19. Предельные точки. Фундаментальные последовате. Критерий коши.

Т19(Критерий предельной точки).

Пусть мн-во является бесконечным множеством, тогда точка х0 является предельной точкой, если найдется такая последовательность точек, предел которой равен этой точке.

Т20(критерий Коши).

Последовательность сходится т.т.т.к. она является фундаментальной.

20.Конечный предел функции в точке при . Определение по Коши и п Гейне. Геометр интерпретация. Эквивалентность опр предела.

1)(→)

Пусть выполняется определение по Коши, т.е.

Поскольку , фигурирующее в данном определении, сущест то зафиксируем его. Рассмотрим последовательность {

В итоге мы получили что

2)(←)

Пусть выполняется определение по Гейне, т.е.:

Предположим противное

Согласно построенному выше отрицанию это означает, что:

Поскольку у нас фигурирует произвольное значение , так выберем целую последовательность , что

Мы получаем:

Что противоречит условию определения предела по Гейне.

21.Одностороние пределы. Теорема о существовании предела в точке.

Т2. Функция f(x) имеет в точке а предел А т.т.т.к. в этой точке она имеет односторонние пределы и они равны А.

Док-во: 1)(→)

Пусть существует предел функции f(x)

Отсюда следует определение односторонних преелов и

2)(←)

Возьмем произвольное и зафиксируем его. Тогда:

Если взять в качестве

22.Конечный предел функции при при . Геометр иллюстрация. Горизонт асимптоты.

Понятие предела функции при очень похоже на понятие предела последовательности и имеет с ним много общих черт. Запишем эти определения в символической форме и дадим им геометрич интерпретацию.

Поскольку условие , что означает, что значения функции лежат в 1-ой полосе (.)А, то с геометрической точки зрения это означает, что, начиная с некоторого числа Н(по смыслу достаточно большого) значения функции отличаются от А меньше, чем на.

Мы видим, что при больших значениях Х, график функции f(x) неограниченно приближается к прямой у=А. Такую прямую принято называть горизонтальной асимптотой.

Замечание: Вообще говоря, на -и +функцияf(x) может иметь разные горизонтальные асимптоты.

23. Бесконечный предел функции в конеч точке. Геометр иллюстр. Вертикальные асимптоты.

Путь функция f(x) определена в некоторой последовательность (.)а, кроме может быть, самой (.)а.

Опр: Говорят, что функция f(x) имеет в (.)бесконечный предел, и пишут

Такие функции называются бесконечно большими.

Если для достаточно больших некоторых значений аргументы приближенные к (.)а функция f(x) принимает только отрицательные или только положительные значения, то пишут

Геометрически определение б.б.ф. означает, что для любого М>0 мы можем подойти к предельной точке а на столько близко, что значения функции в этих точках превзойдет выбранное М.

Существование у функции f(x) бесконечного предела в конечной (.)а означает, что график функции f(x) неограниченно приближается к прямой x=a, а значит, эта прямая является вертикальной асимптотой данной функции.

24.Св-ва ф-и имеющих конечный предел. св-во 1(единственность предела) Если фушкция f(x) в (.) а имеет предел то он единственен. Докво: Предположим противоположное, что функция f(x) при х->a имеет 2 предела А1 и А2. Но тогда для . Согласно опр предела по Гейне (опр 2) послед значений функции f(x) {f(x)} должна стремиться и к А1 и к А2, которые не равны м\у собой, что противоречит единственности предела сходящ последовательностей.

Св-во 2(ограниченность) Если ф-ия f(x) имеет предел в(.)а то найдется такая окрестность точки а в которой ф-ия ограничена. Докво: пусть , а АϵR, тогда

Св-во 3(сохранение знака) Если ф-ия f(x) имеет конечный предел в (.) а отличный от 0 то найдется такая окрестность точки а в которой ф-ия f(x) имеет знак своего предела. Докво: .

