6 сем / тау / мое / ТР ТАУ Акиньшин А-03-20

ФГБОУ ВО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Кафедра Управления и интеллектуальных технологий

Расчетное задание

по курсу «Теория автоматического управления»

Выполнил:

Акиньшин А.В.

Группа:

А-03-20

Проверила:

Сидорова Е.Ю.

Вариант:

38

Москва, 2023

1. ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАСЧЕТА

Исходными данными для исследования нелинейной системы являются структурная схема системы с заданными параметрами звенев и характеристика нелинейного элемента.

Ниже предоставлены вид структурной схемы системы (рис. 1.1) и

четыре типа нелинейного элемента (НЭ) с релейной характеристикой

(рис. 1.2 а – г).

Рис. 1.1. Структурная схема нелинейной системы

Рис. 1.2. Нелинейные элементы с характеристиками релейного типа

Передаточные функции исходной системы заданы следующего вида:

; (1.1)

; (1.2)

; (1.3)

– нелинейный элемент релейного типа

Выполнение типового расчета

1. Проведем структурные преобразования исходной схемы (рис.1.1):

Объединим передаточные звенья W1(p) и W2(p) в звено W12(p). Поскольку они соединены последовательно, то их передаточные функции перемножаются:

(2.1)

б) Ветвь со звеном W3(p) и единичную обратную связь объединим в эквивалентное звено W30(p) в соответствии с правилом параллельного соединения:

(2.2)

В результате получим структурную схему, представленную на рис.1.3:

Рис.1.3. Приведённая структурная схема нелинейной системы

В соответствии с (2.1) и (2.2) запишем связь между переменными в операторной форме.

(2.3) (2.4)

Перейдем от операторной формы записи дифференциальных уравнений (2.1) и (2.2) к естественной форме с независимым аргументом t.

Подставляя в (2.3) и (2.4) заданные значения параметров и переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальные уравнения следующего вида:

(2.5) (2.6)

(2.7)

Уравнения (2.5) и (2.6) и уравнение нелинейного элемента (2.7) полностью описывают динамику системы.

Подставим выражение для z(t) из (2.5) и для y(t) из (2.6) в (2.7):

(2.8)

В результате получаются два дифференциальных уравнения, откуда следует, что на фазовой плоскости будут иметь место траектории двух типов. Неравенства указывают в какой области фазовой плоскости справедливы решения (интегральные кривые) того или иного уравнения.

В качестве координат фазовой плоскости примем переменные ( ). Тогда система (2.8) представится через фазовые переменные следующим образом:

(2.9)

Из неравенств (2.9) может быть найдена прямая, являющаяся границей областей с различными типами фазовых траекторий.

(2.10)

Определим первый тип фазовых траекторий, для этого подставим соответствующее значение z = 2 в уравнение (2.5) и запишем в следующем виде:

(2.11)

Введем новую переменную:

(2.12)

Очевидно, что . Тогда уравнение (2.11) перепишется следующим образом:

(2.13)

Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся справочным материалом (рис.1.3). Представив уравнение (2.13) в виде:

(2.14)

находим, что ω0 =2, d=2.5. Таким образом, фазовые траектории соответствуют виду устойчивого фокуса

Из (2.12) следует, что . Это значит, что фазовый портрет уравнения (2.11) будет отличаться от портрета (2.13) смещением всей картины по оси x на величину (+3).

Второй тип фазовых траекторий отображается по аналогии с первым, но без сдвига по оси x

Третий тип фазовых траекторий отображается по аналогии с первым. Отличие заключается в смещении начала координат фазового портрета вида рис.1.3 по оси x на величину, равную (-3).

Качественный фазовый портрет нелинейной системы представлен на рис.1.4

Рис.1.4. Качественный фазовый портрет нелинейной системы.

2. Зададим модель системы в ППП MatLab Simulink с реализацией передаточных функций в виде моделей пространства состояний. Для этого преобразуем исходную структурную схему (рис.1.1) к виду рис.2.1. При этом объединим звенья и . В этом случае передаточная функция звена будет иметь вид: .

