ОФТТ / Физика твердого тела - Перлин

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

частности, лотоса. Лотос, известный как символ чистоты, сохраняет ее благодаря тому, что вода образует на его поверхности шарики с контактным углом близким к 180о. В месте контакта с каплей загрязняющие поверхность частицы смачиваются водой и удаляются вместе с легко скатывающимися с супергидрофобной поверхности каплями воды. Технические применения «эффекта лотуса» только начинаются.

§ 51. Коллективные электронные возбуждения на границе раздела сред: поверхностный плазмонный резонанс и плазмоны, локализованные в металлических наночастицах

Наличие границ существенным образом отражается и на электронных свойствах конденсированных тел. Вблизи поверхности локализуются такие типы возбуждений электронной подсистемы, которые невозможны в объеме конденсированной фазы. Уже в одночастичном приближении наличие поверхности приводит к появлению особых поверхностных состояний электронов. В таких состояниях электрон не может ни выйти из материала, ни войти в его толщу, но может свободно распространяться вдоль его поверхности. Особенно большую роль поверхностные состояния играют в полупроводниках, в которых по своему энергетическому положению они оказываются в запрещенной зоне для объемных электронов.

Коллективные электронные возбуждения при наличии границ также приобретают новые черты. Так, частота поверхностного плазмона оказывается в 2 раз меньше, чем частота объемного плазмона. Поверхностный плазмон непосредственно не связан с электромагнитным излучением в прилегающей к металлу среде, так его скорость меньше скорости света. Технический прием, позволяющий использовать поверхностные плазмоны в оптике, состоит в использовании полного внутреннего отражения. При полном внутреннем отражении вдоль отражающей свет поверхности также распространяется электромагнитная волна, скорость которой меньше скорости света и зависит от угла падения. Если при определенном угле падения скорость этой волны совпадет со скоростью поверхностного плазмона на поверхности металла, то условия полного внутреннего отражения нарушатся и отражение переста-

нет быть полным, возникнет поверхностный плазмонный резонанс. В на-

стоящее время явление поверхностного плазмонного резонанса широко применяется при создании химических и биологических сенсоров, так как положение узкого провала в коэффициенте полного внутреннего отражения изменяется при адсорбции на поверхности чужеродных частиц и, таким образом, служит чувствительным индикатором произошедших на поверхности реакций.

В наноразмерных металлических системах происходит дальнейшая модификация коллективных электронных возбуждений. Коллектив-

190

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

ное электронное возбуждение металлических шариков, размер которых меньше длины волны электромагнитного излучения в окружающей сре-

де, локализованный поверхностный плазмон, колеблется на частоте меньшей частоты объемного плазмона в 3 раз. Из-за малого размера системы требование совпадения скорости распространения возбуждения и электромагнитной волны во внешней среде отпадает, так что локализованные поверхностные плазмоны связаны с излучением непосредственно. При совпадении частоты внешнего поля с частотой локализованного поверхностного плазмона возникает резонанс, приводящий к резкому усилению поля на поверхности частицы и увеличению сечения поглощения.

Для эллипсоидальной частицы объема V, на которую падает электромагнитное излучение частоты ω, поляризованное вдоль одной из осей частицы, сечение поглощение имеет вид

где ε1 и ε2 – вещественная и мнимая часть зависящей от частоты относительной диэлектрической проницаемости металла, а с – скорость света. Сечение максимально при совпадении частоты внешнего поля ω, с резонансной частотой локализованного поверхностного плазмона Ω

Если выразить объем эллипсоида через его полуоси a, b и c по формуле

и отнести сечение поглощения к площади геометрического сечения эллипсоида S=πbc, то получится

где λ=2πc/Ω − длина волны излучения, соответствующего резонансной частоте Ω. Формула (51.4) объясняет тот факт, что сечение поглощения малых металлических частиц может значительно превосходить их геометрическое сечение. Необходимым условием для этого является малость мнимой части диэлектрической проницаемости ε2, которая действительно имеет место для ряда металлов, в частности, серебра. Одновременно с увеличением сечения поглощения происходит усиление поля

191

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

на поверхности металлической наночастицы, которое уже нашло многочисленные применения в науке и технике.

ГЛАВА 12. НАНОСТРУКТУРЫ § 52. Структуры с квантовыми ямами, проводами и точками

Наноструктурами принято называть твердотельные гетероструктуры с характерными размерами областей, занятых одной из компонент (или каждой из компонент), в диапазоне от единиц до сотен нанометров. Области пространственной неоднородности в наноструктурах могут играть роль потенциальных ям, в которых могут быть локализованы различные квазичастицы твердого тела – электроны, дырки, фононы и т.д. Наибольший интерес представляет случай, когда линейные размеры области пространственной локализации квазичастиц оказываются меньшими, чем их длины свободного пробега. В такой ситуации возникает эффект размерного квантования – зоны разрешенных энергий квазичастиц расщепляются на подзоны при уменьшении области локализации в одном или двух измерениях (квантовые ямы и квантовые нити) и на дискретные уровни при уменьшении размеров в трех измерениях (квантовые точки).

Системы, в которых движение квазичастиц ограничено в одном направлениями, называются квантовыми ямами, в двух направлениях – квантовыми нитями (или квантовыми проводами), в трех направлениях – квантовыми точками (см. рис. 52.1).

