Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Стандарт IEEE-754

Стандарт разработан ассоциацией IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) и используется для представления действительных чисел в двоичном коде.

Используется многими микропроцессорами, логическими устройствами и программными средствами.

Разработан в 1985 году.

Наименование "IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985)\

Особенности стандарта необходимо учитывать при программной реализации численных алгоритмов.

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Форматы чисел стандарта IEEE-754

числа одинарной точности sinlge precision – 32 бита

числа двойной точности double precision – 64 бита

числа расширенной одинарной точности single extended precision – 43 бита

числа расширенной двойной точности

double extended precision – 79 бит (обычно используют 80)

Для записи чисел используется форма с плавающей точкой.

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Нормализованная и денормализованная форма

Нормализованная форма числа 1251 = 12:51 102 = 0:1251 104

1251 = 1:251 103

Денормализованная форма

для записи чисел близких к нулю, используется

денормализованная форма записи

денормализованные числа находятся ближе к нулю, чем нормализованные.

денормализованные числа разбивают минимальный разряд нормализованного числа на некоторое подмножество.

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

IEEE-754: Число одинарной точности (single precision)

4 байта на число.

Смещение экспоненты: 28 1 = 127. Смещение экспоненты позволяет не вводить знаковый бит, а записывать в отведенные 8 бит значение

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

IEEE-754: Число двойной точности

8 байта на число.

Смещение экспоненты: 211 1 = 1023.

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Формула "восстановления\ нормализованного числа

F = ( 1)s 2(Es 2(b 1)+1) (1 + M /2n )

b – количество бит, отводимых под экспоненту;

Es – смещенная экспонента;

M – остаток мантиссы;

n – количество бит, отводимых под мантиссу.

single precision

F = ( 1)s 2Es 127(1 + M=223)

double precision

F = ( 1)s 2Es 1023(1 + M=252)

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Формула "восстановления\ денормализованного числа

F = ( 1)s 2(Es 2(b 1)+2) (M /2n )

b – количество бит, отводимых под экспоненту;

Es – смещенная экспонента;

M – остаток мантиссы;

n – количество бит, отводимых под мантиссу.

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Пример

Запишем число 9:25

910 = 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 = 10012

0:2510 = 0 2 1 + 1 2 2 = 0:012

9:2510 = 1001:012 = 1:00101 23

Смещенная экспонента Es = 3 + 127 = 10000010 Остаток мантиссы M = 00101

Запись числа 9.25 в формате single

Машинная арифметика, стандарт IEEE-754 Стандарт IEEE-754

Максимальное по модулю нормализованное число: 2127 2 2 23 = 3:40282347 1038

Минимальное по модулю нормализованное число (single): 2 126 1 + 0 2 23 = 1:17549435 10 38

Максимальное по модулю денормализованое число (single): 2 126 1 223 )= 1.17549421 10 38

Минимальное по модулю денормализованое число (single): 2 1262 23 = 1:40129846 10 45