краткий курс лекций по электростатике

Аналогично одномерной, определяется и трехмерная δ - функция:

12. Опыт Милликена.

13

Лекция 2

Закон Кулона

1. Историческая справка

Закон Кулона был открыт в 1771 году Кавендишем. Сам Кулон открыл этот закон в 1785.

2. Формулировка

Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Эта сила притяжения для разноименных зарядов и отталкивания – для одноименных зарядов.

3. Проверка методом Кулона с помощью крутильных весов

1

F ~ r 2 ; F ~ q1q2 .

4. Экспериментальная проверка Кавендиша по методу Пристли

14

5. Проверка на больших и малых расстояниях

Данная проверка осуществляется косвенными методами. Известно, что если частица – переносчик взаимодействия, имеем нулевую массу покоя, то сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния; если масса покоя не нуль, то сила ~ потенциалу Юкавы

т.е. задача сводится к определению массы покоя частиц – переносчиков. Для электромагнитного поля – это фотон. Его масса покоя не более 10-48 кг.

Опыты Резерфорда по рассеиванию α – частиц показали, что закон Кулона выполняется на атомных расстояниях. На ядерных расстояниях закон Кулона не работает.

Существенным содержанием закона Кулона является положение об аддитивности взаимодействия зарядов. Для подтверждения этого необходимо рассмотреть более двух зарядов. Эксперименты показывают, что если некий заряд взаимодействует с двумя другими, то сила, действующая на него, равна сумме сил, действующих со стороны каждого заряда в отдельности. В этом и заключается принцип суперпозиции или принцип действия двух сил.

F= ∑Fi

i=1N

Данное положение не доказывается и принимается за постулат и выполняется в очень широких пределах. Оно не выполняется на ядерных расстояниях, в очень сильных полях.

15

Лекция 3

Напряженность электрического поля

1. Понятие напряженности

Рассмотрим систему точечных зарядов, которые создают поле, и в это поле поместим пробный заряд.

Выражение справа зависит только от исходного положения зарядов и от положения исследуемой точки, следовательно, это характеристика поля, создаваемого электрическим зарядом.

Эту характеристику назвали напряженностью E .

Определение: Напряженностью электростатического поля называется физическая величина, равная отношению силы, действующей со стороны поля на пробный заряд к величине этого заряда.

E = Fq

К данному определению надо подходить с некоторой осторожностью, т.к. любой заряд вносит искажения в существующее поле, а устремление пробного заряда к нулю невозможно, т.к. существует минимальный электрический заряд. С формальной точки зрения лучше исходить из следующего определения.

Определение: Напряженностью электростатического поля системы точечных зарядов называется функция зарядов – источников поля, определенная следующим образом.

E = k∑N qi ri

i=1 ri3

Первое определение в этом случае используется для указания силы, действующей на заряд.

16

2. Единица напряженности

E =1 КлН =1 Вм.

Определение: 1 В/м – единица СИ напряженности электрического поля, равная напряженности такого однородного поля, в котором между двумя точками, находящимися на расстоянии 1 м вдоль линии поля существует разность потенциалов 1 В.

3. Принцип суперпозиции

Для напряженности также как и для силы выполняется принцип суперпозиции, т.е. напряженность поля, созданная системой зарядов, равна сумме напряженностей создаваемых каждым зарядом в отдельности.

E= ∑Ei .

i=1

4.Напряженность поля заряженного телаN

Если поле создано не точечными зарядами, а телом, то поступают также как и в механике. Мысленно разбивают тело на большое число элементов, заменяют каждый элемент материальной точкой и, устремляя размер элемента к нулю, переходят от суммирования к интегрированию.

17

5. Напряженность точечного заряда

Расходимость в нуле не должна настораживать, т.к. точечный заряд – это идеализация, а для любого реального распределения заряда, как будет показано ниже, бесконечностей нет.

6. Понятие о поле

При данном определении напряженности поля возникает вопрос: поле – это объективная реальность или это математическое построение?

Находясь в рамках электростатики, на данный вопрос ответить нельзя, т.к. не существует поля без заряда.

Ответ на поставленный вопрос будет дан в рамках электродинамики, когда будет показано, что поле может существовать и без заряда. Пока ограничимся утверждением, что понятие поля имеет физический смысл, и если мы знаем напряженность поля в каждой точке, то, вычислив силу, будем знать, что будет происходить с заряженным телом, помещенным в это поле.

18

7. Графическое представление поля

Для изображения поля используют 2 способа:

1.С каждой точки пространства можно связать вектор напряженности.

2.Показать линии напряженности или силовые линии, т.е. линии касательные к которым в каждой точке совпадают с векторами напряженности.

Эти линии гладкие, без изломов, непрерывные. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Чем они гуще, тем выше напряженность.

Пример: поля одинаковых по модулю разноименных и одноименных зарядов

Линии напряженности могут быть экспериментально показаны.

7. Пример: Поле полусферы

19

Лекция 4

Теорема Гаусса

Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля

– напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.

1.Общие замечания о векторном поле

Вфизике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.

Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.

Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.

Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.

2.Понятие потока

Пусть имеется какое-либо векторное поле (E ) и некоторая поверхность (S).

На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке (n) .

Определение: Потоком (Φ) вектора E

через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:

Φ = ∫S (E, n)dS ,

или используется ещё обозначение

20

Φ = ∫EdS ,где dS = n dS – произведение нормали на площадь.

S

Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как

Φ = ∫EdS ,

S

где ∫v – интеграл по замкнутой поверхности.

Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.

Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает

уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.

Определение: Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.

Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div<0, то в точке сток поля; если div=0, то нет ни источника, ни стока.

Чем больше div, тем мощнее источник.

дивергенция – это скалярная характеристика, поставленная в соответствие векторному полю.

3.Дивергенция в различных системах координат.

a)Декартова (x, y, z).

div E = ∂∂Exx + ∂∂Eyy + ∂∂Ezz .

b) Цилиндрическая (ρ; ϕ; z), ρ – расстояние.

c) Сферическая (r, ϕ, θ).

21

4. Теорема Остроградского – Гаусса

Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.

∫S (E, n)dS = ∫V div E dV.

5. Теорема Гаусса в физике

Φ= ∫(E, n)dS = 4πkQ = Q

ε0

Это теорема Гаусса в интегральной форме.

Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.

Закон: Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.

Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:

div E = ε1 ρ .

0

6. Поле бесконечной плоскости

Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.

Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то

На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.

22