Глава 1. Теория напряжений 133

1.1. Внешние силы 133

В процессе обработки металлов давлением участвуют деформируемый металл и инструмент. Наша задача - определить их взаимодействие. 133

Взаимодействие обрабатываемого тела и инструмента можно рассматривать с точки зрения его величины, направления, продолжительности. С точки зрения величины и направления взаимодействие удобно выражать силой. Известно, что силы - векторные величины, которые интуитивно можно представить как давление или тягу. 133

В механике твердого деформируемого тела под внешней силой понимают воздействие окружающей среды на тело, стремящееся изменить состояние его покоя или движения. Здесь под окружающей средой подразумевают другие тела и поля, например, поле тяготения земли, магнитное поле и т. д.Внешние силы классифицируются по нескольким признакам. Так, зависимости от места расположения точек приложения силы делятся на поверхностные и объемные (массовые). По продолжительности действия внешние силы подразделяются на постоянные и временные, например, вес моста - сила постоянная, поезд, движущийся по нему, - сила временная. По характеру изменения величины внешние илы делятся на статические и динамические. Статическими будут кие силы, когда изменение их величины настолько мало, что ускорением точек тела и их инерцией можно пренебречь. Если ускорение велико и им нельзя пренебречь, силы - динамические. Динамические силы могут изменяться большое число раз, их Называют циклическими, повторно-переменными, вибрационными. Если же они прикладываются на очень короткий промежуток Времени, то силы будут ударными. 134

По способу воздействия силы бывают активными и реактивными. Активные силы возникают от действия машин (прокатных станов, гидравлических прессов, молотов) и передаются обрабатываемому металлу при помощи инструмента. В процессе деформирования на металл воздействуют не только активные силы, но и сопротивление неподвижных частей инструмента, которые являются связями, ограничивающими движение деформируемого тела. Воздействие связей на твердое деформируемое тело можно представить как воздействие некоторых сил, которые называют реакциями связей (реактивными силами). 135

В механике твердого деформируемого тела под внешней силой понимают воздействие окружающей среды на тело, стремящееся изменить состояние его покоя или движения. Здесь под окружающей средой подразумевают другие тела и поля, например, поле тяготения земли, магнитное поле и т. д.Внешние силы классифицируются по нескольким признакам. Так, зависимости от места расположения точек приложения силы делятся на поверхностные и объемные (массовые). По продолжительности действия внешние силы подразделяются на постоянные и временные, например, вес моста - сила постоянная, поезд, движущийся по нему, - сила временная. По характеру изменения величины внешние илы делятся на статические и динамические. Статическими будут кие силы, когда изменение их величины настолько мало, что ускорением точек тела и их инерцией можно пренебречь. Если ускорение велико и им нельзя пренебречь, силы - динамические. Динамические силы могут изменяться большое число раз, их Называют циклическими, повторно-переменными, вибрационными. Если же они прикладываются на очень короткий промежуток Времени, то силы будут ударными. 136

По способу воздействия силы бывают активными и реактивными. Активные силы возникают от действия машин (прокатных станов, гидравлических прессов, молотов) и передаются обрабатываемому металлу при помощи инструмента. В процессе деформирования на металл воздействуют не только активные силы, но и сопротивление неподвижных частей инструмента, которые являются связями, ограничивающими движение деформируемого тела. Воздействие связей на твердое деформируемое тело можно представить как воздействие некоторых сил, которые называют реакциями связей (реактивными силами). 137

Если деформируемое тело соприкасается с поверхностью инструмента, ограничивающей перемещение точек тела, то реакции связей при отсутствии трения будут направлены по нормали к поверхности в сторону тела. На рис.2 показана схема волочения проволоки, где сила N представляет воздействие стенок инструмента на деформируемый металл и является реактивной силой, а сила волочения Рш>1 -активной силой. 137

138

Рис. 2 138

К реакциям связей относятся также силы трения, возникающие в местах соприкосновения деформируемого металла со стенками инструмента. Сила трения Т располагается в плоскости, касательной к точкам соприкосновения деформируемого металла со стенками инструмента, и направлена в сторону, противоположную движе­нию (рис.2). В результате сложения с силами трения реакции связей R отклоняются от направления нормали к поверхности инструмента в сторону, противоположную движению металла. Силы, распределенные по всему объему твердого деформиру­емого тела V, называются массовыми (объемными) силами. Если F - главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы ∆m, то плотность массовой силы в данной точке 138

139

На малую частицу объемом dV с массой pdv действует массовая сила dF = р / dV , а для всего объема F главный вектор массовых сил равен 139

,где р - плотность сплошной среды. Примерами массовых сил являются силы тяжести и инерционные силы, силы магнитного притяжения. 139

В процессах обработки металлов давлением основную роль играют поверхностные силы. Если ∆Рn - усилие, приходящееся на элементарную площадку ∆S с вектором внешней нормали п к поверхности тела, то плотность поверхностных сил (давление) равна 139

139

Главный вектор поверхностных сил, действующих на конечный объем V сплошной среды, который ограничен поверхностью S, равен Р„ = \\°nds . 139

1.2. Внутренние силы. Напряжения 139

Под действием внешних сил в твердом деформируемом теле возникают внутренние силы, которые связаны с тем, что реальное тело сопротивляется изменению расстояния между частицами. 139

Оценить в расчетах, как изменяются связи в металле под действием внешних сил, практически не удается. Исключительная сложность явлений вынуждает идти на идеализацию обшей схемы процесса. Одной из таких идеализаций является понятие о напряжениях, которые статистически отражают внутренние связи между частицами металла. Как известно, напряжение представляет собой плотность внутренних сил или интенсивность внутренних сил, действующих между частицами сплошного тела по воображаемым плоскостям. 140

Напряжения, возникающие в деформируемом теле под действием внешних сил, определяются с помощью метода сечений. Положим, что в твердом теле, находящемся в равновесии под действием внешних сил, требуется определить напряжение в некоторой произвольной точке А (рис.3). Для этого мысленно сечем тело плоскостью через т. А 140

140

Положим, что равнодействующая сил, действующая на элементарную площадку ∆S , выделенную в окрестности точки А, равна ∆ Р. Тогда напряжение в точке А будет 141

141

Напряжение как векторную величину можно разложить на составляющие, параллельные координатным осям Рnx, Рny, Рnz. Индекс n указывает на то, что напряжения определены на площадке с нормалью n , а второй индекс указывает ось, параллельна которой проекция напряжения Р. 141

Очевидно, что напряжение зависит от направления сечения, проведенного через точку А. Через точку А можно провести множество сечений, а поэтому и векторов напряжений в точке будет бесчисленное множество. Причем каждое из них будет соответствовать определенному сечению, направление которого принято задавать направлением внешней нормали n (рис.3). Это бесчисленное множество векторов и будет характеризовать напряженное состояние точки тела. В такой постановке вектор оказывается непригодным для описания напряженного состояния сплошной среды в точке. К счастью, для того чтобы полностью описать напряженное состояние в точке тела, нет необходимости рассматривать все векторы. Это можно сделать, задавая векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках около точки, параллельных координатным плоскостям. 141

Если рассмотреть сечение, параллельное координатной плоскости ZOY, то составляющие напряжения Рx (проекции) будут σxx, τxy, τxz (рис.4, а), где σxx (или σx) - нормальное напряжение, направленное по нормали к площадке, τxy, τxz - касательные напряжения, параллельные осям Y и Z. 142

