УДК 681.518.3, 514:681.323/043.3/ ББК 32.965я73

Рецензенты:

Заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАН, д. т. н., профессор Сойфер В.А.; д. ф.-м. н., профессор Жданов А.И.

П 10 Прохоров С.А., Куликовских И.М.

Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практикум/ СНЦ РАН, 2008. 301 с., ил.

ISBN – 978-5-93424-351-8

Рассматриваются классические ортогональные полиномы и функции, определяются их основные характеристики, применяемые при построении и исследовании ортогональных моделей функциональных вероятностных характеристик случайных процессов (временных рядов).

Анализируются методы, алгоритмы аппроксимативного анализа вероятностных функциональных характеристик временных рядов в различных ортогональных базисах: корреляционных функций и спектральных плотностей мощности, функций спектра и т.д.

Предназначена для преподавателей, научных сотрудников, инженеров, аспирантов и студентов как руководство по изучению основ аппроксимативного анализа случайных процессов в ортогональных базисах.

ББК 32.965я73

Печатается по решению издательского совета Самарского научного центра Российской академии наук.

© С.А. Прохоров, 2008

3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ИНТЕРВАЛА ДИСКРЕТИЗАЦИИ

6.АППРОКСИМАЦИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ

9.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ОБОБЩЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫХ ХА-

10.ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК С ПОМОЩЬЮ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИС-

3

11.ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-

12.АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ОРТОГО-

13.ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА УВЕЛИЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ОРТОГО-

14.АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ОРТОГОНАЛЬ-

4.Правила действий над коэффициентами производящих функций и интеграль-

4

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АСНИ – автоматизированная система научных исследований; ВКФ – взаимная корреляционная функция; ВНКФ – взаимная нормированная корреляционная функция; ВР – временной ряд; ИВК – измерительно-вычислительный комплекс;

ИИС – информационно-измерительная система; КФ – корреляционная функция; НКФ – нормированная корреляционная функция; ПО – процессор обработки;

ПРИС – процессорно-измерительное средство; СП – случайный процесс;

AΘ {x(tk ) } – алгоритм оценки вероятностной характеристики Θ; As {x( tk )} – алгоритм оценки сигнала;

Cx (J ) – интервальная корреляционная функция;

d – параметр усреднения (время T, совокупность реализаций N или время и совокупность реализаций TN );

Dx – оценка дисперсии;

ent[ ] – операция взятия целой части числа; Fx (ω) – спектральная функция;

g[ ] – оператор, представляющий собой преобразования, лежащие в основе определения вероятностной характеристики Θ;

Ka (τ) – аппроксимирующее выражение корреляционной функции;

Kaxy (τ ) – аппроксимирующее выражение взаимной корреляционной функции; K x (τ ) – корреляционная функция стационарного случайного процесса;

K x (t,t' ) – корреляционная функция случайного процесса;

Kxy (τ ) – взаимная корреляционная функция;

ψk (τ ,α / γ ) – ортогональная функция k-го порядка; M [ ] – оператор математического ожидания;

Sd – оператор усреднения; Sign – знаковая функция;

Saxy (ω) – аппроксимирующее выражение взаимной спектральной плотности мощно-

сти;

o

Sx (ω) – спектральная плотность мощности процесса x(t);

o

Sxн (ω) – нормированная спектральная плотность мощности процесса x(t); Sxy (ω) – взаимная спектральная плотность мощности;

Wk (jω) – частотная характеристика ортогональных функций k-го порядка; x j (t) – j-ая реализация случайного процесса;

x(Θr,t) – реализация случайного процесса;

βk – коэффициент разложения ортогонального ряда;

5

bk – коэффициент разложения ортогонального ряда; ck – коэффициент разложения ортогонального ряда;

–погрешность аппроксимации;

δ– относительная погрешность аппроксимации; t ji – интервал дискретизации;

ωϕ – полоса пропускания фильтра;

ωc – эквивалентная ширина спектра мощности сигнала;

γсм – погрешность от смещенности оценки;

– допустимые значения погрешностей оценки;

γм – методическая статистическая погрешность;

μ– показатель колебательности;

Θ j [X (t)] – j-текущая оценка вероятностной характеристики; Θr[X (t)],Θ – измеряемая вероятностная характеристика;

Θ – вектор информативных параметров случайного процесса; Θср [X (t)] – средняя оценка вероятностной характеристики;

Θ[X (t)] – оценка измеряемой вероятностной характеристики; Θt [X (t)] – t-текущая оценка вероятностной характеристики;

ρa (τ, α1 , ...αn ) – аппроксимирующее выражение нормированной корреляционной

функции;

ρx (τ ) – нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса;

ρx (t,t′) – нормированная корреляционная функция случайного процесса;

ρxy (τ ) – взаимная нормированная корреляционная функция;

rxy – коэффициент корреляции; τk(i) – интервал корреляции;

τk max – максимальный интервал корреляции;

Ωr – вектор информативных параметров объекта исследований.

6