

22

вероятность совместного выполнения неравенств X < x , Y < y , рассматриваемая как функция двух переменных [158]:

стью вероятности двух случайных величин X и Y называется предел отношения вероятности попадания его конца в бесконечно малую область к площади этой области при стягивания этой области в точку:

Зная плотность распределения вероятностей, можно определить функцию распределения случайного вектора:

−∞−∞

Из формулы (1.25) можно получить выражение плотности распределения вероятностей случайного вектора (X ,Y ) через его функцию распределения:

На практике часто приходится находить закон распределения одной случайной величины X при условии, что случайная величина Y примет определенное значение y . Этот закон называют условным законом распределения. На основании теоремы

умножения плотностей вероятностей [51] совместная плотность вероятности двух случайных величин равна плотности вероятности одной из них, умноженной на условную плотность вероятности другой относительно первой:

Случайные величины X и Y называются зависимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y , зависимы хотя бы для одной па-

ры значений x и y . В противном случае случайные величины называются независи-

мыми.

Для независимых случайных величин совместная плотность распределения ве-

Следовательно, с учетом выражения (1.31), условные плотности равны: f1 (x y )= f1 (x), а f2 (y x)= f2 (y).

23

Аналогичным образом можно определить законы распределения векторов, ко-

Формула показывает, что характеристическая функция является преобразованием Фурье плотности распределения вероятности. Следовательно, плотность распределения вероятности определяется через характеристическую функцию обратным преобразованием Фурье [158]:

Для практики большое значение имеет раздел теории вероятностей, который ограничивается исследованием моментов первого и второго порядков случайных величин [47, 98]. Так моменты α10 и α01 равны математическим ожиданиям случайных

величин X и Y соответственно. Для двумерного случайного вектора кроме моментов μ20 и μ02 , представляющих собой дисперсии случайных величин X и Y , существует

момент μ11 , который называют корреляционным моментом:

Этот момент характеризует степень линейной связи случайных величин X и

Y .

Случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля. Случайные величины называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Независимые случайные величины всегда не коррелированны. Зависимые же случайные величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Следует подчеркнуть, что требование независимости величин является более жестким, чем требование некоррелированности.

На практике часто определяют нормированный корреляционный момент, который называют коэффициентом корреляции:

Часто при исследовании погрешностей оценки результатов оценивания той или иной вероятностной характеристики возникает необходимость в оценке моментов высших порядков. Для системы случайных величин, распределенной по нормальному закону, моменты высших порядков определяются через моменты второго порядка [164]. Задача легко решается, если воспользоваться характеристическими функциями

(см. таблицу 1. 3) [185].

Следует подчеркнуть, что нечётные моменты высших порядков в этом случае равны нулю.

24