ОФТТ / Физика твердого тела - Перлин

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Введем для сокращения записи обозначения: ak (0) ≡ a0 , ak (g) ≡ ag . Умножая (9.10) на exp(−ik r)и exp[−i(k + g) r] и интегрируя по dr, получим:

Собственные значения получаем из условия обращения в нуль детерминанта системы линейных однородных уравнений (9.11):

Для более компактной записи последующих формул введем обозначение:

Условие η =0 задает границу зоны Бриллюэна, соответствующую выбранному ранее вектору обратной решетки g. Расстояние в обратном пространстве до граничной плоскости пропорционально η. Выражение для энергии теперь принимает вид:

30

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

При отличном от нуля потенциале зависимость E от k отличается от параболы. Соответствующая функция имеет две ветви (два корня в (9.13) или (9.15)). В расширенной зонной схеме энергия определяется как однозначная функция. На нормали ГА, проходящей через центр изоэнергетической сферы зависимость E(k) при η<0 соответствует одной области k-пространства, а при η >0 другой.

Рис. 9.1 Поверхности постоянной энергии и закон дисперсии электронов в расширенной и приведенной зонной схеме[3]

При таком способе задания энергии она является однозначной функцией волнового вектора. На границе зоны Бриллюэна имеется скачок, равный 2V(g), который и определяет ширину запрещенной зоны (энергетической щели).

При другом способе определения зависимости E(k) она задается лишь внутри первой зоны Бриллюэна, где E(k) является многозначной функцией. Это т.н. приведенная зонная схема. В рассмотренном нами

31

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

случае внутри первой зоны Бриллюэна присутствуют обе ветви функции, но они определены лишь для η <0.

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ ДРУДЕ § 10. Основные положения теории металлов Друде

Элементарная теория металлов была построена Друде на основе предположения, что электроны металла представляют собой газ, и к этому газу, состоящему из частиц с массой m и движущемуся на фоне тяжелых неподвижных ионов, применима обычная кинетическая теория нейтральных разрешенных газов. Основные положения теории Друде сводятся к следующему.

1.В интервале времени между столкновениями не учитываются взаимодействия электрона с другими электронами (приближение независимых электронов) и ионами (приближение свободных электронов). Таким образом, в отсутствие внешних полей каждый электрон движется с постоянной скоростью по прямой линии. В присутствии внешних полей движение электрона подчиняется обычным законам механики Ньютона.

2.Столкновения – это мгновенные события, при которых внезапно изменяется скорость электрона. Сам Друде имел в виду столкновения между электронами и ионами. Позже выяснилось, что речь должна идти совсем о других процессах. Мы еще вернемся к обсуждению этого вопроса.

3.Предполагается, что за единицу времени электрон испытывает столкновение с вероятностью, равной 1τ . Вероятность того, что электрон испытает столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени dt равна dtτ . Время τ называют временем релаксации или временем свободного пробега. Считается, что τ не зависит от пространственного положения электрона и его скорости. Разумеется, это предположение ошибочно.

4.Электроны приходят в состояние теплового равновесия исключительно благодаря столкновениям. Скорость электрона v сразу после столкновения не связана с его скоростью до столкновения, направлена случайно, а ее величина соответствует температуре среды T (т.е.

ν T ) в той области, где произошло столкновение.

Приведем здесь значения массы электрона m=0,910939 10−27 г и его заряда e=4,8065 10−1 0 ед. СГСЭ (т.е. г1/2см3/2с−1). В качестве меры плотности электронного газа часто используют радиус сферы, объем которой равен объему, приходящемуся на один электрон проводимости

32

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где n – число электронов в единице объема, или отношение rs этой величины к боровскому радиусу.

В большинстве металлов значения rs находятся в пределах между 2 и 5. Следует отметить, что плотность электронного газа n примерно в 103 раз больше плотности классического газа при нормальных темпера-

туре и давлении. В металле имеет место сильное электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействие. Тем не менее, в модели Друде электронный газ металла описывается практически без изменений методами кинетической теории нейтральных разряженных газов, и при этом во многих случаях получаются вполне удовлетворительные результаты.

§ 11. Статическая электропроводность металла

Запишем закон Ома в виде

где F – напряженность постоянного электрического поля, j –плотность тока, ρ – удельное сопротивление.

Еcли все n электронов в единице объема проводника движутся с одинаковой скоростью v, то плотность тока параллельна v. За время dt электроны сместятся на vdt в направлении v. За это время площадь S, перпендикулярную направлению тока j, пересекут n v dt S электронов. Поскольку каждый электрон несет заряд −e , полный заряд, пересекающий S за время dt, равен −e n v S dt , тогда для плотности тока имеем:

Влюбой точке металла электроны движутся в различных направлениях и обладают разными скоростями. Суммарная плотность тока дается выражением (11.2), где v – обозначает уже среднюю скорость электронов.

Вотсутствие электрического поля все направления движения равновероятны и средняя скорость равна нулю. В присутствии поля F средняя

скорость vav ≡ v отлична от нуля и направлена против поля.

