ОФТТ / лекция_5_ЭиМ

§ 10 «Расчет концентрации носителей заряда в кристалле»

Приводимость любых твердых тел определяется, прежде всего, концентрацией электронов и дырок, способных переносить заряд. Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры, поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия решетки и, следовательно, вероятность того, что какая-то часть валентных связей будет нарушена, а значит, возникнут электроны и дырки.

В термодинамическом равновесии электроны распределяются по энергетическим состояниям в соответствии с функцией распределения Ферми - Дирака:

(1)

где f(E,T) – вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией E;

T – температура системы (в градусах К);

k – постоянная Больцмана;

Е_F – энергия уровня Ферми (это характеристическая энергия системы, ниже которой при T = 0K все состояния заполнены, выше – пустые).

Поскольку энергетические уровни в разрешенных зонах очень близко расположены друг от друга, дискретное распределение состояний по энергиям можно заменить непрерывным N(E).

На рисунке показан вид функции Ферми-Дирака при различных значениях температуры:

Вид функции вероятности распределения по состояниям для различных температур

Как видно из (1) и рисунка выше, вероятность нахождения частицы на уровне с энергией Е_F всегда равна ½ при всех температурах. В то же время по мере роста температуры вероятность появления частиц выше уровня Ферми возрастает. При температурах отличных от нуля, если E - Е_F > kT, то функция Ферми-Дирака хорошо представляется экспоненциальной зависимостью (область в квадрате рисунке). Соответствующее распределение называется распределением Максвелла-Больцмана:

. (2)

Используя сделанные допущения, возможно рассчитать количество электронов, находящихся в заданном энергетическом интервале E₂ - E₁:

(3)

где N(E) – распределение плотности энергетических состояний по энергиям;

f(E) – вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E.

В собственных полупроводниках и невырожденных легированных полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости мала (много меньше 0,5), вероятность нахождения электрона в валентной зоне велика (много больше 0,5), следовательно, уровень, вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (уровень Ферми), должен находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать в запрещенной зоне. Действительно, для невырожденных полупроводников уровень Ферми всегда находится в запрещенной зоне и для расчета концентрации электронов, находящихся в зоне проводимости, и дырок, находящихся в валентной зоне, можно воспользоваться распределением Максвелла-Больцмана.

Рассчитаем концентрацию электронов проводимости:

(4)

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

, (5)

где m_n^* – эффективная масса электрона в зоне проводимости;

m – масса электрона;

k – постоянная Больцмана;

h – постоянная Планка.

Для того, чтобы рассчитать количество дырок в зоне проводимости, учтем, что вероятность заполнения энергетического уровня дыркой равна:

. (6)

Рассчитаем концентрацию дырок в валентной зоне:

, (7)

где N_v – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

. (8)

Для расчета концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике необходимо определить для него положение уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется из условия электронейтральности.

. (9)

Откуда получим:

. (10)

Поскольку (E_c+E_v)/2>>(kT/2)ln(N_v/N_c), то получим, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.

Рассчитаем чему равно произведение концентрации электронов и дырок, а так же значение n_i²:

. (11)

Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по экспоненциальному закону с показателем, равным половине ширины запрещенной зоны.

Поскольку n_i является некоторой характеристической величиной для полупроводникового материла, из соотношения np = n_i² следует, что увеличение концентрации электронов за счет легирования материала будет приводить к уменьшению концентрации дырок и наоборот, увеличение концентрации дырок при введении акцепторной примеси будет приводить к уменьшению концентрации электронов. Таким образом, это соотношение позволяет по известной концентрации основных носителей заряда рассчитать значения концентрации неосновных.

Между концентрацией носителей заряда и положением уровня Ферми в образце существует однозначное соответствие:

. (12)

Зная концентрацию носителей, мы можем определить положение уровня Ферми:

. (13)

Рассмотрим, как изменяется концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим электронный полупроводник (n-тип), который получен легированием донорной примесью c соответствующим энергетическим уровнем E_d. На рисунке ниже показано ожидаемое изменение с температурой положения уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и положения донорного уровня в виду малости этих величин можно пренебречь).

Поскольку при температурах, близких к 0 К, все донорные уровни заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают переходить с донорного уровня в зону проводимости, переходами из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь.

При температурах близких к 0 K уровень Ферми находится посередине между E_с и E_d и затем, по мере ухода электронов с примесного уровня (переходы 1 на рисунке ниже), приближается к уровню E_d. При некоторой температуре T_s уровень Ферми достигнет уровня E_d, концентрация электронов в зоне проводимости будет равна N_d/2 (f=1/2). При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного уровня оказываются в зоне проводимости, и донорный уровень больше не может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту температурную область (2 на рисунке ниже) называют областью истощения примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны (как в собственном полупроводнике):

n (T) = N_d + n_i(T). (14)

Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать:

. (15)

Начиная с некоторой температуры T_i начинает выполняться условие n_i>N_d, с этого момента имеет место переход от примесной проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры будет выполняться условие n_i>>N_d (область 3) и величиной N_d в (15) можно пренебречь. Тогда (15) преобразуется к виду:

.

