Усилия, действующие на грани параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площадь соответствующей грани. Составим уравнение равновесия на ось X (рис.20).

Из рисунка видно, что силы σ_xdydz, τ_xydxdz, τ_zxdxdy на парал­лельных гранях взаимно уравновешены, следовательно,

Сокращая на объем, получим

Проецируя силы на ось Y и Z получим еще два уравнения. Окончательно имеем три дифференциальных уравнения равновесия, описывающих объемное напряженное состояние в рассматриваемой точке:

(14)

В тензорных обозначениях

Уравнение (14) содержит шесть неизвестных величин: три нормальных и три касательных напряжения. Число уравнений три, поэтому для нахождения компонент напряжений необходимы дополнительные условия.

Кроме поверхностных сил, действующих по граням параллелепипеда, к нему могут быть приложены объемные (массовые) силы. Обозначим проекции объемной силы, приходящейся на единицу массы, через F_x, F_y, F_z. Тогда проекции объемной силы на весь объем выделенного параллелепипеда будут

F_xpdV, F_ypdV, F_zPdV.

Уравнения равновесия с учетом массовых сил имеют вид

(15)

Или

Если объемной силой является лишь сила тяжести, а ось z направлена вертикально вверх, то F_x=F_y=0, F_z=-g (ускорение силы тяжести), gρ (вес единицы объема тела).

Задача 20. Определить компоненты массовых сил F_i, если в любой точке сплошной среды выполняются уравнения равновесия (15), когда тензор напряжений задан в виде

Решение. Подставим в (15) значение вычисленное по заданному тензору.

Эти уравнения удовлетворяются при F_x= -7х₂, F_y= -2, F_z=0.

Если деформируемое тело находится в состоянии движения, то к действующим силам нужно добавить силы инерции, взятые с обратным знаком произведениям из массы параллелепипеда на проекции ускорения:

Где Ux, Uy, Uz - проекции вектора перемещения на оси х, у, z. Получим уравнения движения сплошной среды:

или

Элементарный параллелепипед dV= dxdydz находится в равнове­сии, если выполняются еще три уравнения:

Составим уравнение равновесия, например (рис. 21).

Рис.21

Силы, параллельные оси y, а также силы, пересекающие ось y, не войдут в малые третьего порядка. Например, нормальная сила на левой грани равна σxdydz, а на правой.Момент дает лишь их разность

получаем момент четвертого порядка малости и его из уравнения будем исключать.

Момент третьего порядка дадут только две силы:

или

Уравнение моментов относительно оси у и мест вид

Теперь отбросим бесконечно малые четвертого порядка, получим

Сокращая на объем элементарного параллелепипеда dV= dxdydz,

имеем

τ_zx=τ_xz.

Составив уравнения моментов относительно двух других осей, окончательно получим

τ_xy=τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz.

Эти уравнения определяют закон парности касательных напряжений:

σ _ij=σ_ji.

В соответствии с этим законом напряженное состояние в точке деформируемого тела описывается шестью неизвестными компонентами. Тензор напряжений является симметричным. В каждых двух взаимно перпендикулярных площадках компоненты касательных напряжений, направленные перпендикулярно к линии пересечения этих площадок, равны между собой и направлены оба к линии пересечения или оба от линии пересечения.

В цилиндрической системе координат (r, φ, z) обозначим компоненты напряжений через σ_r, σ_j, σ_z, τ_rj, τ_iz, τ_zr. Уравнения ста­тического равновесия имеют следующий вид:

В сферической системе координат (r, сφ, θ) дифференциальные уравнения равновесия записываются в следующем виде: