Optics ebook-ver

Оптика

Разрешающей способностью дифракционной решетки называется отношение

R =

Наименьшая разность длин волн двух спектральных линий , при которой спектральный прибор разрешает эти линии, называется разрешающим расстоянием. , фигурирующая

в формуле, является спектральным расстоянием. Его можно определить с помощью кри- терия Релея: спектры двух волн и 0 считаются разрешенными, если минимум одной

волны совпадает по положению с максимумом в том же порядке для второй волны. Найдем такое минимальное . Возьмем максимум порядка m для волны + и ближайший минимум для волны . Из критерия Релея

m( + ) = m + N1

Выражаем разрешающее расстояние и получаем

R = mN

Часть VI

Граничные условия. Дисперсия света и вращение плоскости поляризации.

В этой части будут рассмотрены явления, требующие более тщательного рассмотрения или иных моделей описания, нежели перечисленные ранее. Так, ни геометрическая, ни волновая оптика в полной мере не дают объяснения такому явлению как дисперсия света, а также не объясняют, как возможно вращение плоскости поляризации в оптически активных веществах.

24 Формулы Френеля.

Рассмотрим границу раздела двух сред. Из электродинамики известно, что в отсутствии токов и свободных зарядов должны сохраняться тангенциальные составляющие напряженности электрического и магнитного полей. Будем считать, что магнитная проницаемость для обоих сред равна единице.

Пусть на границу падает волна Ei, после чего она разделяется на отраженную Er è ïðî- шедшую Ed волны, описываемые функциями

h n i

Ei;r;d = Ai;r;d Exp !i;r;d t (rsi;r;d) i;r;dc

Вектора si;r;d есть единичные вектора направления волны. Падающая и отраженная волны находятся в одном полупространстве, поэтому ni = nr. Как уже было указано, граничные условия требуют, чтобы тангенциальные составляющие векторов были равны на границе раздела двух сред. Тангенциальную составляющую можно выделить, домножив поля векторно на единичный вектор нормали.

[Ein] + [Ern] = [Edn]

30

Оптика

Но очевидно, чтобы оно выполнялось в любой момент времени, необходимо, чтобы поля менялись синхронно, то есть !i = !r = !d. А для того чтобы это выполнялось на всей границе, необходимо

Из граничных условий также следует, что тангенциальные составляющие лежат на одной оси.

Через Oxy обозначим плоскость раздела. Oz направим из первой среды во вторую, а Ox по оси тангенциальных составляющих. Тогда можно ввести следующие обозначения

Cos = (nsi)

Cos = (nsd)

Cos 0 = (nsr)

Условие ( ) в новых обозначениях примет вид

!nc i Sin = !nc i Sin 0 = !nc d Sin

Откуда сразу же следуют закон отражения и закон преломления Снеллиуса.

Далее определим отношение амплитуды отраженной и прошедшей волны к амплитуде исходной. Для этого необходимо разбить вектора напряженности электрического и магнитного поля на составляющую, параллельную плоскости падения, и составляющую, перпендикулярную ей.

Рассмотрим уравнения порознь. Для составляющих, параллельных плоскости падения (индексы опущены), имеем проекции на ось Ox

Ei Cos + Er Cos = Ed Cos

Им соответствуют перпендикулярные составляющие векторов магнитной напряженности, для которых выполняется равенство тангенциальных составляющих, с учетом того, что в рассматриваемых средах nE = H

niEi niEr = ndEd

Знаки получены с учетом того, что такие пары компонент (H?; Ek) должны вместе с вектором направления s составлять правую тройку векторов для каждой из рассматриваемых волн. Выражаем из этих двух уравнений величины

После тригонометрических преобразований получаем для них формулы

Абсолютно аналогично для перпендикулярных составляющих электрической напряженности и параллельных составляющих магнитной имеем уравнения

Ei + Er = Ed

ni Cos niEr Cos = ndEd Cos

31

Оптика

Откуда точно так же выражаются коэффициенты r и t

Получившиеся формулы для r и t называются формулами Френеля. В частности, из этих

уравнений следует, что при отражении от оптически менее плотной среды фаза колебания волны меняется на . Угол, соответствующий + = =2, дает, как несложно

видеть, коэффициент отражения для параллельной составляющей, равный нулю, так как тангенс обращается в бесконечность. Полученный в результате отраженный свет оказывается линейно поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Угол, при котором это происходит, называется углом Брюстрера, ему соответствует значение

тангенса Tg = nd ni

25 Дисперсия света.

Чтобы описать такое явление, как зависимость коэффициента преломления от частоты волны, недостаточно одних граничных условий и уравнений Максвелла. Дисперсия возникает вследствие взаимодействия электромагнитных волн с веществом, и е¼ описание входит в раздел молекулярной оптики, где прибегают к осцилляторной модели.

Будем рассматривать один периферийный электрон (называемый также оптическим) как линейный осциллятор, который описывается уравнением

m•r = kr gr + eE

Где k коэффициент квазиупругой возвращающей силы, g коэффициент затухания, введенный для учета поглощения света, а E внешнее электрическое поле, действующее

на электрон. Вообще говоря, следовало бы учесть также магнитное поле и микроскопи- ческое поле ~

E, но мы пренебрегаем их вкладом по сравнению с внешним полем за счет малости r по сравнению со скоростью света в силе Лоренца и положения о том, что среда

разряжена.

