n → ∞, k =1, N , то в случае справедливости гипотезы H0 значение величины χn2 не должно существенно отличаться от нуля. Поэтому критическая область

Нахождение tα основано на том факте (известном как теорема Пирсона), что случайная величина χn2 имеет при n → ∞ предельное распределение хи - квадрат χ2 (N −1) с N −1 степенью свободы.

На практике предельное распределение χ2 (N −1) можно использовать с хорошим приближением при n ≥ 50 и νk ≥ 5, k =1, N . При выполнении этих условий для заданного уровня значимости α можно положить tα = χ12−α; N −1,

где χ21−α; N −1 является (1—α )-квантилью распределения χ2 (N −1) .

Таким образом, критерий согласия χ2 Пирсона состоит в следующем:

1. По заданному уровню значимости α находится по табл. П4 порог

χ21−α; N −1.

2.По заданной выборке (x1,..., xn ) объема n ≥ 50 определяется число N

интервалов группировки так, чтобы νk ≥ 5, k =1, N . Вычисляется значение статистики χn2 (x1,..., xn ) = t .

3.Если t ≥ χ21−α; N −1, то гипотезу H0 отвергают.

4.Если t < χ21−α; N −1, то гипотезу H0 принимают.

всегда можно определить N интервалов, содержащих ровно по одному выборочному значению. Поэтому в данном случае можно сразу считать, что

νk = mk , k =1, N , где mk – частота выборочного значения xk .

На практике теоретическое распределение полностью бывает определено редко. Чаще известен предположительно только тип распределения, но неизвестны параметры его определяющие. В этом случае гипотеза о виде

Критерий согласия χ2 Пирсона применим для проверки такой гипотезы H0 со следующими изменениями:

б) число степеней свободы предельного распределения хи - квадрат должно быть уменьшено на число неизвестных параметров и считаться равным

(N −1−r).

1.4. Изучение зависимости между случайными величинами.

Предположим, что случайный эксперимент состоит в проведении повторных независимых наблюдений над случайным вектором (X ,Y ) , имеющим неизвестное распределение вероятностей, т.е. неизвестную двумерную функцию распределения FXY (x, y) = F(x, y) . В этом случае выборка объема n представляет собой множество пар чисел ((x1, y1),...,(xn , yn )) и она является исходной информацией для получения

статистических выводов о вероятностных характеристиках случайного вектора. При рассмотрении одновременно двух случайных величин X и Y наряду с одномерными статистическими задачами дополнительно возникают

статистические задачи, связанные с изучением зависимости между случайными величинами. К ним, в частности, относятся: определение корреляционной

24

зависимости между случайными величинами X и Y ; проверка гипотезы о независимости случайных величин; построение регрессионной зависимости между случайными величинами X и Y .

1.4.1. Оценка коэффициента корреляции.

Точечными оценками математических ожиданий и дисперсий координат вектора X и Y в соответствии с разделом 1.1 являются выборочные средние и выборочные дисперсии:

называемая выборочным коэффициентом корреляции, определяется по формуле:

25

1.4.2.Проверка гипотезы о независимости

Вобщем случае для проверки гипотезы о независимости случайных

случайного вектора (X ,Y )

F(x, y) =FX (x)FY (y),

где FX (x) и FY (y) - одномерные функции распределения координат вектора. Статистика критерия независимости χ2 имеет вид (см. [3, разд. 3.5]):

где K и L – число интервалов группировки выборочных значений случайных величин X и Y соответственно; νiX и νYj - частоты интервалов группировки выборочных значений случайных величин X и Y соответственно; νi j - частота прямоугольника, сторонами которого являются i -й интервал

противном случае гипотезу Н0 принимают.

В случае нормального распределения случайного вектора (X ,Y )

равенство коэффициента корреляции нулю означает одновременно и независимость координат вектора. Поэтому гипотеза о независимости случайных величин X и Y в этом случае может быть сформулирована как

гипотеза Н0 : rXY = 0.