Для сечений, параллельных координатным плоскостям ZOY, XOY, составляющие напряжений соответственно будут σy, τyz, σz, τzy, τzx (рис. 4,б, в). 142

Таким образом, напряженное состояние в точке А может быть определено тремя векторами напряжений, действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярных координатным осям. Каждый из этих векторов можно разложить на нормальное и два касательных напряжения (рис. 5). 142

Для площадок по направлениям, параллельным координатным осям, имеем 9 скалярных величин компонент напряжения: σx, σy, σz, τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz, характеризующих напряженное состояние в точке. Нормальные напряжения принято считать положительными, если они растягивающие, и отрицательными, если они сжимающие. Касательные напряжения положительны, если они дают положительную проекцию на соответствующую координатную ось. 142

В системе СИ напряжения выражаются в мегапаскалях (МПа) или Н/мм2 (1 МПа = 1 Н/мм2). Наряду с ними по прежнему широко используется размерность напряжений в металлических телах кгс/мм2 (1 кгс/мм2 = 9,8 Мгп ≈ 10 МПа ≈ 10 Н/мм2). 142

1.3. Индексные обозначения 146

Индексные обозначения позволяют наглядно и кратко пред­ставить многие величины и выражения. Смысл этих обозначений в том, что к основным буквам (или букве) одночленного выражения добавляются нижние буквенные индексы, например, Сij, Aij, Bj. 146

По правилам индексных обозначений один и тот же буквенный индекс может встречаться в каждом члене только один раз или два раза. 147

Если индекс используется один раз (неповторяющийся индекс), то он пробегает значения 1,2,...,N, где N- заданное положительное целое число. 147

Неповторяющиеся индексы называются свободными. 147

Если индекс в обозначении используется дважды, то подразу­мевается, что по этому индексу производится суммирование от 1 до N (правило суммирования Эйнштейна). При этом знак суммы опускается. Повторяющиеся индексы называются немыми. Сумма не меняет своего значения, если заменить немой индекс другой буквой: 147

aibi=akbk'=anbn . 147

В тех случаях, когда немых индексов несколько, суммирование производится по каждому немому индексу. В качестве индексов используют латинские буквы i,j, k, l, m, n,... 147

Обычное физическое пространство является трехмерным, поэтому при использовании в этом случае индексных обозначений размерность индекса равна трем (N= 3). 147

Декартовы координаты х, у, z будем обозначать соответственно через x1 , х2, х3 соответственно и записывать их как xi, где индекс i принимает значения 1, 2, 3. Вместо индекса i можно взять любую другую латинскую букву, например j, где j —1, 2, 3. В трехмерном пространстве имеем 147

aij=∑aij=a11+a22+a33 , 147

aibi=∑aibi=a1b1+a2b2+a3b3. 147

В некоторых обозначениях широко используется символ Кронекера 147

148

Задача 1. Требуется записать в развернутой форме уравнение 148

Sj = σijni . 148

Решение. В правом выражении индекс i немой. По нему проводим суммирование по значениям 1, 2, 3. Получим 148

Sj = σ1j n1 + σ2jn2+σ3jn3 . 148

Приняв последовательно j = 1,2,3, имеем три уравнения: 148

j = 1 S1 = σ11n1 +σ21n2+σ31n3 , 148

j = 2 S2 = σ12n1 +σ22n2+σ32n3 , 148

j = 3 S3 = σ13n1 +σ23n2+σ33n3 148

Задача 2. Требуется записать в развернутой форме уравнение 148

σn=σijninj 148

Решение. В одночленном выражении два немых индекса i и j, следовательно, проводится двойное суммирование. Вначале проведем суммирование по индексу i (i=1, 2, 3), затем по индексу j(j= 1, 2,3): 148

σn=σijninj=σ1jn2nj+σ2jn2nj+σ3jn3nj = σ11n1n1+σ12n1n2+σ13n1n3+σ21n2n1+ σ22n2n2+ σ23n2n3+ σ31n3n1+ σ32n3n2+ σ33n3n3. 148

Задача 3. Записать в развернутой форме выражение 148

Sij=σij – σδij 148

Решение. Запись обозначает совокупность величин З2 = 9 величин: S11, S12, S13, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33. Соответственно получим девять уравнений: 148

S11= σ11 - σ, S21= σ21, S31= σ31, 148

S12= σ12, S22= σ22- σ, S32= σ32, 149

S13= σ13, S23= σ23, S33= σ33- σ. 149

Задача 4. Даны уравнения в развернутом виде. 149

Sx=σxxnx+σxyny+σxznz, 149

Sy=σyxnx+σyyny+σyznz, 149

Sy=σzxnx+σzyny+σzznz. 149

Записать их в тензорном виде. 149

Решение. Вначале перейдем от декартовых обозначений координатных осей к тензорным обозначениям. Имеем три уравнения: 149

S1=σ11n1+σ12n2+σ13n3, 149

S2=σ21n1+σ22n2+σ23n3, 149

S3=σ31n1+σ32n2+σ33n3. 149

Из уравнения видно, что в их состав входит девять чисел: σ11, σ12, σ13, σ21, σ22, σ23, σ31, σ32, σ33. Обозначим их как σij. Так как второй индекс в обозначении σij совпадает с nj, то 149

S1= σij nj. 149

1.4. Тензор напряжений 150

Тензоры - это инвариантные объекты, не зависимые от выбора системы координат. Компоненты тензора при изменении координатной системы меняются по определенному линейному закону. 150

Все скалярные и векторные величины можно рассматривать как тензоры. 150

Тензор характеризуется определенным рангом. Наиболее простым является тензор нулевого ранга. Он представляет собой скалярную величину, и его единственная компонента не меняет своего значения при преобразовании координатной системы. Пример тензора нулевого ранга - это расстояние между двумя точками в пространстве. Эту компоненту называют инвариантом. 150

Вектор в трехмерном пространстве характеризуется компонентами (числами) а1, а2, a3 и описывается тензором первого ранга. Покажем это: возьмем две координатные системы - старую (х,у,z) и новую {x,, y,, z,) и рассмотрим в них вектор (рис.6). 150

151

Рис. 6 151

В старой системе вектор имеет компоненты ах, ау, аz , в новой - . Компоненты вектора связаны следующими соотноше­ниями: 151

ах'= ах cos(x'x) + ау cos(x'y) + az cos(x'z), 151

ау '= ах cos(y'x) + аy cos(y'y) + az cos(y'z), 151

аz '= аx cos(z'x) + ау cos(z'y) + az cos(z'z). 151

В индексной форме 151

a'i = αi'j аi, или a'i = αi'j аj, (1) 151

где αi'j - косинусы углов между старой и новой системами координат; 151

аi - компоненты вектора а в старой системе; 151

аi'- компоненты вектора а в новой системе. 151

Задача 5. В системе координат х, у, z задан вектор а = 2i + 3j - к. Определить его компоненты в системе координат х', у', z', нап­равление осей которой задано таблицей направляющих косинусов: 151

X 152

У 152

Z 152

х' 152

152

152

0 152

у' 152

152

152

0 152

z' 152

0 152

0 152

1 152

Решение. На основании (1) имеем: 153

153

153

153

В системе координат х', у', z' вектор записывается следующим образом: 153

153

Величина, характеризующаяся тремя числами, линейно преоб­разующимися по формулам (1), и есть тензор первого ранга. 153