25. теорема о пределе зажатой ф-ии. св-во 4 Если и существует такая окрестность точки а(возможно проколотая), чтоf(x)≤h(x)≤g(x) nj . Док-во: ПустьТк, Аналогично, Врезультате получаем что

26. Предел суммы. Если ф-ии f(x) и g(x) имеют в (.) а конечные пределы А и В соответсвенно то: 1) Докво: ткВыбираяполучаем:

27. Предел произведения Если ф-ии f(x) и g(x) имеют в (.) а конечные пределы А и В соответсвенно то: 2) Докво: Возьмем некоторую последовательностьимеющую своим пределомa. Тогда согласно определению предела и из свойств сходящихся последовательностей(предел произведения последовательностей= произведению пределов ) следует пределаа тк Хн – произвольная последовательнсть то справедливо

28. Предел частного Если ф-ии f(x) и g(x)≠0 имеют в (.) а конечные пределы А и В соответсвенно то: 2) Докво: Возьмем некоторую последовательностьимеющую своим пределомa. Тогда согласно определению предела и из свойств сходящихся последовательностей(предел частного последовательностей= частному пределов ) следует пределаа тк Хн – произвольная последовательность то справедливо.

29. Теорема о пределе сложной функции. Если ф-ия y=f(x) имеет в (.) а конечный предел b в некоторой проколотой окрестности (.)а , а ф-ияg(y) имеет в точке b конечный предел c , то сложная ф-ия g(f(x)) имеет в точке а предел c Докво: ткВозьмем любую последовательность {Xn} Xn≠a сходящуюся все члены которой начиная с некоторого номера попадут вгде значенияфигурирует в условии теоремы. Тогда для данной последовательностивсе члены последовбудут отличны отb В результате мы получаем что:

30.бб и бм ф-ии и их пределы.ОПР.Если при x-> a предел функции f(x) равен ∞(-∞,+∞), то она называется бесконечно большой функцией при x->a. То ОПР. Если приx-> a предел функции f(x) равен 0, то она называется бесконечно малой функцией при x->a. То Теорема о связи бб и бм ф-й: Если функция α(x)-бмф при x->a и α(x)≠0, то функция 1/( α(x))-ббф при x->a. Верно и обратное. Теорема о связи функции ее предела и бм: f(x)=A+ α(x) Докво: Необходимо показать, что  <=> f(x)-A  б.м. функция при x->a. Так как , то длябудет выполняться неравенство. Сравним это с определением б. м. функции: длябудет выполняться неравенство.Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, чтоf(x)-A  -  б.м. при x->a.  Некоторые свойства: 1)Сумма конечного числа БМ при x->a функций есть БМ функция 2) Произведение конечного числа БМ на при x->a есть БМ при x->a функция 3) Произведение оганиченной величины на беск малую при x->a есть БМ при ->a функция

31. первый замечательный предел Док-во угол AOB=x пусть хϵ (0;pi/2) тогда длина дуги BA=x пусть S1, S2, S3 –площади треуг AOB, сектора AOB и треуг COB. S1=1/2*OB*AD=1/2*sinx; S2=1/2 OB^2*x; S3=1/2*OB*CB=1/2tgx. Поскольку фигура AOB лежит в секторе AOB а сектор в фигуре COB то S1<S2<S3 или sinx<x<tgx. Поскольку в 1-ой четверти sinx>0 то по теореме о зажатой ф-ии ткпоскольку функциянечетная то все послед. Выкладки будут истинны.

32. Сравнение бм функций Пусть α(x) и β(x) –бмф при x->a . β(x)≠0 при . ОПР1 бмф α(x) и β(x) – ф-ии одного порядка малости при x->a если .В этом случае пишут α(x) =О(β(x)) при x->a. ОПР2 бмф α(x) называют бесконечно малой более высокого порядка малости при x->a чем β(x), если Пишут α(x) =о(β(x)) при x->a. Теорема 1: следующие условия эквивалентны: 1) f(x)=O(g(x))при x->a 2)3)f(x)=α(x)g(x) где α(x)-бмф при x->a. Докво: то что 12 следует из ОПР2. Докажем что 23 (=>)23 тк =>[по теореме связи функции, предела и бмф]=>. (<=)Докажем что 3=>2: )f(x)=α(x)g(x)=>. ОПР3 бмфназывает бесконечно малой к-того порядка малости по сравнению с бмфесли