Обозначим через t время, прошедшее после последнего столкновения электрона, а через v0 – скорость электрона сразу после столкновения. Тогда скорость электрона после столкновения равна

Поскольку среднее значение v0 равно нулю, имеем

33

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Таким образом, зная плотность электронного газа и проводимость, можно получить время релаксации τ:

При комнатной температуре типичные значения проводимости составляют σ~1 мкОм см = 10−18 ед. СГСЭ (т.е. с−1), n~1022-1023 см−3. Тогда

τ ~ 10−14 −10−15 c. Отсюда можно найти длину свободного пробега l, если определить их среднюю скорость электронов v с помощью классического соотношения

где kB – постоянная Больцмана, kB = 1,3807 10−16 эрг/град. Из этого следует, что при комнатной температуре v~107 см/с и l = v0τ ~ 1−10 Å

(1 Å≡10−8 см), что сопоставимо с постоянной решетки металлов. Казалось бы, этот результат говорит в пользу теории Друде. На самом деле, однако, как будет показано в следующих разделах, величина скорости v оказывается на порядок больше, а время релаксации при низких температурах на порядок длиннее. Таким образом, длина свободного пробега имеет порядок 103Å. Это показывает, что скорость релаксации, вопреки предположениям Друде, не определяется столкновениями с ионами.

Выведем уравнение, описывающее изменение во времени среднего импульса электронов с учетом столкновений под действием пространственно однородного поля. Пусть в момент времени t средний импульс электрона равен p(t). Вычислим средний импульс p(t+dt) по истечении бесконечно малого промежутка времени dt. Вероятность того, что электрон испытает столкновение в промежутке времени между t и t+dt, равна dtτ , а вероятность того, что он за тот же промежуток времени не

испытает столкновение равна, соответственно, 1− dtτ . Импульс электрона, который не сталкивался за этот промежуток времени, будет равен

34

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где f (t) – сила действующая на электрон со стороны внешнего поля.

Электроны, не испытавшие столкновений, вносят вклад в импульс, приходящийся на один электрон, равный

Тогда, пренебрегая вкладом в p(t+dt) от электронов, которые испытали за время dt столкновение, получаем

Вклад в импульс, приходящийся на один электрон от испытавших столкновение частиц, оказывается величиной второго порядка малости по dt. В самом деле, относительное число таких электронов dtτ , а

средний импульс не превышает f (t)dt , с учетом того обстоятельства, что

средний импульс сразу после столкновения равен нулю. Из (11.10) получаем:

§ 12. Эффект Холла и магнетосопротивление в теории Друде

На рис. 12.1 показана схема экспериментов Холла, выполненных в 1879 г. К проводнику приложены постоянное электрическое поле F, направленное вдоль проводника (направление x), и перпендикулярное ему постоянное магнитное поле H (направление z). На электрон действует сила

причем второе слагаемое в правой части (12.1) представляет собой силу Лоренца, отклоняющую электроны в отрицательном направлении оси y.

В результате возникает поперечное электрическое поле Fy (поле Холла), препятствующее накоплению электронов у границы проводника. В состоянии равновесия сила Лоренца компенсируется этим полем, т.е.

Нас будут интересовать две величины: поперечное магнетосопротивление ρ(H) и коэффициент Холла RH. Первая из этих величин определяется как

35

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Поскольку в случае отрицательно заряженных частиц поле Холла имеет отрицательный знак, а ток jx – положительный знак, то можно видеть, что для электронов коэффициент Холла отрицательный. Если бы ток переносился положительно заряженными частицами (например, дырками), то коэффициент Холла был бы положительным.

Рассчитаем теперь коэффициент Холла и магнетосопротивление, исходя из уравнения для среднего импульса электрона

В стационарном состоянии ток не зависит от времени, поэтому правая часть (12.5) обращается в нуль. Имеем следующие уравнения для компонент импульса px и py:

0 = −eFx −ωc py − pτx ,

p

(12.6)

0 = −eFy −ωc px − τy ,

где введена циклотронная частота

36

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Умножим уравнения (12.6) на –neτ/m и введем вместо декартовых компонент импульса компоненты плотности тока ji =–enpi /m. Получим

где σ0 = ne2τm — статическая электропроводность.

Поле Холла Fy определяем из условия равенства нулю поперечного тока: jy = 0. Из второго уравнения (12.8) получим:

Таблица 12.1.

Коэффициенты Холла некоторых металлов для сильных полей

В таблице даны значения, к которым стремится RH для очень чистых образцов при высоких (~104Гс) полях и низких температурах.

Важнейшей и практически ценной особенностью результата (12.10) является зависимость коэффициента Холла лишь от одного параметра материала – концентрации свободных носителей n. Вместе с тем, этот результат справедлив лишь для некоторых металлов в случаях низких температур и сильных магнитных полей (см. табл. 12.1 и рис. 12.2).

Полагая jy = 0 в первом из уравнений (12.8), находим, что электропроводность не зависит от магнитного поля. На самом деле, конечно, зависимость имеется, хотя в экспериментах Холла она и не была обнаружена.

37

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

§ 13. Высокочастотная электропроводность металла

Рассчитаем ток, вызываемый в металле переменным электрическим полем

Уравнение движения для импульса, приходящегося на один электрон, принимает вид:

Ясно, что σ(0)=σ0 (статическая электропроводность).

В предположении, что длина волны поля велика по сравнению с длиной свободного пробега в металле, вычислим высокочастотную диэлектрическую проницаемость. Запишем уравнения Максвелла в виде

Ищем решение (13.8), зависящее от времени как e–iωt. Используя (13.6), получим

или

38

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 12.2. Зависимость величины –nec/RH от ωсτ для алюминия (из работы

Lück R., Phys. Stat. Sol., 1966, vol. 18, p. 49)

которая называется плазменной частотой. Если ω<ωp , то ε оказывается действительной отрицательной величиной. В этом случае волновое уравнение (13.11) имеет лишь экспоненциально затухающие вглубь металла решения. При положительных ε (ω > ωp) излучение может распространяться, и металл оказывается прозрачным. Фактически металлы становятся прозрачными в ультрафиолетовом диапазоне.

39