Аналогично тензором второго ранга называется любая величина, определяющаяся девятью числами ау в прямоугольной системе координат, преобразующимися по следующему закону: 153

153

Направляющие конусы связаны между собой соотношением 153

153

В развернутом виде , при i=j= 1 153

153

Обычно компоненты тензора второго ранга записываются в виде матрицы 154

154

Число компонент тензора подчиняется следующему выражению: 154

N =Зp , 154

где N - число компонент, а р - ранг тензора. 154

При р =0, N=1; =1, N= 3; р= 2, N=9; р=4, N= 81. 154

В индексных обозначениях ранг тензора определяется только свободными индексами, например, Fikk - тензор первого ранга, Тij - тензор второго ранга, Sijlm - тензор четвертого ранга. 154

Как показано выше, напряженное состояние в точке формируемого твердого тела характеризуется девятью числами и поэтому может быть описано тензором второго ранга - тензором напряжений. 154

154

В столбцах тензора напряжений содержатся напряжения, направление которых параллельно соответственно координатным осям х, у и z, а в строках - компоненты напряжения, действующие на площадках, нормаль которых параллельна осям x,y и z соответствен­но. 154

Приняв и т.д., получим следующую запись тензора напряжений:­ 155

155

Если принять, что , то тензор напряжений становится симметричным относительно главной диагонали, а напряженное состояние в точке характеризуется только шестью независимыми компонентами . 155

Если компоненты тензора описывают свойства деформируемых материалов, то такие тензоры называют материальными. Например, с помощью тензоров второго ранга описывают свойства электропроводности, диэлектрической и магнитной проницаемости. Если компоненты тензора не отражают свойства материалов, а зависят только от внешних сил и положения площадки в пространстве, то такие тензоры называют полевыми. Тензор напряжений – это полевой тензор, описывающий напряженное состояние в точке деформируемого тела как в упругом, так и в пластическом состоянии. 155

Над тензорами можно проводить ряд операций. 155

1)Два тензора одинакового ранга равны, если равны их соответствующие компоненты Аij=Вij. 155

2)Умножение тензора на скаляр дает новый тензор того же ранга, но с компонентами, увеличенными на сомножитель λ, Κi = λMi . 155

3)Тензоры одинакового ранга можно складывать или вычитать покомпонентно Аij± Вij = Сij. 156

4)Внешнее произведение двух тензоров произвольного ранга сводится к получению нового тензора, у которого компоненты образованы умножением каждой компоненты одного тензора на каждую компоненту другого тензора. Ранг полученного тензора равен сумме рангов сомножителей: 156

5)Свертыванием тензора по двум свободным индексам называется операция, когда два индекса обозначают одной и той же буквой, при этом они становятся индексами суммирования. В результате получается тензор, ранг которого на две единицы меньше. Например, имеем тензор третьего ранга Tjjk. Заменим обозначение к на индекс j и получим тензор первого ранга Тijj. Сверткой тензора Тij будет 156

156

6)Свертыванием произведения (скалярное внутреннее умножение) называют результат операции свертывания, примененной к внешнему произведению данных тензоров с последующим свертыванием по индексам, относящимся к разным сомножителям: 156

156

1.5. Напряжения на наклонной площадке 156

При решении задач обработки металлов давлением часто требуется знать связь между внешними силами на поверхности твердого деформируемого тела и напряжениями, действующими внутри, а также между напряжениями на плоской площадке внутри тела и напряжениями на трех взаимно перпендикулярных площадках. Для установления этой связи рассмотрим тело под действием внешних сил в состоянии равновесия. Рассечем его множеством взаимно перпендикулярных сечений, параллельных координатным плоскостям, (рис. 7, а). 157

Выделенный бесконечно малый элемент на поверхности тела представляет собой тетраэдр (рис. 7,6). Криволинейную поверхность тетраэдра заменим наклонной площадкой (рис. 7в), положение которой в пространстве определяется направляющими конусами: 157

cos(n, х)=nх, 157

cos(п, у)=nу, 157

cos(п, z)=nz, 157

где - внешняя нормаль к наклонной площадке. 157

Обозначим площадь наклонной площадки ∆F. Тогда площади 157

других граней тетраэдра представляют собой проекции площадки ∆F на координатные плоскости: 158

Пусть на наклонную площадку действует вектор внешних сил . Его проекции на координатные оси: Sx, Sy, Sz. Известны также напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, параллельных координатным плоскостям, внутри тела. Выделенный тетраэдр находится в равновесии. Из условия равновесия следует, что суммы всех действующих по его граням сил на оси координат равны 0. Перейдем от напряжений к силам, умножая каждое напряжение на площадь соответствующей грани. Получим: 158

158

158

158

Откуда 159

(2) 159

Эти уравнения впервые получены Коши. Они связывают проекции на оси координат полного напряжения с напряжениями, дей­ствующими на трех взаимно перпендикулярных площадках. Суммируя компоненты Sx, Sy, Sz по правилу параллелепипеда, получим полное напряжение S: 159

159

Нормальное напряжение на наклонной площадке ап определя­ется как сумма проекций Sx, Sy, Sz на нормаль к площадке: 159

159

Полное касательное напряжение т на наклонной площадке находится по правилу параллелограмма: 159

159

По полученным формулам можно найти напряжения на любой тонной площадке, проходящей через заданную точку внутри формируемого тела, если известны в этой точке напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям. 159

Задача 6. Напряженное состояние в исследуемой точке тела задано тензором напряжений 159

160

Размерность компонент тензора приведена в МПа. Для площадки, нормаль к которой определяется направляющими косинусами = 2/3 , = 2/3 , найти полное S, нормальное и касательное τ напряжения. 160

Полное напряжение 160

160

Нормальное напряжение 160

160

Касательное напряжение 160

160

1.6. Главные нормальные напряжения 161

Среди трех взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через любую точку нагруженного тела, найдутся такие, на которых касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения - главными нормальными напряжениями. Существование главных площадок доказывается следующим образом. 161

Рассмотрим выражение для расчета σn на наклонной площадке: 161

161

После подстановки в него (2) получим ( 3) 161

Отложим от начала координат к наклонной площадке, проходя­щей через заданную точку А, радиус-вектор по направлению нормали (рис. 8.) 161

Величину радиуса-вектора возьмем обратно пропорциональной величине нормального напряжения: 161

или 161

162

Рис. 8 162

где с – произвольная постоянная, определяющая масштаб. 162

Координаты вектора : 162

162

Отсюда значения направляющих косинусов: 162

162

Представляя эти значения в уравнение (3), порлучим алгебраическое уравнение второй степени: 162

162

Полученное уравнение представляет собой поверхность второго порядка, отнесенную к центру координат - эллипсоид. В уравнении отсутствуют члены с х,у,z, определяющие смещение эллипсоида относительно начала координат. Концы радиус-вектора будут лежать на этой поверхности. Найденная поверхность называется поверхностью напряжений (эллипсоидом напряжений). 162

Изменяя направление осей координат, можно преобразовать равнение поверхности таким образом, что в нем обратятся в нули коэффициенты при членах, содержащих парные произведения координат, т.е. 163

Оси координат, при которых члены, содержащие произведение координат, обращаются в нуль, называются главными осями, а нормальные напряжения, направленные по этим осям, - главными нормальными напряжениями. Следовательно, когда за координатную систему взята система главных осей, то на координатных плоскостях, являющихся главными площадками, не будет касательных напряжений. 163