33. Эквивалентные функции. Пусть f(x)и g(x) определены в некоторой окрестности (возможно проколотой) (.) а и g(x)≠0 в этой окрестности. ОПР4 функции f(x)и g(x) называются эквивалентными или асимптотически равными при x->a если пишутf(x)g(x) при x->a . Теорема 2. Для того чтобы ф-ии f(x)и g(x) были эквивалентными при x->a (=>)и(<=) чтобы f(x)=g(x)+о(g(x)) при x->a (4). Докво: (=>) пусть f(x)и g(x) – эквивалетны тогда выполняется формула (3)(по теореме освязи функции предела и бм), гдеg(x)+о(g(x)). (<=) пусть выполняется (4), тогдаперейдя к пределу приx->a получим в силу теорм1(п3) формулу(3). След1 Если Док-во:. След2: разность эквивалетных бм есть бм более высокого порядка малости чем каждая из них. Докво: пусть. ОПР5 Еслиf(x)=g(x)+о(g(x))тоg(x) называют главной частью ф-ии f(x)

34. Вычисление пределов с помощью эквивалетных Теорема 3. f(x)g(x) при x->a то 1); 2)Докво: 1); 2)(предел частного эквивалетных равен 1). Теорема 4 Сумма бм разного порядка эквивалентна бм наинизшего порядка малости. Докво: пустьбудем считать что бм- бм наинизшего порядка по сравнению с другими тетогда

35. Асимптоты графика функций. ОПР:прямая y=kx+b явл асимптотой бесконеч веттви y=f(x)при x->+-∞ если расстояние между точкой принадлежащей прямой и y=kx+b стремится к 0 при x->+-∞ Теорема: прямая y=kx+b явл асимптотой графика в-ии y=f(x)при x->+-∞ тттк Докво: (=>) Пусть выполняется условия (*)(**) тогда нужно доктьf(x)=kx+b+o(x), x->+∞(-∞). Из условия (**)=> по теореме о связи ф-ии предела и бм что(<=) пусть выполняетсяf(x)=kx+b+o(x) x->+∞(-∞). Деля на х и перейдя к пределу получаем усл (*). Усл (**) будет выполняться из того же соотношения.

36. Критерий Коши. Теорема: предел ф-ии f(x)при x->a существует тттк для Докво: (=>) пустьтогдасправедливо |f(x)-a|</2 поэтому еслии|f(x’’)-f(x’)|=|[f(x’’)-a]+[a-f(x’)]|≤ |f(x’’)-a]+[a-f(x’)|≤/2+/2=. (<=) пусть произвольно фиксировано>0 тогда сущ-ет окрестчто для всехx’x’’выполнится неравентсво |[f(x’)- f(x’’)]<докажем что в (.) а ф-я имеет предел. По опр предела Гейне пусть {xn}-произв послед xn->a n->inf. Фиксируем в силу определ найдется такой номер чтовыполнится условие,тогда по условию Кошичто означает что- фундаментальна сходщ к некотор числу А.

38. два определения функции непрерывной в точке. ОПР1 функция непрерывна, когда она определена в окрестности (.)х, в (.)х и :fϵC() ОПР2 функция непрерывна если определена в (.)х и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бм приращение функции:. Докажем эквивалентность: из условий Опр1.

39. Точки разрыва и их классификация. Ф-ия f(x) называется разрывной в(.), аназывается точкой разрыва если она не явл в этой точке непрерывной.

Классификация:

Если предел существует, но не равенили это значение не существует то точка- устранимая.

Если существуют односторонние пределы – точка разрыва типа скачка причем-величина скачка. 1 и 2 – тр первого рода.

Если е сущ хотябы один одностор предел в(.)или он равен-точка разрыва второго рода.