Таким образом, в области высоких температур концентрация носителей заряда для легированных материалов стремится к концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из зоны проводимости, становится значительно больше концентрации введенной примеси и, соответственно, больше концентрации носителей заряда, полученных при ее ионизации.

Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми (F) с температурой и возникновение трех различных областей изменения концентрации носителей в донорном полупроводнике

Из предыдущего рисунка видно, что по характеру поведения уровня Ферми в зависимости от температуры можно выделить три основные области: область ионизации примеси (1), область истощения примеси (2) и область собственной проводимости (3).

Температурные зависимости концентрации электронов в кремнии при различной степени легирования донорной примесью. Концентрация доноров в см^-3 проставлена около соответствующих кривых

На рисунке выше схематически показано, как будет изменяться с температурой концентрация носителей заряда в легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для материала, легированного электронами и дырками). Представленные на рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении степени легирования изменяются не только значения концентрации в примесной области, но и значение температуры перехода к области истощения T_s и к собственной проводимости T_i. Следует отметить, что поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются легированные полупроводники, то как правило, их температурный диапазон определяется областью истощения примеси T_s < T < T_i , в которой концентрация основных носителей заряда слабо зависит от температуры.

§ 11 «Подвижность носителей заряда в полупроводниках»

Как известно, в свободном пространстве (вакууме) электро­ны под действием электрического поля совершают равноуско­ренное движение.

В твердом теле движущиеся электроны непрерывно испыты­вают столкновения с узлами кристаллической решетки, приме­сям и дефектами, т.е., как говорят, испытывают рассеяние. Равноускоренное движение под действием поля возможно толь­ко в коротких интервалах между столкновениями, на длине свободного пробега. После каждого столкновения электрон, гру­бо говоря, должен заново «набирать» скорость. В результате средняя дрейфовая скорость электронов и дырок оказывается вполне определенной величиной, пропорциональной напряжен­ности поля:

. (16)

Коэффициент пропорциональности  есть подвижность носителей, измеряемая в единицах см²/Вс. При напряженности поля 1 В/см подвижность численно равна скорости.

В связи с различием эффективных масс электронов и дырок их подвижности тоже различаются. Как правило, подвижность электронов больше подвижности дырок (у кремния почти в 3 раза). Чем больше подвижность, тем больше скорость движения носителей и тем выше быстродействие полупроводникового прибора.

Подвижность зависит от ряда факторов, важнейшими из которых являются температура, концентрация примесей и напряженность поля. Эти зависимости необходимо иметь в виду при разработке полупроводниковых приборов и элементов ИС.

Зависимость подвижности от температуры определяется механизмом рассеяния носителей. Если преобладает рассеяние на узлах решетки, то

 ~ 1/T ^3/2, (17)

если же преобладает рассеяние на ионах примеси, то

 ~ T ^3/2. (18)

При низких температурах тепловое рассеяние на узлах решетки незначительно, поэтому зависимость (Т) описывается формулой (18): подвижность уменьшается с уменьшением температуры. Но уже при температурах T > 0С для кремния зависимость (Т) будет описываться формулой (17): подвижность уменьшается с ростом температуры.

Зависимость подвижности носителей заряда в полупроводнике от температуры при различных концентрациях примеси

В диапазоне ра­бочих температур -60 ... +125 С подвижность может изменя­ться в 4-5 раз, что, конечно, существенно. Величины и положения максимумов на кривых, представленных выше, зависят от концентрации примеси. При увеличении концентрации примесей максимум смещается в область высоких температур.

§ 12 «Температурная зависимость удельной проводимости полупроводников»

Рассмотрев влияние температуры на концентрацию и подвижность носителей заряда, можно представить и общий ход изменения удельной проводимости при изменении температуры. В полупроводниках с атомной решеткой (а также в ионных при повышенной температуре) подвижность меняется при изменении температуры сравнительно слабо (по степенному закону), а концентрация очень сильно (по экспоненциальному закону). Поэтому температурная зависимость удельной проводимости похожа на температурную зависимость концентрации.

В области истощения (концентрация постоянна) изменение удельной проводимости обусловлено температурной зависимостью подвижности.

Легирование также влияет на температурную зависимость электропроводности. В области высоких температур электропроводность легированного материала стремится к электропроводности нелегированного. В области низких температур проводимость изменяется незначительно, имея слабо выраженный максимум. Для сильно легированных кристаллов проводимость изменяется с температурой подобно проводимости металлов.

Температурная зависимость электропроводности легированных полупроводников, степень легирования в см^-3 проставлена около соответствующих кривых, пунктирная линия соответствует нелегированному материалу