14. Теорема об арифмет операциях со сходящ послед

Т13: Пусть .

Тогда: 1)

2 )

3)

4) )

Док-во:

Т.к

Т.к ), пологать-б.м.п., а значит

15. Определение точных верх и ниж граней числовых сножеств. Теорема о существовании точных граней огранич числ множ.

Опр(точной верх грани): Число M называется точной верхней гранью мн-ва А, если: 1) ; Первое условие означает что М является верх границей, а второе условие означает, что это наименьш верх граница. Точная верхняя грань обознач символомsupA или supx

Опр(точной ниж грани): Число m называется точной нижей гранью мн-ва А, если: 1); Точная ниж грань мн-ва А обозначается какinfA. Стоит отметить, что точная верх и точная ниж грани могут как принадлежать так и не принадлежать рассматриваемому мн-ву. Если они принадлежат мн-ву А, то maxA=supA и mina=infA. У элементов maxA и supA разная «динамика» определения.

Теорема(о точной верхней грани)

У любого ограниченного сверху числового мн-ва точная верхняя грань существует, и причем единственным образом.

Теорема(о точной нижней грани)

Если мн-во ограничено снизу, то точная грань существует, причем единственным образом.

Если мн-во А не ограничено сверху, то supA=+∞, а если оно не ограничено снизу, то infA=-∞.

16.Признак сходимости монотонной последовательности.

Т14. Если последовательность } монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится и ее предел равенsup.

lim

Данная теория имеет простой геометрический смысл: если на каждом шаге значения элемента увеличивается(или остается постоянным) и все члены последовательности ограничены сверху некоторым числом, то рано или поздно мы придем к «пределу» нашего движения.

Т15. Если поледоват монотонно убывает и ограничена снизу, то она сходится и предел равенinf.

lim

17. Число e. Второй замечательный предел.

Последовательность { }, заданная общим числомявляется монотонно возрастающей и ограниченной сверху, а следовательно, она имеет предел. Данный предел обозначают «» т.о.,

Это число является основанием натурального логарифма. Данное название объясняется тем, что решение дифф ур, являющ матем моделью многих натуральных процессов, является функцией

Если выражение

Имеет место формула ,

Которая находит широкое применение при раскрытии неопределнностей вида .

18.Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящиеся последовательности.

Док-во: Т.к. по условию { } ограничено. Разделим отрезокпополам и выберем ту половину, которая содержит бесчисленное число членов последовательности. Опять разделим полученный отрезок пополам и получим отрезокПродолжая неограниченно этот процесс мы получим неограниченный отрезокпоследовательность вложенных отрезков.соответственно с длинамит.к. каждый член последовательности {}a1,а2,… ограничены сверху например числомb, и является возрастающей последовательностью т.к. а в силу

С другой стороны, b1,b2…ограничены снизу, например, числом а, то существует предел ()

Т.о. неравенство , где-произвольный элемент отрезкаи по теореме получим

Раньше было доказано что, если последовательность ограничена, вообще говоря она не является сходящейся.