МатематикаШпоры

1)Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х;...;х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х;...;х).Множество точек М(х;...;х), для которых функция и= f(х;...;х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у). Необходимые условия дифференцируемости функции.необходимое условиеТеорема. Если функция z=f(x, y) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точкенепрерывна. Если в точке (x, y) функция z=f(x, y) дифференцируема, то полное приращение функции zв этой точке, отвечающее приращениям ∆x и ∆y аргументов, можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y)∆x+β(∆x, ∆y)∆yДостаточное условиеТеорема. Если функция z=f(x, y) имеет частные производные fx/и fy/в некоторойокрестности точки (x0, y0) и если эти производные непрерывны в самой точке (x0, y0), тофункция z=f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0). Частные производные. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М)<, называют -окрестностью точки М.Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину,которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.Аналогично величину называют частичным приращением функции по переменной у.Если существует предел,то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х

39,26,31

2) Обозначим через (М;М) расстояние между точками М и М. Если п=2, М(х;у), М(х;у), то(М;М)=.

В п-мерном пространстве(М;М)=.

Пусть на множестве D задано функцию и=f(М).

Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М, если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек М D, которые удовлетворяют условию 0<(М;М)<, выполняется неравенство.

Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М.

Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если= f(М).Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе

3)Теорема. Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области ,  причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M₀ (x₀, y₀, z₀),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то  сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:.Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде.Разделив это соотношение на , получим:.Перейдём к пределу при  и получим формул.Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х или .

4) Пусть в некоторой области D задана функция  и точка . Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии  от его начала рассмотрим точку , т.е. .Будем предполагать, что функция  и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D.Предел отношения  при называется производной от функции  в точке по направлению вектора  и обозначается , т.е. .Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора  используют формулу:, где  – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: .Пусть в каждой точке некоторой области  D задана функция .Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции  и обозначается  или  (читается «набла у»): .При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.Для нахождения градиента функции  в заданной точке  используют формулу: .

5) Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением z=f(x, y), где f(x, y) –

функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по x и

по y. Выясним геометрический смысл этих производных в точке M0(x0, y0)∈D, которой на

поверхности z=f(x, y) соответствует точка N0(x0, y0, f(x0, y0)).

При нахождении частной производной ∂z/∂ x

в точке М0 мы полагаем, что z является только

функцией аргумента x, тогда как аргумент y сохраняет постоянное значение y=y0, то есть

z=f(x, y0)=f1(x).

6)частные производные Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Если существует конечный предел ,то функция f(x, y) имеет в точке (x₀, y₀ ) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная функции f(x₁, x₂, …, x_n) по переменной x_i :Обозначают:,. 

Дифференциал Пусть функция двух независимых переменных     u  = f (х, у)    имеет частные производные:, .

Это, в свою очередь, снова функции двух переменных, которые снова можно дифференцировать, и определяются эти новые производные по той же схеме. Например:,

. И так далее …

Обозначение производных второго порядка:

       Последние две производные называются смешанными.

Теорема (о равенстве смешанных производных).  Пусть имеем функцию f (х, у). Если в окрестности точки M₀ (x₀, y₀) существуют смешанные  производные  и, непрерывные в точке M₀, то они в этой точке равны. То есть =.

7) Неявные функции многих переменных.Определение. Неявная функция, заданная уравнением F(x1,x2,…,xn,y)=0 (или кратко F(x,y)=0) определяется, как функция y=f(x)=f(x1,x2,…,xn) при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество на некотором множествеF(x1,x2,…,xn, f(x1,x2,…,xn))=0 , или кратко, F(x,f(x))=0 при xD.

Теорема 2. Пусть

F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0), x0=

F(M0)=0,

.

Тогда существует окрестность U(x0) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

 x U(x0) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0).

Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производные определяется по формуле

.

8) Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функцияf(x:y), определенная в окрестности точки , имеет в точке частные производные и .

Тогда, для того, чтобы функция имела в локальный экстремум, необходимо, чтобы все частные производные в этой точке обращались в ноль.

Теорема (достаточное условие экстремума для функции 2-х переменных). Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно в окрестности точки , и пусть - критическая точка функции .Тогда, если в тейлоровском разложении

Функции в точке квадратичная формаположительно определена, то в точке функция имеет локальный минимум, если отрицательно определена, то локальный максимум, если же квадратичная форма принимает значения разных знаков, то экстремум отсутствует.

9) Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t .