По напряжениям в данной точке можно отыскать главные напряжения и их направления. Допустим, что для данной точки наклонная площадка является главной. Тогда и полное нап­ряжение S этой площадке будет направлено по нормали (рис.9). 163

163

Обозначив искомое главное нормальное напряжение, действу­ющее на наклонной площадке, положение которой определяется пх, nу, nz, через σ и проектируя его на координатные оси, находим составляющие главного напряжения, параллельные координатным осям: 164

164

Приравнивая полученные соотношения условиям Коши, получим: 164

164

164

164

или 164

165

(4) 165

165

Полученная система может быть решена как система из трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными пх, пу, nz. С учетом тензорных обозначений запись будет выглядеть Полученная система не допускает тривиального решения, так как сумма квадратов направляющих косинусов. 165

Следовательно, система (4) будет иметь решение, отличное от нуля при условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю: 165

165

Раскрываем определитель: 165

165

Первое слагаемое этого уравнения равно 165

165

После его подстановки и преобразований получаем уравнение третьей степени относительно σ: 165

165

165

Или где - коэффициенты кубического уравнения, не изменяющие своих значений при изменении положения коорди­натных осей. Их называют инвариантами тензора напряжений. Линейный инвариант 166

166

Квадратичный вариант 166

166

Кубический инвариант 166

166

Решая кубическое уравнение, получаем три главных напряжения σ1, σ2, σ3,которые располагаются следующим образом: . Каждому главному напряжению будет соответствовать главная ось, для которой направляющие косинусы находятся из решения системы уравнений. Для 1-го главного напряжения уравнение имеет вид 167

167

Сюда же добавляется условие 167

167

Вообще, достаточно найти положение одной главной площадки, так как две другие взаимно перпендикулярны. Тензор напряжений в главных осях имеет вид 167

167

Если в обычных осях напряженное состояние в точке задается шестью числами: σx, σy, σz, σxz, σyz, σxy, то в главных осях тремя значениями главных напряжений и тремя направляющими косинусами, определяющими положение одной из главных площадок. Если напряженное состояние задано главными напряжениями, то выражения напряжений, действующих на наклонной площадке, значительно упрощаются. 167

Составляющие полного напряжения в каждой точке тела: 167

(5) 168

где n1, n2, n3 - направляющие косинусы главных площадок 1, 2 и 3 соответственно. 168

Полное напряжение 168

168

Нормальное напряжение 168

168

Касательное напряжение 168

168

Значения инвариантов тензора напряжений в системе главных осей: 168

168

Из уравнения (5) следует, что 168

168

Учитывая, что 168

168

получаем уравнение эллипсоида напряжений, отнесенное к центру и главным осям (рис.10): 168

(6) 168

Полуоси эллипсоида напряжений равны главным нормальным напряжениям. Любой отрезок от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида представляет собой величину полного напряжения S на наклонной площадке, перпендикулярной к отрезку, а проекции отрезка на оси координат равны составляющим полного напряжения по осям Sx, Sy, Sz. Эллипсоид напряжения является пространственным геометрическим образом напряженного состояния в исследуемой точке деформируемого тела. 169

Исходя из количества действующих напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках, возможны девять схем главных нормальных напряжений: линейные, плоские и объемные (рис. 11). Схемы представлены графически в виде кубиков, грани которых ориентированы в направлении действия главных напряжений. Наличие напряжения и его направление обозначаются стрелкой. 169

Если одно из главных нормальных напряжений равно нулю, то эллипсоид (6) превращается в эллипс и объемное напряженное состояние преобразуется в плоское. Если два главных нормальных напряжения равны нулю, то эллипсоид (6) превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию. Схемы, имеющие напряжения одного знака, называют одноименными, а разных знаков - разноименными. Схемы дают графическое представление о наличии и знаке главных нормальных напряжений. Они являются по предложению С.И. Губкина классификатором всех видов напряженного состояния деформируемого тела. 170

От схем главных нормальных напряжений зависит пластичность деформируемого тела и его сопротивление деформированию (усилие деформирования).Пластичность металла всегда больше в схемах со сжимающими напряжениями, чем в схемах с растягивающими напряжениями. Наибольшим сопротивлением деформированию отличаются металлы в условиях деформирования при одноименных схемах. В условиях разноименных схем, а также линейной, сопротивление деформации снижается (рис. 12). 170

171

От схем главных нормальных напряжений зависит пластичность деформируемого тела и его сопротивление деформированию (усилие деформирования). Пластичность металла всегда больше в схемах со сжимающими напряжениями, чем в схемах с растягивающими напряжениями. Наибольшим сопротивлением деформированию отличаются металлы в условиях деформирования при одноименных схемах. В условиях разноименных схем, а также линейной, сопротивление деформации снижается (рис. 12). 172

Схемы линейного напряженного состояния встречаются па практике редко. Схема линейного растяжения реализуется, например, при растяжении тела, длина которого значительно больше размеров в остальных двух измерениях (растяжение струны, канатов и т.п.). Плоская схема напряженного состояния с известным приближением может быть создана при растяжении тонкой пластины по контуру. Объемное напряженное состояние возникает почти при всех процессах обработки металлов давлением (прокатка, прессование, горячая штамповка, волочение). 173

Задача 7. Напряженное состояние в точке деформируемого тела, заданного тензором: 173

173

Определить главные нормальные напряжения и направления главных осей. 173

Решение. Для нахождения главных нормальных напряжений составим определитель: 173

173

Раскроем его по первой строке, т. е. возьмем в виде произведения элементов первой строки на алгебраическое дополнение: 173

173

Получим кубическое уравнение 174

174

Тогда 174

174

174

174

или отсюда получим корни этого уравнения: 174

174

Полученный тензор в главных осях соответствует линейному напряженному состоянию: 174

Найдем направляющие косинусы для первой главной оси. При подстановке в уравнения (4) получим следующую систему уравнений: 174

174

отсюда 174

174

Аналогично находятся nх, ny и nz, описывающие положение главных осей 2 и 3 в пространстве. 174

Задача 8. Напряженное состояние в точке, отнесенное к системе прямоугольных декартовых координат, записано в виде тензора 175

175

Величина составляющих тензора дана в кг/мм2. Нужно вычислить величину и направление главных напряжений. 175

= О 175

Решение. Одну составляющую главных напряжений можно опре­делить сразу же из данного тензора, а именно, σ1=30 кг/мм2. Нормальные составляющие напряжения можно получить из первых двух уравнений (4), когда 175

Тогда, определяя коэффициенты направляющих косинусов и задавая определитель равным нулю, получим 175

175

Отсюда 175

σ2=22,08 кг/мм2, 175

σ3=7,92 кг/мм2. 175

Направляющие косинусы можно определить, так как из урав­нений (4), а также записи тензора напряжений в данной задаче видно,что 175

176

и 176

176

Возведя в квадрат последнее уравнение и определив одновременно направляющие косинусы, получим 176

1.7. Октаэдрические напряжения 177

В теории пластичности большое значение имеют площадки, одинаково наклоненные к главным осям. В этом случае 177

177

Таких площадок четыре. С четырьмя им параллельными они образуют фигуру октаэдра (рис. 13), поэтому их называют октаэдрическими и также называют напряжения σокт и τокт, которые действуют на этих площадках. 177