Перепишем уравнение

•r + 2 r + !02r = me E

В качестве внешнего поля возьмем монохроматическую волну A Exp[i!t ikr]. За счет достаточной малости радиуса атома мы можем пренебречь вкладом kr, считая поле однородным по всему объему атома. Окончательный вид уравнения

•r + 2 r + !02r = aei!t

Искать решение этого уравнения будем в виде r0ei!t. Подстановка этой функции на место r в уравнении даст следующее выражение для r0

a

r0 = !02 !2 + 2i !

Пусть p = er дипольный момент этого атома. Дипольный момент возникает за счет от-

клонения электрона от положения равновесия, благодаря чему нейтральный атом поляризуется. Дипольный момент связан с внешним электрическим полем пропорционально коэффициенту поляризации атома , откуда

32

Оптика

Теперь из связи вектора электрической индукции можно получить выражение для ". Пусть концентрация частиц в среде , тогда вектор поляризуемости p

D = E + 4 p = E(1 + 4 ) = "E

Окончательно 4 e2

m(!02 !2 + 2i !)

Таким образом, показатель преломления n0 = p" имеет как действительную часть, так и мнимую. Мнимая часть обозначается { и называется коэффициентом поглощения.

"= n2 {2 + in{

Ó" можно отделить мнимую часть от действительной и получить систему уравнений для { и n, из которой определяются приближенные зависимости этих коэффициентов от частоты !.

Теперь мы можем усложнить модель, вводя в не¼ влияние соседних молекул. Для эффективного значения магнитного поля (суммы внешнего и внутреннего) мы возьмем уже

готовую формулу без вывода

4

Eef = E + 3 P

Вектор P поляризация вещества er. Исходное уравнение тогда преобразуется в

Аналогично предыдущему случаю, поиск решения в виде P0ei!t дает следующее выраже-

Коэффициент преломления легко выражается из полученного соотношения

Называется удельной рефракцией вещества.

26Вращение плоскости поляризации. Эффект Фарадея и Зеемана.

Опыт Фарадея-Верде показывает, что в постоянном магнитном поле происходит вращение плоскости поляризации линейно поляризованной волны. Эмпирически выведенная зависимость имеет вид

= lH

33

Оптика

Где угол поворота плоскости поляризации, l расстояние, пройденное в магнитном поле, H величина магнитного поля, а постоянная Верде. Плоскость поляризации вращается, если волна проходит вдоль направления вектора H. Воспользуемся осцилляторной моделью для описания этого явления. Уравнение для оптического электрона

Вектор H направим вдоль оси Oz, то есть H = Hk. Распишем векторное произведение

[rk]H = yHi xHj

Исходное уравнение разбивается на три скалярных, в которых компоненты x и y оказываются связанными. Уравнение для третьей компоненты опускаем.

y• + mc x + !0y = mEy

Введем переменную = x + iy, домножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с предыдущим

Разобьем падающую линейно поляризованную волну на две поляризованные по кругу, сумму Ex + iEy можно представить как E = Aei!t èëè êàê E . Решение будем искать в

âèäå = r0e i!t, чтобы оно удовлетворяло двум уравнениям для E и E .

Как и в предыдущем параграфе, можно выразить коэффициент преломления

Вращение плоскости поляризации можно объяснить как двойное лучепреломление, при котором существуют два луча с разными коэффициентами преломления, один из которых обладает правой поляризацией по кругу, а второй левой. Наложение двух этих волн порождает вращение линейно поляризованного света. Запишем разницу квадратов

Вторым членом в знаменателе можно пренебречь по отношению к квадрату разности ча- стот. Сумму коэффициентов приближенно можно считать 2n, где n коэффициент пре-

ломления вещества.

n n+ = 4 jej3H!

n(!02 !2)2

34

Оптика

Угол поворота найдем как разницу фаз

Таким образом, мы определили выражение для постоянной Верде, которое хорошо сходится с экспериментальными данными.

Рассмотрим также такое явление, как эффект Зеемана расщепление спектральных линий в магнитном поле. Описание будем проводить опять же с помощью осциляторной модели. Уравнение движения оптического электрона

m•r + kr = jecj[rH]

Направим вектор магнитной напряженности по оси Oz и разобьем уравнение на три скалярных

x• + 2 y + !02x = 0 y• 2 x + !02y = 0 z• + !02z = 0

Ãäå = jejH=2mc Ларморова частота. Решение будем искать для (x; y) в виде aei!t è bei!t. Определитель системы для неизвестных a и b

Должен равняться нулю, чтобы существовали решения, отличные от тривиальных. Имеем два положительных корня для !

q

! = + 2 + !02

Квадратом ларморовской частоты можно пренебречь даже в очень сильных полях. Мы получили в качестве решения две волны, которые различаются на ларморовскую часто- ту от собственной частоты !0 электрона, то есть спектр излучения расщепляется на две волны, если они двигаются вдоль магнитного поля. Третье уравнение, как легко видеть, удовлетворяет решению для излучения с собственной частотой электрона !0, которое рас- пространяется поперек магнитного поля. Тройка величин

!0 ; !0; !0 +

Называется зеемановским триплетом.

35