Сходимость последовательностей случайных величин

Рассмотри плотность случайных величин (x_n).чин

Опр. Если M[(x_n-x)²]→0 при n→∞, то говорят, что плотность величин (x_n). Сходится к х в среднеквадратичном смысле. При этом х м.б. как случайной, так и нет.

Опр. Если для при n→∞ или , то говорят, что последовательность случайных величин (x_n)→ к хпо вер-ти.

Из неравенства Чебышева следует, что из сх-ти в среднеквадратичном смысле вытекает сх-ть по вер-ти.

Обратное неверно.

49. Закон больших чисел

Теорема Чебышева.

Последовательность (x_n) – последовательность попарнонезависимых х одинаковораспределенных случайных величин, имеющих конечные мат.ожидания и дисперсию M[x_n]=m, D[x_k]=δ² тогда при n→∞ среднее арифметическое этих случайных величин сх-ся вер-ти к m, т.е.

Док-во: Пусть

Решение нер-ва Чебышева

Эта теорема служит обоснованием правила среднего арифметического в теории измерений, в соответствии с которой за приближ.значение измерен.величины следует брать среднее арифметическое измерений, полученная при этом погрешность равна , что в n раз выше, чем при измерении одной величины.

Теорема Бернулли. Относительная частота появлений соб.А при n независимых испытаний в схеме Бернулли сос-ся при n→∞ по вер-ти к вер-ти появления соб.А в одном испытании, т.е.

M – число появлений соб.А в n испытаниях.

Док-во:

В схеме испытаний Бернулли m_x=np, а D_x=npq, тогда применяют к послед.выражению нер-ва Чебышева, заменяя в нем x на m, а , получаем и при n→∞ получаем утверждение теоремы. Ч.т.д..

Теорема Бернулли является обоснованием статистического определения вероятности.

50) 1.Центр.пред.теор. 2. Локал и интегр теор Муавра-Лапласа.

1.Пусть(Xn)- послед-ть независ и одинак распред случ велич для нек M[Xn]=m, D[Xn]=,n тогда зак распред-я вероят случ велич Xn = = при n→∞, стремится к норм закону N(0,1) т.е. равномерна для Замеч: Смысл ЦПТ можно счит, что сумма независ одинак распред случ величин при достат-но больших N(практ-ки при N≥30) имеет закон норм распред-я с парам-ми n, m и

2.1 Лок-я теор: где p-вер-ть появл соб-я А в одном испыт-ии, q-вер-ть соб-я , -вер-ть того, что при n незав-х испыт-й событие А появ-ся m раз. Док-во: -число появ-й соб-я А в K-том испыт-ии. Тогда общ число появ-й соб-я А в n испыт-х, т.к. испыт-я независ-ы, то и случ-е велич-ы явл незав-ми. Тогда, согл ЦПТ случ-е велич-ы к норм-у зак-у, причём как известно , => при достат-о больших n справ-а лок-я ф-ла Муавра-Лапласа

2.2 Интегр теор: Док-во: Пусть число появ-й соб-я А в одном испыт-ии, тогда -число появ-й соб-я А во всех n испыт-х. Известно, что в одном испыт-ии , . Подставляя эти знач в ф-лу ЦПТ получим отсюда на основ-ии ф-лы из ЦПТ запишем, что . Тогда замен-я здесь , , получ-м утверд-е дан-й теоремы.

51) 1.Стат-ие ряды. Их граф-е пред-е. 2.Выб-е сред-е, выб-я дисп-ия, модиф-ая выб-я дисп-ия.

1. Стат-м рядом назыв сов-ть пар получ-х в рез-те эксп-nа. Обычно стат-ие ряды оформ-ся в виде таб-цы (табл.2), в 1-ом столбце которой стоит индекс i(№ опыта), а во 2-ом - наблюденное знач случа вел-ы , кот назыв вариантой. Если одна и та же варианта встреч в выборке нес-ко раз, то стат-ий ряд удобнее запис-ть в виде табл.3.

Табл.2 Табл.3

Инд i	Вар-та	Инд i	Вар-та	Част	Относ. Част
1		1
2		2
…	…	…	…	…	…
n		k

Част (i=) вар-ы наз-ся число повт-й варианты в выб-е, прич . Относ-ой част-й или весом (i=) вар-ыназ-я отнош-е част-ы вар-ы к объему выборки n, то ест, причем

2.1Выб-ым средним наз-ся среднее арифм-ое элементов выб-и . Согл зак больш чисел при увел-ии объема выб-и сред ариф-ое сход-я по вер-ти к мат-му ожид-ю генер-й совок-ти, то есть Таким обр-м, среднее ариф-ое может служ-ь приб-м (оценкой) мат-го ожид-я ген-ой сов-ти.

