46 Рассмотрим двумерный случайный вектор (X,y), законы распределения координат которого известны

Пусть z=g(X,Y) - некоторая функция двух переменных, тогдаZ=g(X,Y) – случайная величина. В общем случае закон распределения случайной величины Z найти сложно.

Ограничимся ситуацией, когда g(x,y)=x+y и случайный вектор является непрерывным.

Пусть - совместная плотность вероятностей случайных векторов (X,Y), Z=X+Y.

Требуется найти плотность вероятностей величины Z, сначала найдем функцию распределения:

D={x,y|x+y<z}

Тогда

Аналогично

Если случайный величины X,Y независимы, то - свертка маргинальных плотностей вероятностей случайных величин X и Y.

В теории вероятностей свертку называют композицией законов распределения.

47В одномерном случае нормальное распределение задается плотностью вероятностей

Пусть (X,Y) – случайный вектор с невырожденной корреляционной матрицей

Тогда обратная матрица к матрице R имеет вид:

Опр. Говорят, что случайный вектор (X,Y) имеет двумерное нормальное (Гауссовское) распределение, если его совместное плотность вероятностей имеет вид:

Свойства нормального вектора (X,Y):

1. Максимальное значение плотности вероятности f(x,y) достигается в точке

2. Маргинальные плотности нормального случайного вектора являются нормальными

3. Условие плотности вероятностей нормального случайного вектора являются нормальными

4. Если случайные величины X и Y нормального случайного вектора (X,Y) не коррелированны (r=0), то они независимы

5. Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной.

44.Т.1(матожид ф-ии сл вектора):пусть (Х,У) сл вектор, Z=-неслуч ф-я: 1)если (Х,У)-дискрет сл вектор,то (в предполож что ряд сх-ся абс-но);2)если (Х,У)-непрер сл вектор,то:предполож,что интег-л сх-ся абс-но.

Т.2:мат ожид суммы 2 любых сл величин=сумме их мат ожид-й:

Док-во:для непрер сл-я:

_{Т.3:Матожид} произвед-я 2-х независ сл вел-н=произвед их матожид

_{Док-во:для непрер случая:}

_{M[XY]=M[X]M[Y]=}

Опред:Случ вел-ны для кот кореляц-й момент=0,наз-ся некоррелированным.Следствие из Т.3:независ сл вел-ны всегда яв-ся некоррелированными:

Обратное неверно,т.е из некоррелированности не след-ет независ-ть.Некорелир-ть означает отсутствие линейной связи м/у Х и У.Другой вид завис-ти может.Можно лишь утверждать,что из коррелирован-ти = завис-ть случ вел-н,т.е завис-мы

Понятие некоррелированности означает слабую зависимость между х и у и играет важную роль в теории вероятностей.

Т.4(сложение дисперсий)Если Х,У-любые случ вел-ны, α, ßєR, то Если Х,У- некоррелированные, то

Док-тво: чтд

Т.5(Свойства коэффициента корреляции)

Док-тво: ; Положим, что , , тогда ;

Полагая , , то , то есть чтд

Т.6: верно тогда и только тогда, когда случ вел-ны X,Y связаны линейной завис-тью, то есть числа А и В, для кот вып-ся

Док-во: пусть ⇒

Полагая, что , , получим при указанных α и ß

Отсюда получим

Случай рассматривается аналогично чтд

Следствие. Так как для независимых случайных величин и для линейно (сильно) зависимых случайных величин, то коэффициент корреляции можно рассматривать как степень зависимости случайных величин. Геометрический смысл: чем больше , тем ближе расположены значения случайных величин X, Y к некоторой прямой.