177

Нормальное октаэдрическое напряжение σокт равно среднему нормальному напряжению: 178

178

Так как 178

178

Полное напряжение на октаэдрической площадке 178

178

Касательное октаэдрическое напряжение в главных осях 178

В декартовой системе координат x, y, z 178

178

1.8. Разложение тензора напряжений 179

Напряженное состояние в любой точке деформированного тела можно представить в виде суммы двух напряженных состояний: равномерного всестороннего растяжения (сжатия) и второго напряженного состояния, равного разности между полным и приведенным выше (рис. 14). 179

В тензорной записи оно заключается в разложении тензора напря­жений Тσ (рис. 14, а) на шаровой тензор Тσ° (рис. 14, б) и девиатор (рис. 14, в): 179

181

Шаровой тензор напряжений 182

182

где σср- среднее нормальное напряжение (гидростатическое давление); 182

182

не зависит от направления координатных осей х, у, z, т. е. σср является инвариантом. Причем σ1> σ 2> σ3. 182

Если напряженное состояние характеризуется шаровым тензором напряжений, то тело в процессе деформации испытывает только упругое изменение объема, а изменение формы не происходит. Схем шарового тензора может быть только две: схема равностороннего сжатия и схема равностороннего растяжения (рис.15). 182

Так как три главных напряжения равны по знаку и по величине, то эллипсоид напряжений обращается в шар. Отсюда и произошло название шарового тензора напряжений. 183

Девиатор напряжений 183

183

характеризует только напряжения, вызывающие изменение формы тела. Иногда компоненты девиатора обозначают следующим образом: 183

183

или 183

183

Составляющие девиатора в направлении оси: 183

1 - всегда будет положительной, σ1- σcp>0; 183

2 - всегда будет отрицательной, σ3- σcp>0; 183

3 - может быть больше, меньше или равна нулю. Отсюда следуют три возможных схемы девиатора напряжений (рис. 16). 183

184

Рис.16 184

Главные оси девиатора совпадают с главными осями тензора напряжений. 184

Кубическое уравнение для нахождения главных осей девиатора напряжений имеет вид 184

(7) 185

где - инварианты девиатора напряжений соответственно. 185

Так как первый инвариант девиатора напряжений 185

185

то уравнение (7) имеет вид 185

185

Особую роль в теории пластичности играет второй инвариант девиатора напряжений 185

185

Он используется для подсчета работы и мощности пластической деформации в виде интенсивности напряжений: величин, пропорциональных квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений. В зависимости от принятого коэффициента пропорциональности различают понятия интенсивности касательных напряжений 185

и интенсивности (нормальных) напряжений 185

В сокращенной тензорной записи 186

186

В системе главных осей 186

(8) 186

(9) 186

Коэффициенты пропорциональности в формулах (8), (9) выбраны так, чтобы в случае одноосного растяжения интенсивность напряжений совпадала с величиной наибольшего главного напряжения, , а в случае чистого сдвига интенсивность касательных напряжений совпадала с величиной наибольшего касательного напряжения τ. 186

Третий инвариант девиатора напряжений 186

186

Задача 9. Представить тензор напряжений в виде шарового тензора и девиатора 186

(9) 186

Решение. Среднее нормальное напряжение 187

187

Если разделить все компоненты девиатора напряжений на τокт, то получим направляющий тензор напряжений . 187

187

В результате деления компонент девиатора напряжений на τокт мы получаем безразмерные величины, поэтому новый тензор определяет только направление главных напряжений и их соотношение. Если главные оси известны, то направляющий тензор напряжений характеризуется только одним числом υσ - показателем вида напря­женного состояния: 187

(10) 187

Согласно формуле (10) для одноосного растяжения (σ1>0, σ2=σ3=0) υσ= - l, для одноосного сжатия (σ1=σ2=0, σ3<0) υσ= 1 для чистого сдвига (σ1= -σ3, σ2=0) υσ=0. 187

1.9. Главные (максимальные) касательные 188

напряжения 188

Главные касательные напряжения имеют большое значение в теории обработки металлов давлением (ТОМД). Ранее было определено, что в любой точке деформируемого тела можно найти три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. Во всех других направлениях касательные напряжения существуют и в зависимости от положения площадки будут различными по величине. Найдем положение площадок, где касательные напряжения принимают экстремальные значения. 188

Примем для заданной точки главные направления тензора напряжений σij за направления координатных осей. Тогда на наклонной площадке в главных осях касательное напряжение равно 188

После преобразований получим 188

Рассмотрим частный случай, когда n3=0. Toгда 188

Из условия связи направляющих косинусов 188

188

имеем 188

(11) 188

Тогда 188

189

Для отыскания площадки с наибольшими касательными напряжениями исследуем данное уравнение на экстремум. Для этого найдем первую частную производную по n1, и приравняем ее к нулю: 189

189

Откуда следует, что 189

189

так как 189

189

Одно из решений этого уравнения n1=0. Тогда из (11) имеем n2= ±1. Это координатная плоскость, на которой касательное нап­ряжение равно нулю. 190

Для получения решений, отличных от нуля, необходимо принять 190

190

или 190

190

Таким образом, плоскости максимальных касательных напряжений расположены под углом 45° к главным осям 1 и 2 и параллельны оси 3 (рис. 17). 190

Таких площадок две и они взаимно перпендикулярны. Касательные напряжения, действующие на этих площадках, называются главными касательными напряжениями: 190

или 191

191

Аналогично можно рассмотреть и другие частные случаи, когда n1=0 и n2=0. Повторяя полученные выше рассуждения, получим 191

191

При объемном напряженном состоянии на шести площадках, расположенных под углом 45° к главным осям, действует шесть максимальных касательных напряжений: 191

(12) 191

связанных между собой тождеством 191

(13) 191

Так как принято, что го наибольшее касательное напряжение τ13 равно алгебраической полуразности максимального и минимального главных нормальных напряжений: 191

191

Интенсивность T и τmax связаны соотношением 191

191

С погрешностью около 7% можно принять Т≈1,08τmах. Следует отметить, что на площадках, где действуют максимальные касательные напряжения, нормальные напряжения отличны от нуля: 192

192

Если то 192

Таким образом, главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений. Нормальные напряжения, действующие в площадках главных касательных, равны полусуммам главных нормальных напряжений. 192

Задача 10. Напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений в главных осях 192

192

Определить главные касательные напряжения. 192

Решение. Используя формулы (12), получим 192

На основании формулы (13) имеем 192

192

Задача11. Для напряженного состояния, представляющего собой положение трех чистых сдвигов во взаимно перпендикулярных плоскостях, определить максимальные касательные напряжения, если 193

193

Решение. Вначале определим главные нормальные напряжения, воспользовавшись кубическим уравнением 193

193

где 194

194

После подстановки компонент напряжений, получаем следующее кубическое уравнение: 194

194

где 194

194

По условию τ=40 МПа, тогда 194

σ3-14400σ-512000=0. 194

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители: 194

194

Приравнивая к нулю первый сомножитель, находим один из корней уравнения: 194

σ=-40 МПа. 194

Решив квадратное уравнение 194

194

найдем остальные два корня: 194

194

С учетом правила индексов для главных напряжений 194

σ1= 135 МПа, σ2= -40 МПа, σ3= -95 МПа. 194

Максимальное касательное напряжение 194

195

1.10. Равновесие сил и моментов 196

Для определения условия равновесия деформированного тела произвольной формы, нагруженного внешними поверхностными силами, мысленно выделим в нем бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда с длинами ребер dx, dy, dz, параллельными осям координат (рис. 18). Найдем условия, обеспечивающие его равновесие. 196

