7.Дать определения а)числовой последовательности,б)ограниченной числовой послед в)предела числовой последовательности

Опр1: Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие по определенному закону единственное число . Тогда множество пронумерованных чисел х1,х2,х3 и т.д называется числовой последовательностью. Обычно обозначают так

Опр1: Числовой последовательностью называется отображение . Обычно последовательность задают с помощью формулы, позволяющей вычислить ее элемент по номеруn.

Опр3: Последовательностьназывается:

Ограниченной сверху, если ;

Ограниченной снизу, если ;

Ограниченной, если .

Легко видно, что свойства последовательности быть ограниченной означает, что

Опр4: Число а называется пределом последовательности n, что все члены последовательности с номером >n будут удовлетворять неравенству (1). При этом принято писать. Опр4 можно записать с помощью символов мат логики. В результатах получим(2)

8.Сформулировать и доказать сво-ва сходящейся последоват.

Т1: Любая окрестность предела сходящ последоват содержит все члены последовательности, за исключением их конечного числа.

Док-во: т.е

Т2:Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Док-во: Предположим противное. Пусть последовательность xn имеет 2 предела а1 и а2, причем a1<a2. Т.к. а1≠а2 то согласно принципу отдельности Хаусдорфа,

Возьмем данное и зафиксируем его т.к

Если взять N=max{N1,N2}, то мы получим, что такое, чтоN>N , что противоречит свойству Хаусдорфа.

Т3: Если последовательность сходится, то она ограничена.

Нам нужно доказать, что если , то, т.ка значит и длянайдется такой номерN, что , дляn>N:|. Выберем в качестве числаM=max{|} Тогда #.

9. Сформ-ь и док-ть св-ва последоват всязанные с неравенст

Т1: пусть a<b тогда сущ NϵN для любого n>N: xn<yn. Док-во: тк a≠b то по св-ву отделимости Хаусдорфа зафиксираналогичвозьмемN=max{N1,N2} и получим что одновременно все и все. Т2: еслиxn≤yn то a≤b Докво: предположим противное, тогда согласно Т1 все члеы послед xn yn с некотрого номера начнут удовл неравенству xn >yn что противоречит условию теоремы.

10. Сформулировать и док-ть теорему о пределе «зажатой» послед.

Пусть числовые послед {xn} {yn} {zn} удовлет условию сущ N0ϵN для любого n>N0 xn≤yn≤zn (*) если {xn} и{zn} сход к одному и тому же пределу то и {yn} сходится к этому пределу. Док-во: => (**) аналогично(***) возьмемN=max{N0,N1,N2} и получим =><=>|yn-a|<=>

11.Бесконечно большие и малые последовательности.

Опр: Последовательность {Xn} называется бесконечно большой если ее предел равен бесконечности(-+).

Опр:

T8: Пусть иявляются б.м.н. Тогда последоваттак же являются б.м.п

Док-во: Докажем что - б.м.п. Возьмеми зафиксируем его. Т.к– б.м.п

–б.м.п. В результате мы получили, что

T10: Если

12.Теорема о произведении ограниченной послед на бесконечно малую.

Т9: Произведение ограниченной последовательностина б.м.п

Док-во: Т.к то. Т.к.б.м.п, тов результате получаем что.

13.Теорема о связи членов сходящ последоват со своим пределом и беск малой

T11: Послед {} сходится к пределуa существует бесконечно малая}:

Док-во: () Пусть

()

Докажем, что .

Т.к.