То. получим структурную схему вида:

Рис.2.1. Преобразованная структурная схема исходной системы.

В результате можно задать передаточные функции и с помощью модели пространства состояний. Заданная модель системы в MatLab Simulink отображена на рис.2.2.

Рис.2.2. Модель нелинейной системы

В модели рис. 2.2 использованы следующие блоки:

«Relay1» – блок, реализующий НЭ 2 (рис. 2.4);

«W1» – блок усиления, реализующий звено с передаточной функцией

«W2» – блок, реализующий звено с передаточной функцией в пространстве состояний (рис. 2.3);

«W3v» – блок, реализующий звено с передаточной функцией в пространстве состояний (рис. 2.3);

«X X’ Graph1» – блок для построения фазового портрета;

«To workspace 1», «To workspace» – блоки, позволяющие передавать и хранить в переменных значения точек v и x соответственно для построения фазового портрета в рабочем пространстве MATLAB, что дает удобства в просмотре графика;

«Scope x(t)» – блок для построения графика процесса .

Рис.2.3. Заданные параметры блоков “W3v” и “W2”.

Рис.2.4. Модель НЭ 2 с отображением заданных параметров для объекта “Relay” и “Relay1”.

Для построения фазового портрета зададим 4 произвольных значений начальных условий и отобразим полученные фазовые траектории:

Рис. 2.5. Фазовые траектории системы

Здесь по оси абсцисс отложена координата x, а по оси ординат – координата v  x . В качестве начальных условий были заданы 5 точек с координатами (x,v): (-5, 5), (-5, -5), (5, -5), (5, 5), (-2, -2). Из Рис.11 видно, что при начальных условиях, близких к началу координат, процесс сходится к положению равновесия (0,0), а при остальных значениях (Рис.10) – возникают автоколебания. Как и в п.1 исследования точка с координатами (0,0) является устойчивым «в малом» положением равновесия.

Для НУ (5 -5) Амплитуда равна 2.3, а период 2,28с

Для НУ (5 5) Амплитуда равна 2.3, а период 2,28с

Для НУ( -5 -5) Амплитуда равна 2.3, а период 2,28с

Как видно из рисунков при различных начальных условиях в системе устанавливаются периодические процессы с одинаковыми параметрами – периода и амплитуды. То есть данные процессы являются автоколебаниями, причем – устойчивыми.

3. Исследуем влияние ширины петли гистерезиса нелинейного элемента на возникновение автоколебаний в системе.

Таблица 2. Исходные данные

Ближайший вариант	c	h
Придуманный	2	3

Опытным путем найдем минимальное значение относительной величины ширины петли гистерезиса , при которой возникают автоколебания. Зафиксируем параметр и зададим произвольные начальные условия системы (5,5). При исходном значении в системе наблюдаются автоколебания. Рассматривая фазовый портрет при различных увеличивающихся значениях , соответствующих уменьшению ширины петли гистерезиса, получаем, что при значении параметра c=2.08 автоколебания пропадают (при c=2.07 автоколебания все еще есть), что соответствует

Рис.17 Фазовый портрет при

Из графика ниже можно определить, что при λ_min = 0.3 период автоколебаний системы равен 2,28 сек, а амплитуда равна 2.34.

Рис. 3.3 График процесса при λ_min = 0.3 и НУ

4. Увеличим коэффициент передаточной функции в 5 раз K=1.5*5=7.5 при . При неизменном значении параметра для этого случая величина c=1.3. При тех же НУ построим фазовый портрет системы и график процесса

Рис. Фазовый портрет при 5К₁

Рис. 4.2. Переходный процесс

Амплитуда равна 17 период 3,114

Из графика. видно, что в случае увеличения K₁ в 5 раз, λ_min в 2 раза период автоколебаний системы увеличивается в 1,36 раза, а амплитуда в 7,26 раза.