196

Рис. 18 196

Рассмотрим окрестность точки А с координатами х, у, z. Через точку А проходят три взаимно перпендикулярных площадки, напряженное состояние на которых описывается тензором напряжений 196

196

Точка А' отстоит от точки А на бесконечно малом расстоянии. Ее координаты (x+dx, y+dy, z+dz). Через точку А' проходят три взаимно перпендикулярные площадки. Согласно принятой гипотезе о сплошности среды, напряжения являются непрерывными функциями координат. В точке А σx, = f(x,y,z), в точке А' σ'х = f(x + dx,y,z). 196

Последнее выражение разложим в ряд Маклорена: 196

Ограничимся двумя членами ряда. Тогда в точке А' σ'x = 197

Таким образом, одноименные напряжения на противоположных гранях отличаются друг от друга на величину приращения по соот­ветствующей координате. Тензор напряжений для точки А' имеет вид 197

197

На рис. 19 показаны элементарный параллелепипед и напряжения, приложенные к его граням. Так как по условию элементарный параллелепипед находится в равновесии, то суммы всех сил, действующих на этот объем в направлении координатных осей, должны быть равны нулю: 197

х 197

197

Усилия, действующие на грани параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площадь соответствующей грани. Составим уравнение равновесия на ось x (рис.20). 197

Из рисунка видно, что силы σxdydz, τxydxdz, τzxdxdy на парал­лельных гранях взаимно уравновешены, следовательно, 198

199

Сокращая на объем, получим 199

199

Проецируя силы на ось Y и Z получим еще два уравнения. Окончательно имеем три дифференциальных уравнения равновесия, описывающих объемное напряженное состояние в рассматриваемой точке: 199

(14) 199

В тензорных обозначениях 199

Уравнение (14) содержит шесть неизвестных величин: три нормальных и три касательных напряжения. Число уравнений три, поэтому для нахождения компонент напряжений необходимы дополнительные условия. 199

Кроме поверхностных сил, действующих по граням параллелепипеда, к нему могут быть приложены объемные (массовые) силы. Обозначим проекции объемной силы, приходящейся на единицу массы, через Fx, Fy, Fz. Тогда проекции объемной силы на весь объем выделенного параллелепипеда будут 199

FxpdV, FypdV, FzPdV. 199

Уравнения равновесия с учетом массовых сил имеют вид 199

(15) 200

Или 200

200

Если объемной силой является лишь сила тяжести, а ось z направлена вертикально вверх, то Fx=Fy=0, Fz=-g (ускорение силы тяжести), gρ (вес единицы объема тела). 200

Задача 20. Определить компоненты массовых сил Fi, если в любой точке сплошной среды выполняются уравнения равновесия (15), когда тензор напряжений задан в виде 200

200

Решение. Подставим в (15) значение вычисленное по заданному тензору. 200

200

Эти уравнения удовлетворяются при Fx= -7х2, Fy= -2, Fz=0. 200

Если деформируемое тело находится в состоянии движения, то к действующим силам нужно добавить силы инерции, взятые с обратным знаком произведениям из массы параллелепипеда на проекции ускорения: 201

201

где Ux, Uy, Uz - проекции вектора перемещения на оси х, у, z. Получим уравнения движения сплошной среды: 201

201

или 201

201

Элементарный параллелепипед dV= dxdydz находится в равнове­сии, если выполняются еще три уравнения: 201

201

Составим уравнение равновесия, например (рис. 21). 201

202

Рис.21 202

Силы, параллельные оси Y, а также силы, пересекающие ось Y, не войдут в малые третьего порядка. Например, нормальная сила на левой грани равна σxdydz, а на правой . Момент дает лишь их разность 202

202

получаем момент четвертого порядка малости и его из уравнения будем исключать. 202

Момент третьего порядка дадут только две силы: 202

или 202

Уравнение моментов относительно оси у и мест вид 202

202

Теперь отбросим бесконечно малые четвертого порядка, получим 203

203

Сокращая на объем элементарного параллелепипеда dV= dxdydz, 203

имеем 203

τzx=τxz. 203

Составив уравнения моментов относительно двух других осей, окончательно получим 203

τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz. 203

Эти уравнения определяют закон парности касательных напряжений: 203

σ ij=σji. 203

В соответствии с этим законом напряженное состояние в точке деформируемого тела описывается шестью неизвестными компонентами. Тензор напряжений является симметричным. В каждых двух взаимно перпендикулярных площадках компоненты касательных напряжений, направленные перпендикулярно к линии пересечения этих площадок, равны между собой и направлены оба к линии пересечения или оба от линии пересечения. 203

В цилиндрической системе координат (r, φ, z) обозначим компоненты напряжений через σr, σj, σz, τrj, τiz, τzr. Уравнения ста­тического равновесия имеют следующий вид: 203

204

В сферической системе координат (r, сφ, θ) дифференциальные уравнения равновесия записываются в следующем виде: 204

204

1.11. Диаграмма напряжений Мора 205

Диаграммы напряжений Мора дают наглядное графическое представление о совокупности векторов нормальных и касательных напряжений на наклонных площадках, построенных в системе главных осей. При построении диаграммы нормальные напряжения будем откладывать на оси абсцисс, а касательные по оси ординат. Нормальные напряжения в главных осях: 205

(16) 205

Полное напряжение 205

(17) 205

Направляющие косинусы связаны соотношением: 205

(18) 206

Получаем линейную относительно n12 систему всех уравнений (16)-(18). Умножим обе части уравнения (16) на σ2+σ3: 206

(19) 206

а уравнение (18) умножим на σ2σ3: 206

(20) 206

Из уравнения (17) почленно вычтем уравнение (19) и, прибавив почленно уравнение (20), получим: 206

206

206

Прибавляя к обеим частям полученного уравнения после преобразования получим: 206

(21) 207

Записанное уравнение (21) определяет окружности вида (x-x0)2+y2=R2. Их центры расположены на оси абсцисс и отстоят от начала координат на расстоянии (рис. 22). В правой части уравнения (21) n1, n2, n3 - это изменяемые параметры, поэтому каждое из уравнений (21) - это уравнение концентрических окружностей с радиусами 207

207

208

Рис.22 208

Первое уравнение системы (21) определяет в виде окружностей геометрическое место точек σn и τn для заданного значения n1. То же самое справедливо и для двух других уравнений системы. Для заданных значений направляющих косинусов n1, n2, n3 и главных нормальных напряжений σ1, σ2, σ3 величины σn и τn определяются точкой К на пересечении трех окружностей радиусами R1, R2, R3, при n1=n2=n3=0 радиусы окружностей равны: 208

208

Как видно из первого и третьего уравнения системы (21), при увеличении n1 и n2 радиусы соответствующих окружностей увеличиваются. Это означает, что возможные пары значений σn и τn находятся или на окружностях радиуса R1 или R3, или вне их, но не могут располагаться внутри. Если увеличивать n2 (второе уравнение системы (20)), то R2 уменьшается и пары σn и τn находятся внутри окружности R2. Таким образом, заштрихованная область - это область значений σn и τn на произвольных наклонных площадках (рис. 23). 209

