61.Теорема Коши о конечных приращ

Т: Если функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке a,b, дифференц в интервале (a,b) и g(x)≠0 на интервале (a,b) существует такая что:

Док-во: Т.к g’(x)≠0 то g(b)≠g(a). Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-λg(x), значение λ выберем из условия что F(b)=F(a) тогда ;F(x) при выбранном значении удовлетворяет всем значением теоремы Ролля.

Если f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности х0 U(x0) и дифференц в проколотой U(x0) причем g’(x)≠0 в U(x0) тогда существует точка лежащая строго между х0 и х такая что. Доказательство непосредственно следует из теоремы Коши.

62.Правило Лапиталя для раскрытия неопределенности

Т: Пусть f(x) и g(x):

Дифференц в окрестности (.)а, за исключением может быть самой точки а, причем f(x)≠0;

Функц f(x) и g(x) одновременно являются либо б.б функциями, либо б.м.

Существует конечный или бесконечный предел тогда существуетЕсли Функцf(x) и g(x) дифференц в (.)а и g’(а)≠0, то

Док-во: Ограничимся случаем когда предел (.)а является конечной точкой и Функц f(x) и g(x) при х→а является б.м, т.е. .

Пусть функции f,g, поскольку =0 доопределим функцииf и g в точке а, пологая f(a)=g(a)=0. Тогда функции и следовательно функцииудовлет всем условиям теоремы Коши на отрезках [а значитили,, такая что(теорема Коши) .

Из нер-ва

Переходя к пределу при получаем

63.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Т: Если функция f(x) определена и n раз дифференц в окрестности точки х0, то имеет место формула:

Которая называется формулой Тейлора n-ого порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если x0=0, то мы имеем (2)

Которая называется формулой Маклорена. Если многочлен называется многочленом Тейлораn-ого порядка функции f(x) в окрестности x0 и обознач /

64.Единственность многочлена Тейлора.

Докажем что многочлен который отличается в точке х0 от функции ) определен единственным образом и является многочленом Тейлора. Если функцияf(x) n-раз дифференц непрерывно в окрестности точки х0 и многочлена удовлетворяет условиям:) то- многочлен Тейлора т.е.

Док-во:

Пологая в последнем равенстве что х=х0 получаем f(x0)=a0=>взаимоуничтож. Продолжая получим

Они равны т.т.т.к. совпадают коэфф при степенях. Теорема доказана.

65. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Т: Если функция f(x), n+1 раз дифференц в окрестности точки х0 то (1), гдележит строго между х и х0.

Док-во: Пусть

Тогда , где х2 лежит строго между х и х0 =…=нов результате получимоткуда следует формула (1). Следует отметить, что данная формула содержательна чем формула Пеано по скольку:

Она позволяет установить размер окрестности в точке х0 в которой формула Тейлора приближает к заданной функц f(x) с необходимой точностью

Она позволяет оценить как влияет на погрешность рост степени n и близость точек х и х0.

66.Теорема о необходимых и достаточных условиях возраст и убывания дифф функции.

Т: Пусть функция y=f(x):(a;b)→дифференц на интервале(а;b). Тогда между характером монотонности f(x) и ее производной существует следующая взаимосвязь:

Док-во: является следствием формулы Лагранжа,следует из определения производной. Докажем утверждение 2).

(1): Пусть х1,х2 произвольные точки интервала (a;b) такие что х1<x2. Обозначим х2-х1=∆х, ∆х>0. Тогда согласно теореме Лагранжа , а точкалежащая между х1 и х2, даст условияf ‘()≥0, тоf(х2)-а(х1)≥0, что согласно определению означает, что функция f не убывает на промежутке (a,b)

(2): Возьмем произвольную точку и дадим ей положительное приращение, х+∆х, ∆х>0. Тогда

Если взять ∆х>0 то также числитель и знаменатель будут положит. #

Импликация (1) дает достаточные условия характера поведения функции. Импликация(2) дает необходимые условия, причем импл(2),(3),(4) являются необходимыми и достаточными.