ОФТТ / Физика твердого тела - Перлин

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Очевидно, что обменный член представляет собой нелокальный потенциал вида:

В модели свободных электронов обменный член легко вычисляется. Имеем:

Выполним интегрирование по dr′. Получим q = k – k′. Подставляя это значение q в оставшиеся после интегрирования сомножители в (25.61), получим следующее выражение для обменного члена:

где χ (y) по-прежнему определяется формулой (25.15). Полная энергия электронного газа представляет собой сумму кинетической и обменной энергии:

Вычисляя суммы в правой части (25.63), получим:

где Nel полное число электронов. Энергию, приходящуюся на 1 электрон, запишем в виде:

В металлах, где обычно 2<rs <6, кинетическая и обменная энергия электронов сопоставимы по величине.

90

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

Рис. 25.8. Энергия Хартри-Фока при rs = 4 (нижняя кривая)[1]

Вводя w = kkF , представим энергию Хартри-Фока в виде:

Энергия Хартри-Фока при rs = 4 дается на рис. 25.8, где верхняя кривая представляет собой энергию невзаимодействующих электронов. Обменный член не только существенно понижает энергию электронов, но и значительно увеличивает глубину зоны (от 1 до 2.33 в используемых здесь единицах). Глубиной зоны мы называем расстояние по энергии от ее дна до уровня Ферми.

ГЛАВА 6. КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ

§ 26. Теплоемкость решетки

В этом разделе мы используем представление о колебаниях решетки как о газе фононов, характеризуемых волновым вектором q и поляризацией

s(s=1,2,3). Частота и энергия фонона равны, соответственно, ωs (q) и

ωs (q).Фактически представление о фононах будет введено в следую-

щих разделах.

Полная внутренняя решетки, определяемая колебаниями, равна

91

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где средние числа заполнения nq,s даются распределением Планка:

совпадающим с распределением Бозе-Эйнштейна при значении химпотенциала μ=0. При высоких температурах, когда ωs (q)(kBT ) <<1,

сумма в правой части (26.1) равна 3NkB T, т.к. число всех мод равно 3N, где N – число атомов решетки. Теплоемкость решетки определяется соотношением

При высоких температурах

и не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти). В расчете на один грамм-атом (число атомов в грамм-атоме равно 6,062 1023) теплоемкость CV =5,96 кал/град и одинакова для всех веществ. При низких температурах закон Дюлонга и Пти не выполняется, в чем мы вскоре убедимся.

Пусть число нормальных мод колебаний кристалла между значе-

ниями ωsq и ωsq +dωsq составляет gp h (ωs q )dωs q . Поскольку полное число всех мод равно 3N, имеем следующее условие нормировки для

функции плотности фононных состояний:

где интеграл берется по всей области собственных частот кристалла. Теперь внутреннюю энергию решетки можно представить в виде:

Задача сводится, таким образом, к определению функции плотности фононных состояний gph(ω). Простейшая модель колебательного спектра была предложена А. Эйнштейном в 1906 г. В этой модели частоты всех колебаний одинаковы:

В случае металла можно предположить, что ионы, взаимодействующие по закону Кулона, колеблются с частотой порядка плазменной

92

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где z – валентность, M – масса иона, Ω0 – объем элементарной ячейки. По порядку величины ωp~1012 с-1. Если разделить потенциальную энергию осциллятора между тремя степенями свободы, приходящимися на 1 ион, то получим оценку ωE ≈ωp /√3.

С помощью (26.6) и (26.7) получим

При высоких температурах (y << 1) получаем снова CV = 3NkB (т.е. закон

Дюлонга и Пти). Однако при низких температурах (y >> 1) эйнштейновская теплоемкость спадает по экспоненте

что совершенно не согласуется с экспериментальными данными. Гораздо более удачная модель была предложена в 1912 г. П. Деба-

ем. В этой модели предполагается, что частота фонона линейно зависит от волнового вектора:

где cs – скорость звука. Кроме того, имеется максимальное допустимое волновое число qD (дебаевское волновое число), которому соответствует максимальная частота колебаний ωD = csqD . Вычисление qD формально

похоже на вычисление граничного волнового числа Ферми kF: 3N нормальных мод помещаются в объем Ω в обычном пространстве и в сферу в q-пространстве с радиусом qD:

93

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

причем множитель 3 в правой части соответствует трем возможным поляризациям колебаний. Из (26.14) следует, что

При N/Ω=1023 см-3 имеем qD ≈2 108 см-1, т.е. величину порядка размера зоны Бриллюэна, минимальная длина волны фононов λD =2π/qD имеет, соответственно, порядок постоянной решетки, а дебаевская частота при типичной скорости звука cs=5 105 см/с равна ωD ≈1014 c-1.