40. Свойства функций непрерывных в точке. СВ1 если fϵC() то найдется такая окрест (.)в которой функцияf(x) ограничена. СВ2 если функция f(x) непрерывна в (.)ито найдется такая окрестность (.)в которой знак ф-ии совпадает со знаком. СВ3 Еслиf,gϵC() ито найдется такая окрестность (.)=>СВ4 Еслиf(x),g(x)ϵC() то в той же точке будет непрерывны ф-ии

41. Непрерывность сложной ф-ии. Если функция g(x): X->Y непрерывна в (.)а функцияf(x): Y->X непрерывна в (.)то сложная функцияf(g(x)):X->Z будет непреывна в (.). Докво: ЕслиfϵC(gϵC(=> для любого положит числа и для(**) Врезультате из условий (*)(**):C().

42. теорема о нуле непрерывной на отрезке функции. Пусть ф-ия f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков => разделим отрезок [a;b] пополам если значение ф-ии в середине отрезка = 0 то мы нашли c=(a+b)/2. Если это не так, выбираем тот из 2х отрезков на концах которого f(x) имеет разные знаки и опять делим, продолжая мы либо найдем с, либо получим систему отрезковкоторая в силу построения является стягивабщйся тк. Мы получили возраст {} и убыв{} пределом которых является с. В силу непрерывности ф-ииf(x)аналогично=>f(c)=0

43. Теорема о промежуточных зачениях: пусть ф-ия f(x) непрерывна на [a;b] и f(a)=A и f(b)=B тогда для любого значения С, A<C<B (fϵC[a;b] и f(a)=A и f(b)=b)=>() Докво: расмотрим вспомаг функциюF(x)=f(x)-C очевидно FϵC[a;b], F(a)=A-C<0, F(b)=B-C>0=> по теор1 ; F(c)=0 => f(c)-C=0 => f(c)=C

44. теорема об ограниченности непрерывной функции. Непрерывная на отрезке ф-ия ограничена на этом отрезке ) док-во: Докажем, что достигается sup (inf - аналогично). Предположим,M-верхняя грань что . Рассмотрим вспомогательную функцию  , которая непрерывна и ограничена на [a;b]: . , . Таким образом . Но M - наименьшая из верхних граней, а мы пришли к противоречию, т. к. - тоже верхняя грань. Теорема доказана.

45. Теорема о достижении непрерыв ф-ии своих точных граней. Если ф-ия f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то найдутся (.) в которых ф-я f(x) достигает своих точных нижней и верхней грани. fϵC[a;b]=>(,:f(,f()=sup f(x))как мы щнаем если точка sup(inf) принадлежит множеству то она называется максимальным(минимальным) элементом. m=min f(x) и M=max f(x) => . fϵC[a;b]=>(,:f(=m ,f()=M – означает что ф-я в некоторых точках достигает свое max и min знач.

46.теорема о непрерывности обратной функции. Теорема: строго монотонная и непрерывная на отрезке [a;b] ф-я f(x) имеет на отрезке с концами f(a) и f(b) обратную ф-ию, которая также явл строго монотонной с сохранением характера монотонности и непрерывности.

47. определение и геометрическая интерпретация равномерной непрерывности функции. ОПР: ф-я f: X->R,X c R называется непрерывной на промежутке Х если . Геометрически: график функции не имеет неограниченно крутых участков на Х. Теорема Кантора о равномерности непрерыв: Если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то она равномерно непрерывна на нем. Докво: предположим противноевозьмем значениетогда каждомуn мы поставим в соответств те получитьВ силу условиятакже посколькуто данные послед ограничены, а значит из них можно извлечь сходящиеся причем к одному знач,C подпослед , пользуясь непрерывностьюf на [a;b] получаем: -=- противоречие к. Следствие: если ф-яf(x) непрерывна на отрезке [a;b] то если разбить [a;b] на части отрезки с длинами меньшими то разность значения функций предела каждого частного отрезка будет меньшим чем