ОФТТ / Физика твердого тела - Перлин

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Это и есть соотношение Лиддена-Сакса-Теллера.

Фигурирующие в правой части (28.19) статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости удовлетворяют неравенству ε0 > ε∞ , т.к. статическая диэлектрическая проницаемость ε0 включает

вклады «быстрой» (электронной) и «медленной» (решеточной) подсистем, а высокочастотная диэлектрическая проницаемость ε∞ включает

вклад лишь «быстрой» подсистемы. Поэтому, согласно (28.19) ωl >ωt .

Выведем выражение для дисперсии диэлектрической проницаемости. Имеем:

110

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 28.1. Дисперсия диэлектрической проницаемости в ионном кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке[1]

Если диэлектрическая проницаемость ε вещественна, то коэффициент отражения света от кристалла

2

= ε −1

r . (28.23)

ε +1

Рис. 28.2. Дисперсия действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости для ZnS (а) и KCl (б)[1]

111

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

При ε →∞ r →1. Таким образом, при ω =ωt излучение полностью от-

ражается. Эффект усиливается с помощью последовательных отражений от граней кристалла. При n отражениях интенсивность луча уменьшает-

ся в 1rn раз. После большого числа отражений останется лишь свет с ω ≈ωt . Это так называемые остаточные лучи (Reststrahlen).

Таблица 28.1

Статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости и энергии

поперечных оптических фононов в щелочно-галоидных кристаллах

§ 29. Взаимодействие оптических фононов с фотонами

Рассмотрим совместное решение уравнений Максвелла с уравнениями колебаний решетки:

Ищем решения, соответствующие поперечным колебаниям, F q , счи-

тая, что характер электростатического поля такой же, как в свободном пространстве:

112

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Получим:

Пронумеруем переменные следующим образом: 1: Fx , 2: Px , 3: H y , 4: Wx.

Решение системы (29.3) существует, если ее детерминант равен нулю:

Умножая обе части (29.5) на c2 , получим

ω4 (1+ 4πγ22 )−ω2 (γ11 + 4πγ122 + 4πγ11γ22 + c2q2 )+ c2q2γ11 = 0

или

Решая (29.6), получим:

113

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Дисперсионные зависимости, соответствующие (29.7), схематически изображены на рис. 29.1. По существу, на этом рисунке показана дисперсия новых квазичастиц, построенных из фотонов и поперечных оптических фононов. Такие составные квазичастицы называются поляритонами. В данном случае мы имеем дело с фотон-фотонными поляритонами. Существует множество типов поляритонов – экситонфотонные, плазмон-фотонные и т.д.

Рис. 29.1. Дисперсия двух ветвей спектра фонон-фотонных поляритонов

Вернемся к закону дисперсии, показанному на рис. 29.1. Согласно (29.8) нижняя поляритонная ветвь при малых значениях волнового вектора q совпадает с законом дисперсии низкочастотных фотонов

ω− = cq ε0 , а при больших q ω− приближается к частоте поперечных

оптических фононов. Частота верхней ветви при малых q совпадает с частотой продольных фононов ω+ =ωt , а при больших q верхняя ветвь

совпадает с законом дисперсии фотонов ω+ = cq ε∞ . При значениях

114

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

частоты ωt <ω <ωl поперечные волны в среде распространяться не могут.

§ 30. Рассеяние нейтронов

Наиболее распространенным методом получения информации о колебательных спектрах кристаллов является неупругое рассеяние тепловых нейтронов, которые могут быть получены при замедлении нейтронов с энергией около 2 МэВ, возникших при расщеплении тяжелых ядер. Энергии медленных (тепловых) нейтронов сопоставимы с температурой порядка комнатной. Поскольку дебройлевская длина волны таких нейтронов оказывается порядка 1Å, они должны испытывать дифракцию на кристаллической решетке.

В приведенных ниже формулах величины со штрихом и без штриха относятся к состояниям системы до и после рассеяния нейтрона. Закон сохранения энергии при рассеянии нейтронов с импульсом p и энергией E имеет вид:

т.е. суммарное изменение энергии нейтрона и рассеивающей среды должно быть равно нулю. Закон сохранения квазиимпульса выглядит следующим образом:

где g — вектор обратной решетки.

При бесфононном рассеянии, записывая импульс падающего нейтрона в виде p = k , а импульс рассеянного нейтрона p′ = k′, получим

k′ = k + g , что совпадает с условием Лауэ.