Для плотности состояний имеем:

При высоких температурах xD << 1, ex –1 ≈ x и интеграл в (26.19) равен (1/3)(θD /T)3 . Тогда, как и следовало ожидать, получим закон Дюлонга и Пти CV = 3NkB . При низких температурах xD >> 1. С учетом того, что

получим

94

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

ласти температур. Следует отметить, что для очень многих твердых тел эта зависимость удивительно хорошо (для такой простой модели) описывает экспериментальные данные.

CV 9 kB N

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

T 0.5 1 1.5 2 2.5 3 θD

Рис. 26.1. Зависимость дебаевской теплоемкости от температуры

Представляет определенный интерес связь между моделями Эйнштейна и Дебая. Можно в некотором смысле считать, что эйнштейновская частота ωE соответствует неэкранированному взаимодействию между ионами. Если все же ввести экранирование, то формально следует заменить e2 в формуле (26.8) на e2/ε.

В статическом пределе при малых q диэлектрическая проницаемость дается формулой (25.22) ε(q) =1+κFT2 q2 .Подставляя это в выра-

жение для эйнштейновской частоты, получаем при q→0 спектр дебаевского типа:

Величина uB-S = 3us называется скоростью звука Бома-Стейвера. Имеем:

95

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где vF – скорость электронов с граничным волновым числом Ферми. Соответствующая аппроксимация дебаевской температуры θD называется дебаевской температурой в модели желе:

θJ = ωp . (26.23)

ε

kB 3 (qD )

Модель желе вполне удовлетворительно описывает экспериментальные значения дебаевской температуры для переходных металлов.

§ 27. Колебания трехмерной решетки

Пусть в элементарной ячейке имеется r атомов. Эти атомы пронумерованы индексом h: 1≤h≤r. Положение ячейки задается вектором ρ={nx ax ,ny ay ,nz az } (это может быть, например, положение ее центра). Здесь nx ,ny ,nz — целые числа (или нули), ax ,ay ,az — базисные векторы решетки. Совокупность величин nx ,ny ,nz можно рассматривать как компоненты некого вектора n={nx ,ny ,nz }. Совокупность значков h и

nx ,ny ,nz обозначим через a: a={h, nx ,ny ,nz }.

Используем граничные условия Борна-Кармана. В качестве основного объема кристалла выбираем куб со стороной L. Вдоль каждой сто-

где Ra — координаты a-го атома, Ma — его масса.

Потенциальная энергия решетки V может быть представлена в виде разложения в ряд по степеням ua = Ra − R(0)a отклонений атомов от их положений равновесия:

96

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

где α — нумерует декартовы координаты, R, R0 — совокупности всех

Ra и R(0)a .

Минимум U(R) соответствует устойчивому равновесию. Фигурирующая в (27.2) величина U(R0) — аддитивная константа. Ее можно исключить из рассмотрения надлежащим выбором начала отсчета энергии. Коэффициенты разложения в правой части (27.2) равны:

Гамильтониан системы в гармоническом приближении имеет вид:

Постараемся привести выражение гамильтониан H к диагональному виду, убрав перекрестные члены. Для этого надо ввести нормальные координаты:

ua = 1 ∑{ζh (q,s)η(q,s,t )eiq ρ}, (27.8)

N q,s

где s — номер моды, ζh (q,s) — векторы, которые и надо выбрать так,

чтобы не было перекрестных членов, η — новые координаты, вообще говоря, комплексные, q — волновой вектор, qx =2πmx /L и т.д., благодаря периодическим граничным условиям.

В силу вещественности смещений ua

Kq,q′,s,s′,h = Mhζhα (q,s)ζhα (q′,s′)η(q,s,t )η(q′,s′,t ).

97

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

т.е в выражении для кинетической энергии осталось выполнить диагонализацию лишь по s и s′.

Далее введем вместо ρ и ρ′ новые координаты ρ1 и ρ2: ρ1=ρ–ρ′, 2ρ2=ρ+ρ′ (и, соответственно, n1=n–n′, 2n2=n+n′). Теперь запишем формулу для потенциальной энергии:

где величина в правой части называется динамической матрицей. Тогда

т.е члены с различными q и здесь не перемешиваются. Остается справиться с перемешиванием членов, у которых различны s и s′. Для этого достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

h

98

Физика твердого тела. Оптика полупроводников, диэлектриков, металлов

(Весьма громоздкое доказательство этого см. в [16], Приложение IX.) Легко убедиться в том, что при выполнении условий (27.17),

(27.18) исчезают перекрестные члены из выражений для кинетической и потенциальной энергии.

Из определения динамической матрицы следует, что:

Такие же соотношения справедливы и для детерминанта этой матрицы, ее собственных значений и собственных векторов:

Потенциальная энергия инвариантна относительно смещений u0 решетки как целого. То же относится к производным (никаких сил при таких смещениях не возникает).

Теперь нужно вернуться к решению задачи на собственные значения (27.17). Поскольку матрица D эрмитова, то ωs2 — вещественные величины и ωs2 > 0.

Введем следующее условие нормировки:

99