Рис. 52.1. Типы наноструктур

Рассмотрим зонные схемы гетероструктур. Пусть Φ – работа выхода, т.е. энергия, необходимая для перевода электрона с уровня Ферми на уровень вакуума. Эта величина зависит от уровня легирования материала. χ − электронное сродство, т.е. энергия, необходимая для перевода электрона с дна зоны проводимости на уровень вакуума. Эта величина

192

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

не зависит от уровня легирования материала. Eg по-прежнему обозначает ширину запрещенной зоны материала. Для рассматриваемых в качестве примера арсенида галлия n-типа и германия p-типа Eg|GaAs = 1,45 эВ, Eg|Ge= 0,7 эВ. Статические диэлектрические проницаемости εGaAs=11,5, εGe=16. Для оценок используем концентрацию некомпенсированных до-

норов в n-GaAs (ND – NA)|GaAs≡ÑD= 1016 см-3 и концентрацию некомпенсированных акцепторов в p-Ge (NA – ND)|Ge≡ÑA = 3 1016 см-3.

Для выравнивания уровней Ферми при приведении материалов в контакт часть электронов переходит из GaAs в Ge. Происходит изгиб зон Vn в GaAs и Vp в Ge.

Смещение уровней Ферми дается формулой (см. рис. 52.2):

Сделаем упрощающее предположение, что вблизи границы раздела имеются полностью обедненные области с ширинами xn и xp. Из закона сохранения заряда получим:

Рис. 52.2. Построение зонной диаграммы гетероперехода n-GaAs – p-Ge[26]

193

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Решая одномерные уравнения Пуассона, получим:

V n ≈0,42 эВ, V p ≈0,10 эВ.

Из простых геометрических соображений (см. рис. 52.2) получаем для разрыва зоны проводимости:

т.е. сумма разрывов валентной зоны и зоны проводимости равна разности ширин запрещенных зон в двух компонентах гетероструктуры.

В зависимости от энергетических параметров компонент гетероструктуры могут реализоваться различные типы гетероинтерфейсов, которые показаны на рис. 52.3.

На рис. 52.4 изображена зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой и одиночным барьером. Ve,h обозначает разрыв зон или высоту потенциального барьера на интерфейсе в зоне проводимости или валентной зоне.

На рис. 52.5 дана зонная схема периодической структуры с квантовыми ямами с шириной a и барьерами с шириной b. Если барьеры достаточно широкие, так что вероятность туннелирования между квантовыми ямами исчезающе мала, то мы говорим о системе с многими квантовыми ямами. В случае узких барьеров такая система является

сверхрешеткой с периодом d.

194

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 52.3. Разрывы энергий краев зон для 4-х типов гетероинтерфейсов: смещение зон (слева), искривление зон и ограничение носителей (центр), сверх-

решетки (справа) (из статьи L.Esaki. IEEE Journ. of QE 1986. Vol. QE-22. P. 1611-1624)

Рис. 52.4. Структуры с одиночной квантовой ямой (a) и одиночным барьером

(b)[27]

195

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 52.5. Система с многими квантовыми ямами (сверху) и сверхрешетка

(внизу)[27]

§ 53. Размерное квантование

Прежде, чем перейти к рассмотрению оптических свойств наноструктур, рассмотрим кратко элементарные задачи о квантовании движения частицы в потенциальной яме. Сначала рассмотрим движение частицы между двумя бесконечно высокими потенциальными стенками, расположенными в точках x = − a и x = a. Для стационарных состояний уравнения Шрёдингера

с потенциалом V(x), равным нулю при –a < x < a. Общее решение (53.3) имеет вид

196

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Из (53.4) и (53.5) получим систему линейных однородных уравнений

Значение k = 0 удовлетворяет (53.8), но противоречит условиям (53.5).

Рис. 53.1. Первые четыре волновые функции в одномерном потенциальном

ящике с бесконечно высокими стенками[31]

Для собственных значений энергии получаем:

При нечетных n B= A и нормированные волновые функции имеют вид:

197

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

При четных n B= – A и нормированные волновые функции принимают вид:

Поскольку функции un (x) не зависят от знака n (если не учитывать несущественное изменение знака функции в (53.13)), отрицательные значения n можно не принимать во внимание. Волновые функции и энергии четырех низших состояний имеют вид:

Графики этих функции даны на рис. 53.1.

Теперь рассмотрим прямоугольную потенциальную яму конечной глубины. Потенциал ямы дается выражением:

Потенциал инвариантен по отношению к операции инверсии. Поэтому решения уравнения Шрёдингера должны быть либо четными, либо нечетными функциями x. Введем обозначения:

Решая уравнение Шрёдингера (53.3) с потенциалом (53.15), получим для четных функций:

198

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

а для нечетных функций:

Амплитуды внутри и вне ямы получены из условия непрерывности u(x) в точке x = a. Кроме того, использовалось условие нормировки

В точке сшивания x = a должна быть непрерывна не только волновая функция u(x), но и ее производная u′(x). Из этого требования получаем для четных функций:

С помощью (53.16), (53.20) и (53.21) можно упростить выражения для нормировочных констант:

Введем обозначение C= k0a. Тогда, используя (53.16), можно записать уравнения (53.20) в виде:

для четных решений, а уравнения (53.21) в виде

для нечетных решений. При заданных потенциале и ширине ямы величина C постоянна: C2 Ua2. Из (53.23) и (53.24) можно найти ka, а следовательно, и энергии электронных состояний в яме (см. формулы

(53.16)):

199