26

Статистикой критерия для проверки данной гипотезы H0 является

существенно отличаться по модулю от нуля. Поэтому критическая область критерия для проверки H0 является двусторонней (в отличие от критерия χ2)

Н0 : rXY = 0 является гипотезой о некоррелированности случайных величин X и Y и известна также как гипотеза о значимости коэффициента корреляции.

Эта функция наилучшим (в среднеквадратическом смысле) образом описывает зависимость случайной величины Y от случайной величины X .

Известно, что если случайный вектор (X ,Y ) имеет двумерный нормальный закон распределения N(aX ,aY ,σX2 ,σY2 ,rXY ) , то функция

регрессии случайной величины Y на случайную величину X является линейной и имеет вид (случай нормальной регрессии):

y = aY + rXY σY (x −aX ) .

σX

Заменяя в этом уравнении aX ,aY ,σX ,σY ,rXY на их точечные оценки

x, y,sX ,sY ,rˆXY соответственно, получаем эмпирическое уравнение регрессии

случайной величины Y на случайную величину X вида (подробнее см. [4,

разд. 4.8.2]):

Геометрически уравнение регрессии представляет собой прямую, около которой группируются значения случайного вектора (X ,Y ) . Чем ближе значение выборочного коэффициента корреляции к 1, тем плотнее значения вектора располагаются вдоль прямой регрессии.

1.5.Моделирование случайных величин и векторов

1.5.1.Моделирование непрерывных случайных величин

28

Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайной величины U ,

равномерно распределенной на отрезке [0,1], которые называют равномерными случайными числами. Неограниченный источник, вырабатывающий последовательность u1, u2, равномерных случайных

чисел, называется датчиком случайных чисел. В ряде ЭВМ имеются встроенные физические датчики случайных чисел, принцип работы которых основан на использовании в качестве источников случайности быстро флуктуирующих шумовых процессов, вырабатываемых радиоэлементами. Однако чаще всего в качестве равномерных случайных чисел используют так называемые псевдослучайные числа, т.е. детерминированные числа, получаемые по некоторому алгоритму и обладающие в той или иной мере свойствами случайных чисел. «Качество» псевдослучайных чисел проверяется при помощи статистических критериев проверки их случайности и равномерной распределенности. Известны различные методы получения псевдослучайных чисел, и соответствующие программы входят в математическое обеспечение современных ЭВМ.

Стандартный метод моделирования непрерывных случайных величин

случайная величина F-1(U ) распределена также как X , поскольку

P(F-1(U) < x)= P(U < F (x))= FU (F (x))= F (x).

Таким образом, если F-1 (y) может быть явно вычислена, а u1,u2, un последовательность равномерных случайных чисел, то последовательность

случайная величина, позволяет получать случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [a,b].

Следует отметить, что стандартный метод моделирования применим на

практике, если только функции F(x) и F-1(y) выражаются через

элементарные. Для некоторых распределений это не так, но вместе с тем, как показывают примеры ниже, эффективные методы моделирования существуют и в этих случаях.

30

Моделирование случайной величины, имеющей однопараметрическое гамма-распределение

Плотность вероятностей однопараметрического гамма-распределения с параметром a имеет вид

Известно, что сумма двух независимых случайных величин Xα и Xβ , имеющих однопараметрическое гамма-распределение с параметрами α и β ,

величина, моделирование которой осуществляется в соответствии с рассмотренным выше примером. Поэтому моделирование случайной величины

Xn , имеющей гамма-распределение с натуральным параметром n можно производить с использованием формулы:

где x1(k ) - независимые экспоненциально распределенные случайные числа.

Моделирование случайной величины, имеющей бета-распределение

Для моделирования случайной величины, имеющей бета-распределение на интервале (0,1) с плотностью вероятностей

функция, может быть использован метод Йонка:

1.моделируются два независимых значения u1 и u2 случайной величины U , равномерно распределенной на отрезке [0,1];