Упруго рассеянные нейтроны могут быть обнаружены лишь в направлениях, удовлетворяющих условиям Брэгга. Информация о кристаллической решетке оказывается, в принципе, той же, что может быть получена при рентгеновском рассеянии.

Рассмотрим далее однофононное рассеяние. В случае поглощения фонона имеем:

В случае испускания фонона:

Частоты колебаний являются периодическими функциями в обратной решетке:

115

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Два закона сохранение для энергии и импульса можно объединить в одном уравнении:

Обычно в эксперименте заданы величины E и p. Если считать закон дисперсии известным, то остаются три неизвестные величины: компоненты импульса рассеянного нейтрона p′. Они связаны одним уравнением. Если решение этого уравнения существует, то им определяется поверхность (или несколько поверхностей в p′-пространстве). Если направление p′ задано, то решение определяет одну точку (или несколько точек) на поверхностях, т.е. рассеянные в однофононных процессах нейтроны можно обнаружить лишь при дискретном наборе значений p′ или E′. Зная энергию и направление, в котором вылетают рассеянные нейтроны, можно найти p–p′ и E–E′, т.е. найти одну точку в законе дисперсии ωs (q) . Варьируя энергию падающих частиц, ориентацию кри-

сталла и направление детектирования, можно, в принципе, восстановить весь фононный спектр.

При рассмотрении двухфононного рассеяния мы ограничимся для простоты лишь случаем поглощения двух фононов:

По сравнению с аналогичным уравнением для однофононного случая появляется лишний параметр (q), который может меняться непрерывно в пределах зоны Бриллюэна. Поэтому рассеянные нейтроны обладают непрерывным спектром энергий.

На рис. 30.1 показана зависимость количества рассеянных в заданном направлении нейтронов от изменения их энергии. Сплошная плавная линия соответствует фону, возникающему из-за процессов с участием двух и более фононов. Вертикальные линии соответствуют пикам, обусловленным однофонононным рассеянием. Ширины пиков (штриховые линии) обусловлены конечностью времен жизни фононов.

116

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 30.1. Зависимость числа рассеянных в фиксирован-

ном направлении нейтронов от переданной при рассеянии энергии[1]

Рассмотрим далее квантовую теорию рассеяния нейтронов. В качестве гамильтониана взаимодействия используем т.н. псевдопотенциал Ферми:

где R — координата нейтрона, Rj — координаты атомов. Полное сечение

рассеяния (на один атом в борновском приближении) равно 4πυ2 . Псевдопотенциал Ферми описывает рассеяние нейтронов атомными ядрами.

Существует и другой механизм, ответственный за рассеяние нейтронов. Этот механизм связан с флуктуациями спиновой плотности (ФСП) электронов и наличием у нейтронов магнитного момента. Эффективность этого механизма связана с электрической нейтральностью ФСП, которые в отличие от обычных флуктуаций плотности заряда не экранируются. С механизмом ФСП связан ряд и ряд оптических эффектов, в т.ч. рассеяние света с переворотом спина электрона, а также оптический эффект Фарадея в полупроводниках.

Матричный элемент рассеяния нейтронов из состояния k в состояние k′ равен:

где q = k′ −k , Ω – объем кристалла.

Вероятность перехода, в результате которого рассеивающей системе (кристаллической решетке) передается от нейтрона импульс q и

энергия ω = E − E′, а система переводится из начального состояния 0 ,

117

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

сравными нулю числами заполнения фононов, в конечное состояние s

содним или несколькими фононами, равна:

Здесь учитывается тот факт, что в отсутствие взаимодействия (30.9) волновая функция системы «кристалл+нейтрон» равна произведению волновых функций кристалла и нейтрона.

Если учесть распределение решетки по начальным состояниям s′:

Для расчета дифференциального сечения нужно вычислить скорость переходов в интервал конечных состояний dk′:

Выразим dk′ через элемент dγ телесного угла и переданную энергию

ω :

где F(q,ω) называется динамическим форм-фактором системы. Из

(30.10), (30.11), (30.17) и (30.18) получим:

118

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

изδ функции

где ωss′ = Es − Es′ . После выполнения элементарных операций получим:

где 0 обозначает среднее значение оператора 0.

С помощью (30.25)-(30.28) преобразуем (30.24) к виду:

119