Из формулы (21) видно, что максимальные касательные напряжения численно равны радиусам кругов. При наложении на тело всестороннего равномерного давления радиусы окружностей не меняются, и все построения смещаются относительно горизонтальной оси σn. 209

Шаровой тензор напряжений отображается на диаграмме Мора окружностью нулевого радиуса (т. е. точкой), расположенной на расстоянии σср от начала координат. 209

210

Рис. 23 210

1.12. Выводы 211

В этой главе рассмотрены вопросы теории напряжении. Напряженное состояние в исследуемой точке твердого деформируемого тела характеризуется девятью компонентами напряжений σij, заданными в произвольной системе координат, которые образуют тензор напряжений Тσ. Из девяти компонентов напряжений независимых только шесть, так как по закону парности составляющие касательных напряжений попарно между собою равны, т. е. тензор напряжений является симметричным тензором. Имея компоненты тензора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках по соотношениям Коши, можно вычислить составляющие напряжений по любым наклонным площадкам. Одновременно соотношения Коши можно рассматривать как условия на поверхности тела, если наклонная площадка совмещена с поверхностью тела. 211

Разложение тензора напряжений на девиатор и шаровой тензор обусловлено тем обстоятельством, что материалы имеют различные механические свойства по отношению к равномерному всестороннему растяжению (или сжатию) и к касательным напряжениям. Шаровой тензор напряжений характеризует объемную деформацию в точке, а девиатор напряжений - формоизменение в окрестности точки. 211

При анализе напряженного состояния точки используются следующие характерные площадки, проходящие через нее: 58 211

три главные площадки, на которых действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют; 212

шесть площадок, по которым действуют главные касательные напряжения; площадки, в которых возникают главные касательные напряжения, делят пополам прямые углы между главными площадками; 212

четыре площадки, равнонаклонные к главным осям, на которых действуют одинаковые по величине октаэдрические напряжения. 212

Геометрическим образом объемного напряженного состояния в точке деформируемого тела служит эллипсоид напряжений. Полуосями его являются главные нормальные напряжения σ1, σ2 и σ3. Поверхность эллипсоида напряжений представляет собой геометрическое место концов векторов полных напряжений в различных площадках, прохо­дящих через рассматриваемую точку. Из эллипсоида напряжений следует экстремальность главных напряжений, т. е. одно из главных напряжений является наибольшим, а другое наименьшим из всех нормальных напряжений в площадках, проходящих через рассматриваемую точку. 212

Диаграмма напряжений Мора представляет собой плоский геометрический образ напряженного состояния. Она состоит из трех полуокружностей, диаметрами которых являются разности главных напряжений. Координаты точек, лежащих в заштрихованной области между полуокружностями, представляют собой нормальные и касательные напряжения в произвольно ориентированных площадках. 212

Показатель вида напряженного состояния Лоде-Надаи характеризует с точностью до равноосного растяжения (сжатия) вид напряженного состояния. 212

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 213

1.Как делятся внешние силы, действующие на тело? 213

2.Какие силы называются активными? 214

3.Какие силы называются реактивными? 214

4.Сформулируйте понятие напряжения в точке. 214

5.Каким образом напряжение как векторную величину можно разложить на составляющие по координатным осям? 214

6.Какие напряжения действуют на площадке, перпендикулярной оси х, у, z? 214

7.Почему касательные напряжения иногда называют напряжениями сдвига? 214

8.Как выбирают знак нормальных и касательных напряжений? 214

9.Сформулируйте понятие тензора напряжений. Каков физический смысл его компонент? 214

10. Чем полевые тензоры отличаются от материальных? 214

11.Основные действия над тензорами. 214

12.Тензорные обозначения. 214

13.Что такое тензор второго ранга? 214

14.Чем определяется ранг тензора? 214

15.Как вы понимаете операцию свертывания тензора? 214

16.Что такое свободные и немые индексы? 214

17.В чем состоит правило суммирования по А. Энштейну? 214

18.Чему равен символ Кронекера? 214

19.Дайте физическое толкование главных нормальных напря­жений. 214

20.Как определить главные нормальные напряжения? 215

21.Укажите порядок нахождения главных осей. 215

22.Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных процессов обработки металлов давлением - волоче­ния, прокатки, прессования. 215

23.Что такое эллипсоид напряжений? Какой вид имеет эллипсоид напряжений для плоского и линейного напряженных состо­яний? 215

24.Для чего вводят в рассмотрение интенсивность напряжений σi и интенсивность касательных напряжений? 215

25.Как найти инварианты тензора напряжений? 215

26.Дать геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке деформируемого тела. 215

27.Схемы главных нормальных напряжений. 215

28.При каких схемах главных нормальных напряжений пластичность наибольшая, а сопротивление деформирова­нию - наименьшее? 215

29.Какие напряжения называют октаэдрическими? 215

30.Как разложить тензор напряжений? 215

31.Что характеризует шаровой тензор напряжений, девиатор напряжений? 215

32.Сформулируйте роль второго инварианта девиатора напря­жений. 215

33.Чему равны главные касательные напряжения? 215

34.Как записываются уравнения равновесия? 215

35.Можно ли по уравнениям равновесия найти напряженное состояние тела? 215

36.Сформулируйте закон парности касательных напряжений. 215

37.Что называют диаграммой Мора? Чему равны радиусы главных окружностей? 216

38.Если известна ориентация площадки, проходящей через точку, то каким образом найти σn и τn на диаграмме Мора? 216

39.Дайте определение направляющего тензора напряжений. 216

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 216

1.Даны два симметричных тензора второго ранга: 216

216

При каком значении x тензоры А и B равны между собой? Чему при этом равны а, б, в? 216

2.Записать в развернутой форме статические уравнения равновесия cил 216

216

3.В трехмерном пространстве расшифровать уравнение А = Вij пin j . 216

4.Записать в развернутой форме следующие тензорные символы: 216

216

5.Найти значения выражений, содержащих символ Кронекера: 216

216

6.Записать в развернутом виде 217

217

7.Нормальное напряжение на наклонной площадке записывается в виде 217

или 217

Дать тензорную запись этих уравнений, приняв σij = σji. 217

8.Первый и второй инварианты тензора напряжений имеют вид 217

217

Представить их в тензорном обозначении. 217

9.Приращение работы в единице объема находят из следующего выражения: 217

Представить формулу в тензорном обозначении. 217

10.Представить следующие формулы в тензорном обозначении: 217

217

11.Определить ранг тензорных величин: 217

217

12.Цилиндрический образец диаметром 10 мм подвергнут равномерному растяжению силой 10 кН. Определить напря­жения, действующие внутри образца. 217

13.Напряженное состояние в точке задано следующими составляющими, кг/мм2: 218

σх = 50, σу = -30, σz = -100, τхy = 50, τyz = 30, τzх = -40. 218

Записать тензор напряжений в системе СИ. 218

14.На рис.24 показаны напряжения в декартовой и цилиндрической системах координат. Провести индексацию напряже­ний и записать их в форме тензора напряжений. 218

15.На рис.25 показаны различные случаи напряженного состояния в телах. Провести обозначение компонент напряжений, записать их в форме тензора напряжений, указать возможные нагружения тел внешними силами. 218

16. Найти ошибки в записи тензора напряжений: 219

219

17.Напряженное состояние в некоторой точке тела задано тензором напряжений: 219

219

Определить значения полного S, нормального σn, касатель­ного τn напряжений на площадке с направляющими косинусами nx, ny, nz. 219