2.2 Выбор-ой диспер-ей назыв-ся

2.3Модиф-ой выбор-ой диспер-ей назыв-ся Все эти выбор-ые числ-е хар-ки завис от выб-rи и поэтому явл-cя случ-ми велич-ми. Их знач-я лишь приближ-нно равны соответ-щим числ-ым характ-ам генер-ой совок-ти.

52) 1.Св-ва точ-ых оценок: несмещ-ть, сост-ть, эффект-ть. 2.Смещенная и несмещенная оценки дисперсии

1. Точ-ой оценкой неизв-го парам-а распред-ия случ-ой велич-ы X назыв-ся такая ф-ия от выб-ки (статистика) , знач-е кот-ой прин-ся за приб-ое знач-е истинного парам-а,то ест

1.1Оценка парам-а назыв-ся несмещ-ой, если ее мат-ое ожид-е равно оцениваемому парам-у : . Известно, что – несмещ-ая оценка мат-го ожид-ия, смещ-ая оценка дисп-ии и несмещ-ая оценка дисп-ии 1.2Оценка парам-а назыв-ся сост-ой, если она сх-я по вер-ти к точ-у знач-ю оцен-го парам-а ,то есть Сост-ой оц-кой мат-го ожид-я явл-ся выб-ое среднее а сост-ми оценками дисп-ии – выбор-ая дисп-ия и модиф-ая выб-ая дисп-ия 1.3Несмещ-ая оценка парам-а назыв-ся эффек-ой, если она имеет min дисп-ию среди всех несмещ-ых оценок этого парам-а. Для норм-го зак-а распред-ия эффек-ой оценкой мат-го ожид-ия явл-ся среднее арифм-ое а эффек-ых оценок дисп-ии не сущ-ет. Однако и явл-ся асимптотически эффек-ми оценками дисп-ии для этого закона.

2Оценкой дисп-ии случ-ой величины X служат выб-ая дисп-ия и модиф-ая выб-ая дисп-ия, вычис-ые по фор-ам: след-но, - явл-ся смещ-ой оценкой дисп-ии, а - несмещ-ой оценкой дип-ии

53) Расп-ия и Стьюдента

1.1 Пусть X1, X 2 ,…, – норм-но распред-ые независ-ыес луч-ые вел-ны, причем мат-ое ожид-ие каждой из них равно 0, а среднеквадратическое отклонение – 1, то есть . Тогда сумма квадратов этих величин: распред-а по зак-у («хи квадрат») с k степ-ми своб-ы

Рис.1

Графики плот-ти вероят-ей распр-ия

Плот-ть вер-ей этого распр-ия имеет вид , , где - гамма-фукция. График плот-и вероят-ей при малых k имеет длинный

правый «хвост», а с ростом k стан-ся почти симмет-ым(Рис.1)

Квантили расп-ия обозн-ся (Рис.2)

Рис.2

Геом-ое опис смысла квантили отвеч-щей вероят p.

1.2Пусть U-норм-о распред-ая случ велич-а, причём , a V-независ-ая от U случ-ая велич-а, распред0ая по зак-у с k степ-ми своб-ы. тогда изв-но, что случ-ая велич-а имеет t-распред-е или распред-е Стьюдента с k степ-ми своб-ы. Плот-ть вер-ей этого распред-ия имеет вид:

При распр-ие Стью-а стрем-я к норм-у и при практ-и не отлич от норм-го N(0,1) т.к. грай плот-и вер-ей распр-ия СТью-а симмет-ен относ t=0, то (Рис.3)

54) Довер-ый интер-л для мат-го ожид-ия при неизв-ой дисп-ии норм-о распред-ой ген-ой совокуп-ти.

Пусть случ-ая велич-а X имеет норм-ое распр-ие с

Парам-ми m и . Найдем довер-ый интер-л для мат-го ожид-ия m в предположении, что дисп-ия неизв-а и задан уровень

значимости . Англ-ий математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что стат-ка имеет распр-ие Стьюдента с k = n −1

степ-ми свободы. Так как кривая плот-ти вер-ей распр-ия Стьюдента симм-на относ-но t = 0, будем искать довер-ую обл-ть в виде:

Из рис видно, что площадь под графиком каждого из

Симм-ых «хвостов» будет равна , тогда знач-я границ интер-а совпадут с квантилями и . Таким обр-м получ-м или . Подст-в в получ-ое нерав-во знач-я и разрешив это нерав-во относ-но m, получим довер-ый интервал

для неизв-го мат-ого ожидания m норм-но распред-ой

случа-й велич-ы X с неизве-й диспер-й и задым уровнем

значи-ти :