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁ , y₂ , ... , y_T )' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

10) Теорема 1. Если  и  — две  первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.  Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной  функции f (х), то все множество первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х) + С.  Выражение F (х) + С, где F (х) —  первообразная функции f (х) и С — произвольная  постоянная, называетсянеопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом ,  причем f (х) называется подынтегральной функцией ;   — подынтегральным выражением, 

11) Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть если        , то 

Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению 

Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы 

Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов 

Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов 

 Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла 

Свойство 7. Если то 

12)

13 Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если    где  то  где  – любая дифференцируемая функция.

Так, например, если  , то    где u  – функция от x

14)  Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:      а) , где  – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ;      б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .      Примеры.      1. Найти интеграл .      Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения  равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно,       . 2. Найти интеграл . Решение. , тогда  и       .

15)   Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [a, b]. Тогда на этом промежутке будет

(uv)' = u'v + uv'.Последнее равенство можно переписать в равносильной форме

     Отсюда, замечая, что u'dx = du,  v'dx = dv, получаем:

     (1)

причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл . Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.

16) Универсальная тригонометрическая подстановка

   Рассмотрим интеграл вида.   

  С помощью подстановкиинтеграл сводится к интегралу от рациональной функции. Действительно,

, .

И так какx = 2·arctg t, .

то sinx, cosx, dx выражаются рационально через t и dt. Так как рациональная функция от рациональных функций есть рациональная функция, то, подставляя полученные выражения в интеграл (6.1), получим интеграл от рациональной функции

.

18) Задача о пройденном пути.  Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени , если известен закон изменения мгновенной скорости v = v (t). Разобьем отрезок  моментами времени (точками)    на n отрезков времени (частичных отрезков) и положим    Наибольшую из этих  разностей обозначим через λ:  .  Если эти отрезки достаточно малы, то без большой  ошибки движение на каждом из них можно считать равномерным, что дает для пути приближенное выражение  где  — одна из точек сегмента .  Эта сумма   тем точнее выражает искомый путь s, чем  меньше каждый из временных отрезков , k = 1, 2, ..., n.  Поэтому за путь s, пройденный точкой в течение промежутка времени  со скоростью v = v (t), естественно принять предел указанной суммы при λ→0:     

19) Линейность интеграла. Пусть   -- интегрируемая на  функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если  , то функция  интегрируема на  и имеет место формула

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму  для функции  , значения которой в точках разметки равны  , то можно будет вынести постоянный множитель  за знак конечной суммы по номеру отрезка  :

Аддитивность теорема1 Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

+

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

     (13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу

20) Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда .

21) Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство . Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.

22)  Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида

.

Многократное применение вышеприведённой формулы интегрирования по частям к интегралу вида

приводит к обобщённой формуле интегрирования по частям

23)  Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [а, t], т.е. функция

определена для произвольного значения t ≥ a. Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел

                        (9.1)

   Если предел, стоящий в правой части равенства (9.1), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.    Выделяют следующие две задачи: а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла; б) вычисление значения интеграла в случае, если несобственный интеграл сходится. В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.    По аналогии с (9.1) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (-∞, b]:

                        (9.2)

Определение сходимости интеграла  аналогично приведенному выше.    Несобственный интеграл на интервале (-∞ , +∞) определяется следующим образом

                        (9.3)

   Интеграл  называется сходящимся, если существует конечный предел справа как предел функции двух переменных. Если предела нет, то несобственный интеграл  называется расходящимся

24)Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограниченая на полуинтервале [a, b).    Определение. Если существует и конечен предел

,

где δ > 0, то он называется несобственным интегралом (несобственным интегралом второго рода) от функции y = f (x) на [а, b) и обозначается , т.е.

                        (9.5)

В этом случае данный несобственный интеграл (9.5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.    Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y = f(x) непрерывной, но неограниченной на (а, b]:

                        (9.6)

25) Теорема 1 (Первый признак сравнения).  Если функции  и  непрерывны на промежутке  и при этом , то тогда 1. если сходится интеграл , то сходится и интеграл ; 2. если интеграл  расходится, то расходится и интеграл

Теорема 2 (Второй признак сравнения).  Если функции  и  непрерывны на промежутке  и неотрицательны, т.е.  и , и существует конечный отличный от нуля предел , то тогда интегралы  и  (где ) в смысле сходимости ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся, или оба расходятся.

26)

27)  Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

:;  ;  где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева).

28) На плоскости можно рассмотреть полярную систему координат . Тогда точке  соответствуют координаты  и , предполагаем полуоси  и  () совпадающими; причем  положительное  направление угла   – против вращения часовой стрелки.

Фигура на плоскости, ограниченная лучами ,  () и кривой , , называется криволинейным сектором. Очевидно, при   имеет круговой сектор и его площадь . Поэтому если провести процедуру построения интегральной суммы для разбиения , ,  и системы точек , то при , где , , придем к интегралу , который можно  интерпретировать как площадь криволинейного сектора.