18.Напряженное состояние в точке тела задано в виде тензора 219

219

Определить значения полного, нормального и касательного напряжений на площадках, если: а) nx= 1/3, ny=1/3; б) nх=2/3, nу=1/3. 219

Сделать вывод по задаче. 220

19.Определить значения полного, нормального и касательного напряжений по данным таблицы: 220

20.В точке тела на его границе (направляющие косинусы nx, ny, nz заданы) известны компоненты внешнего нагружения Sx=a, Sy=Sz=0.Кроме того, известно, что возле заданной точки внутри тела τxy=τxz=σz=0. 220

Вычислить остальные компоненты напряжений. 220

21.Напряженное состояние в точке тела задано тензором: 220

220

где a, b, с – константы. 220

Определить их значения из условий, когда на площадке с направляющими косинусами пх =2/3, пу =1/3 , вектор полного напряжения S равен нулю. 220

22.Напряженное состояние в точке тела задано тензором 220

221

Определить значение k из условия, при котором на равнонаклонной площадке нормальное напряжение σп = 0. 221

23.В задаче 22 изменить условия для определения к, считая, что полное напряжение S=2σ, σn=0 . 221

24.В задаче 22 изменить условия для определения k , считая, что нормальное напряжение σn=σ . 221

25.Задано напряженное состояние в точке тела: 221

221

26.Определить компоненты массовых сил х, у, z, если в любой точке сплошной среды выполняются уравнения равновесия, когда тензор напряжений задан в виде 222

222

27. Записать тензор напряжений через его главные значения для следующих случаев: 222

а) линейное напряженное состояние; 222

б) плоское напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи); 222

в) объемное напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи). 222

28. Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров: 222

222

Определить напряжения и направления главных осей. Затем в тензорах изменить "+" на" -" и сделать вывод. 222

29. На рис.26 показаны три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через рассматриваемую точку, с действующими на них напряжениями. Вычислите главные напряжения. 222

30. Для заданного напряженного состояния (рис.27), представ­ляющего собой положение трех чистых сдвигов во взаимно перпен­дикулярных плоскостях, определить главные нормальные напряжения и максимальные касательные напряжения, если τху = τzx = 2τ и τyz= 80МПа. 223

31. На рис.28 приведены различные напряженные состояния в главных осях. Дать обозначения главных нормальных напряжений; указать вид напряженного состояния; показать площадки, на которых действуют максимальные касательные напряжения, обозначить их. 223

32. Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров: 223

223

224

Рис. 28 224

33. Для плоского напряженного состояния (σz =τzx = τzy= 0) вывести формулы для определения главных напряжений. Для этого случая записать также формулы максимальных касательных напряжений. 225

34. Вычислить величины максимальных и октаэдрических касательных напряжений, если напряженное состояние задано одним из следующих тензоров: 225

225

35. Найти выражения для расчета линейного, квадратного и кубического инвариантов тензора напряжений в главных осях для следующих случаев: 225

а) линейное напряженное состояние; 225

б) плоское напряженное состояние; 225

в) объемное напряженное состояние. 225

36. Вычислить главные значения и инварианты симметричного тензора напряжений 225

225

37. Главные нормальные напряжения в данной точке тела приведены в таблице: 225

Присвоить численным значениям обозначения σ1, σ2, σ3 и вычислить максимальные касательные напряжения τ12, τ23, τ31. 226

38. Показать запись второго инварианта девиатора напряжений через его главные значения. 226

39. Определить величину первого инварианта девиатора напряжений I1(Dσ). 226

40. Разложить тензор напряжений для линейного напряженного состояния: 226

а) растяжение; 226

б) сжатие. 226

Дать схемы главных напряжений для тензора напряжений, шарового тензора и девиатора. 226

41.Записать тензор напряжений, когда, тело в процессе деформирования испытывает только упругое изменение объема, а изменения формы не происходит. 226

42.Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только изменение формы, упругого изменения объема не происходит. 226

43.Объяснить, почему составляющая девиатора напряжений в направлении главной оси 1 будет положительной, а в направлении главной оси 3 - отрицательной. 226

44.Разложить тензоры напряжений (МПа): 226

на шаровые и девиаторы; определить значения второго инвари­анта девиатора. 226

45.Два тела из одинакового материала испытывают однородное напряженное состояние. Известен тензор напряжений для одно­родного тела. Составить тензор Т2 для второго тела, если известно, что относительное изменение объема обоих тел одинаково, а девиатор для второго тела 227

227

Определить также главные значения полученного тензора. 227

46.Для точки тела известны девиатор напряжений 227

227

и одно из нормальных напряжений, например оу = 80 МПа. Определить тензор напряжений. 227

47.Для точки тела известен первый инвариант тензора напряжений I1(Tσ) = 60МПа и девиатор напряжений 227

227

Определить главные значения девиатора напряжений, а через них и главные нормальные напряжения. Записать тензор напряжений. 227

48.Напряженные состояния записываются в виде тензоров: 227

228

Разложить их на шаровые тензоры и девиаторы, определить их значе­ние из условия равенства нулю одного из главных значений девиа­тора напряжений. 228

49.В теории пластичности широко используется показатель вида напряженного состояния 228

где σ1≥ σ2≥ σ3. 228

Рассмотреть его значения для следующих частных случаев: 228

а) линейное растяжение; 228

б) линейное сжатие; 228

в) двустороннее растяжение при σ1 = σ2; 228

г) двустороннее сжатие при σ2 = σ3; 228

д) чистый сдвиг, когда σ2 = - σ3. 228

Достаточно ли этого показателя, чтобы полностью охаракте­ризовать напряженное состояние? 228

50.Показать различные варианты записи Кст через отношения напряжений. 228

51.Главные компоненты тензора напряжений могут быть представлены следующим образом: 228

228

где и т. д. 229

Какие значения принимают σ0, σ10, σ20 и σ30 для случаев, указанных в задаче 49? 229

52.В каких случаях напряженное состояние может быть полностью охарактеризовано отношением двух напряжений ? 229

53.Задан тензор напряжений σij в точке Р в системе коор­динат х1, х2, х3: 229

229

Определить компоненты в системе координат х1, х2, х3 заданной таблицей направляющих косинусов: 229

229

54.Найти компоненты тензора 229

При переходе к новой системе координат, полученной поворотом вокруг оси Z на угол . Таблица направляющих косинусов имеет вид 230

55. Задан тензор напряжений 230

56.Вычислить главные значения, главные направления, линей­ный, квадратный и кубический инварианты тензора напряжений 230

230

57.Построить круги Мора для всех схем главных нормальных напряжений. 231

58.Тензор напряжений в исследуемой точке имеет вид 231

231

Найти величину трех главных напряжений и максимальное значе­ние главных касательных напряжений. Построить диаграмму Мора. 231

59.Тензор напряжений записан так: 231

231

Найти составляющие главных напряжений. Построить диаграмму Мора и по ней определить главные касательные напряжения. 231

60.Начертить круг Мора для напряженного состояния, когда σх = 50 , σу = =40 и τxy = -40 МПа. 231

61.Для напряженного состояния, описываемого тензором нап­ряжений (МПа) 231

231

определить: а) среднее давление; б) интенсивность касательных напряжений в главных осях; в) максимальное касательное напряжение; 231

г) сравнить между собой Т и τmax. 231

232

= 233

ч 233