5. Проведем исследование автоколебаний в системе приближенным амплитудно-частотным методом (методом Гольдфарба).

В соответствии с методом Гольдфарба пересечение амплитудно-фазовой характеристики линейной части модели и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента свидетельствует о наличии решения уравнения автоколебаний

Полученная выше модель Гаммерштейна исходной системы представлена на рис.

Рис. 5.1 Структурная схема исходной системы,

а передаточные функции ее звеньев – соотношениями

,

.

В соответствии с номером задания и методическими указаниями найдем эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:

,

где

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

.

Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы с учетом отрицательной обратной связи:

Для построения АФХ линейной части системы и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента воспользуемся ППП Mathcad. После задания выражений линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле Mathcad добавим объект «график X-Y», с помощью которого отобразим на комплексной плоскости АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента.

Перед объектом «график X-Y» укажем требуемый диапазон значений и шаг расчетов для частоты ω и амплитуды A.

Результат построения представлен на рисунке. Из него следует, что имеется пересечение двух характеристик – это свидетельствует о наличии автоколебаний.

Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров ω и A на соответствующих характеристиках в точке их пересечения. В результате получим

Из рисунка видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А=5.7 и частоте ω=3.8 сек-1, откуда период автоколебаний получается равным 1,65 сек. Поскольку при пересечении характеристика [  z( A) ] выходит из области, ограниченной Wлч (jω) , то автоколебания являются устойчивыми.

Рассмотрим следующий случай задания – п.5б): система с параметрами п.3 при .

В этом случае изменяется только параметр с=2,08 нелинейного элемента. Найдем эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:

,

где

,

.

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

.

АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будут иметь вид (рис. 22):

Рис. 5.4 АФХ и для п.5б) задания

Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров ω и A на соответствующих характеристиках в точке их пересечения. В результате получим (рис. 24):

Рис.5.5 Определение параметров автоколебания для п.5б) задания

Из рисунка 5.5 видно, что имеется пересечение двух характеристик, что свидетельствует о наличии автоколебаний. Согласно критерию Гольдфарба они являются устойчивыми. Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров ω и A на соответствующих характеристиках в точке их пересечения. В результате получим:

A=5,6

ω =3,4 => T=1.84c

Рассмотрим последний случай задания – п.5в): система с параметрами п.4 при , .

В этом случае изменяется параметр , нелинейного элемента и передаточная функция линейной части модели. Найдем эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:

,

где ,

.

Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:

.

Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы:

Построим АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента (рис. 5.4).

Из рисунка 5.6 следует, что в системе имеются устойчивые автоколебания.

Рис. 5.6 АФХ и для п.5в) задания

Рис. 5.7 Определение параметров автоколебания для п.5в) задания

Для определения их параметров отсчитаем значения параметров ω и A на соответствующих характеристиках в точке их пересечения. В результате получим, что амплитуда колебаний A=5.9, частота Период автоколебаний получается равным 1.96сек.

6. Для составления сравнительной таблицы необходимо пересчитать полученные в п. 5 величины амплитуды автоколебаний, поскольку из рис. 5.7 видно, что они соответствуют сигналу , а в п. 2–4 рассматривается съем данных относительно . В результате пересчета амплитуды автоколебаний посредством формулы , где – частота автоколебаний, была составлена сравнительная таблица результатов исследования автоколебаний различными методами (табл. 3)

Таблица 3. Сравнение результатов двух методов

		Исходные данные
Моделирование	Амплитуда	2,3	2,34	17
	Период, с	2,28	2,28	3,11
Метод Гольдфарба	Амплитуда	5,7	5,6	5,9
	Период, с	1,65	1,84	1,96

Сравнивая результаты, приведенные в табл. 3, можно отметить, что качественная картина изменения параметров автоколебаний в зависимости от параметров системы имеет одинаковый характер. Различия амплитуд и периодов автоколебаний, можно объяснить различия можно тем, что линейная часть системы не является идеальным фильтром низких частот, что лежит в основе исходного предположения метода Гольдфарба.