Итак, если предел интегральной суммы, построенной по указанной процедуре, существует, то площадь криволинейного сектора можно вычислить по формуле

.

29) Если  – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси  и пересекающей ее в точке с абсциссой , то объем части тела, заключенной между плоскостями  и , определяется формулой.      (1)1. Находим .

2. Находим объем согласно формуле (1).

Замечание. Аналогично вычисляются объемы тел, если известны площади сечения плоскостями, перпендикулярной оси  или .

30) Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf ² (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Теорема1 Объем тела вращения равен 

Теорема2 Объем шара равен  где R – радиус шара.

31)

32) Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой  , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  , слева – прямой   (ее может и не быть, если  ), справа – прямой  . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле   . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, , то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия.

Пусть на отрезке  уравнением  задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле   

33) Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле  . Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  . Здесь нужно понимать, что кривая  определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда  . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования.

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

34) Пусть кривая АВ задана уравнением y = f (x), а ≤ х ≤ b, и пусть функция y = f (x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле

Разобьем кривую АВ на n частей точками А = А ₀, A ₁, A ₂, …, A _{i - 1}, A _i, …, A_n = B. Длину частичной дуги A _{i - 1}A_i обозначим через Δ l = l _i − l _{i - 1}. Заменим кривую ломаной с указанными вершинами. При вращении ломаной вокруг оси Ох получим поверхность, составленную из nбоковых поверхностей усеченных конусов. Площадь боковой поверхности i-го усеченного конуса равна произведению длины окружности 2··R ( R равно полусумме радиусов верхнего и нижнего оснований конуса) на длину образующей (хорды А _{i - 1}А _i). Поэтому, если положить R = y(ξ _i ), x _{i - 1} ≤ ξ _i ≤ x _i, и считать длину хорды А_{i - 1} A_i, равной Δ l_i, то получим, что площадь S_i боковой поверхности вращения приближенно равной

S_i ≈ 2 π y(ξ_i) Δ l_i.

   Площадь всей поверхности вращения приближенно равна сумме площадей частичных поверхностей S_i т.е.

Эта сумма является интегральной суммой. Так как функция у (x) непрерывна на [0, L], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу от функции у(x) по l. Следовательно,

Или

   Перейдем в интеграле от переменной интегрирования l к переменной х. Эти переменные связаны формулой

Если l = 0, то х = а, если l = L, то х = b. А так как

,

окончательно получим

КРИВИЗНА ПЛОСККОЙ КРИВОЙ.Пусть плоская кривая C задана параметрически радиус-вектором . При движении произвольной точки Mвдоль кривой C ее касательная меняет направление (рисунок 1)

рис1рис2

Кривизну кривой можно определить как отношение угла поворота касательной Δφ к длине пройденной дугиΔs = MM₁. Такое отношение Δφ/Δs называется средней кривизной дуги кривой. Когда точка M₁ приближается к точке M, мы получаем кривизну кривой в точке M:

Ясно, что кривизна k в общем случае может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от направления вращения касательной.  Если кривая задана своим радиусом вектором , ее кривизна определяется формулой

где ,  − первая и вторая производные радиус-вектора. В этой формуле в числителе записано векторное произведение векторов  и .  При параметрическом задании координат кривой x(t) и y(t) формула для расчета кривизны принимает вид

Если плоская кривая задана явной функцией y = f(x), кривизна кривой вычисляется по формуле

В случае, когда кривая задана в полярных координатах в виде ρ = ρ(φ), ее кривизна k будет определяться выражением

Под кривизной кривой часто понимается абсолютное значение кривизны, без учета направления вращения касательной. В таком случае приведенные выше формулы остаются верными, но в числителе появляется модуль. Например, формула кривизны при параметрическом задании координат кривой x(t) и y(t) будет выглядеть так :

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны:

Окружность с таким радиусом и центром, расположенном на главной нормали, будет наилучшим образом аппроксимировать плоскую кривую в данной точке (рисунок 2). 

35) Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида . В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5: .  называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число.  называют также n-ой частичной суммой числового ряда. К примеру, четвертая частичная сумма ряда  есть .Числовой ряд  называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд  называется расходящимся. Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

36) Геометрический ряд.

Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а₀ и знаменателем прогрессии, равным q.

Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:

В этом случае говорят о бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

37) Линейная комбинация рядов

Если ряды  и  сходятся, то сходится и ряд  (α, β — постоянные), при этом

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда  и . Тогда их можно перемножить, используя правило Коши: . В случае, если ряды  и  имеют неотрицательные члены и один из них сходится абсолютно,а другой сходится, то и полученный ряд  будет сходящимся (по теореме Мертенса).

38)

39)